2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从M处到N处接通时，不同的线路可以有( )
A. 5条B. 6条C. 7条D. 8条
2.已知复数z满足(2−i)z=3+i，则z的虚部是( )
A. −1B. 1C. −iD. i
3.过点(2,−1)且与直线2x−3y+9=0平行的直线的方程是( )
A. 2x−3y−7=0B. 2x+3y−1=0C. 3x+2y−4=0D. 2x−3y+7=0
4.已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4 2,2)，则双曲线C的标准方程为( )
A. x236−y236=1B. y236−x236=1C. x228−y228=1D. y228−x228=1
5.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足CF=2FB，若PA=a，PB=b，PC=c，则FE=( )
A. 12a−43b+16c
B. 12a−43b−16c
C. 12a−76b+16c
D. 12a−76b−16c
6.京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地.京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行.某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是( )
A. 144B. 240C. 576D. 1440
7.已知A(0,0,2)，B(0,2,1)，C(2,1,0)，D(2,0,1)，则点D到平面ABC的距离为( )
A. 2 145145B. 2 525C. 2 2929D. 25
8.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=9和两点A(t,0)，B(−t,0)(t>0)，若圆C上至少存在一点P，使得PA⋅PBb>0)的离心率为 32，点A(1, 32)在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知椭圆E的右顶点为B，过B作直线l与椭圆E交于另一点C，且|BC|=2 77|AB|，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD//BC，AD⊥DC，BC=2AD=2 2，DC=2，正三角形PCD所在平面与平面ABCD垂直，E，F分别为DC，PC的中点．
(1)求证：AB⊥平面PAE；
(2)求二面角F−BD−C的平面角的余弦值．
22.(本小题12分)
在直角坐标平面内，已知A(−3,0)，B(3,0)，动点P满足条件：直线PA与直线PB的斜率之积等于19，记动点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)过点C(9,0)作直线l交E于M，N两点(与A，B不重合)，直线AM与BN的交点Q是否在一条定直线上？若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：按上、下两条线路分为两类，上线路中有2条，下线路中有2×3=6条．
故不同的线路可以有2+6=8条．
故选：D．
根据分类加法、分步乘法计数原理求得正确答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由已知(2−i)z=3+i，得z=3+i2−i=(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=5+5i5=1+i，
所以z的虚部为1．
故选：B．
先由等式(2−i)z=3+i，反解出z，再利用复数的除法运算法则，求出复数z即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：设与直线2x−3y+9=0平行的直线的方程为2x−3y+λ=0，
将点(2,−1)代入得2×2−3×(−1)+λ=0，解得λ=−7，
所以所求直线的方程为2x−3y−7=0．
故选：A．
利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解．
本题考查直线方程的点斜式，两条直线的平行关系，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：设等轴双曲线C的方程为x2m−y2m=1(m≠0)，
将点A(4 2,2)代入，得32m−4m=1，解得m=28，
所以双曲线C的标准方程为x228−y228=1．
故选：C．
设出等轴双曲线的标准方程，将点A(4 2,2)代入即可求解．
本题考查双曲线的标准方程及几何性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意知：FE=PE−PF=12PD−(PC+CF)=12(PB+BD)−PC−23CB=12(BD+PB)−PC−23(PB−PC)=12(BA+BC)−13PC−16PB=12(PA−PB+PC−PB)−13PC−16PB=12a−76b+16c．
故选：C．
根据空间向量的线性运算求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：先将生行、旦行、武行、流行这4人全排列，有A44=24种，
产生5个空，再将净行、丑行、杂行这3人插入5个空中，有A53=60种，
所以不同的排法总数是24×60=1440．
故选：D．
由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由已知得：AB=(0,2,−1)，AC=(2,1,−2)，AD=(2,0,−1)，
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AB=2y−z=0n⋅AC=2x+y−2z=0，
令y=2，则z=4，x=3，所以平面ABC的一个法向量为n=(3,2,4)，
所以点D到平面ABC的距离为|AD⋅n||n|=|2×3−4| 29=2 2929．
故选：C．
由点到平面的距离的向量求法即可求得．
本题考查点到平面的距离的求法，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：圆C：(x−3)2+(y−4)2=9的圆心C(3,4)，半径为r=3，
∵圆C：(x−3)2+(y−4)2=9和两点A(t,0)，B(−t,0)(t>0)，
圆C上至少存在一点P，使得PA⋅PB90°，
∴圆C与圆O：x2+y2=t2(t>0)的位置关系为相交、内切或内含，所以|OC|0，16+λ>0，24−λ≠16+λ⇔−16