2023-2024学年山东省菏泽市高一（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市高一（下）期中数学试卷（A卷）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知i是虚数单位，复数z=(x2−1)+(x+1)i是纯虚数，则实数x的值为
( )
A. −1B. 1C. ±1D. 2
2.已知|a|=2,|b|=1，若|a+b|=|a−b|，则|2a−3b|=( )
A. 25B. 16C. 5D. 4
3.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 2a的正方形，则原平面图形的面积为( )
A. 24a2B. 2a2C. 2 2a2D. 4 2a2
4.在△ABC中，已知a=2 3，b=2，B=30°，则满足条件的三角形个数为( )
A. 2个B. 1个C. 0个D. 无法确定
5.在正六边形ABCDEF中，若BP=−CP，FQ=3QE，则PQ=( )
A. 34AB−54AFB. −34AB+54AFC. −56AB+76AFD. 56AB−76AF
6.在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，若AB=4，AC=5，AD=2 3，则BC=( )
A. 4 3B. 9 105C. 18 25D. 6
7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若a= 3csinA，ab=6，则△ABC的面积为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
8.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=AC= 5，BC= 6，则此三棱锥外接球的体积为( )
A. 8 23πB. 64 23πC. 8πD. 32π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足(i−2)z=5i，则( )
A. |z|= 5B. z的虚部为−2
C. z的共轭复数为z−=1−2iD. z是方程x2−2x+5=0的一个根
10.已知平面向量a=(1,2)，b=(2,−3)，则( )
A. (a−2b)⊥bB. |a|= 5
C. b在a上的投影向量的模为4 55D. a与b的夹角为锐角
11.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1甲)，图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧BC,AD所在圆的半径分别是3和12，且∠AOD=120°，则该圆台的( )
A. 高为6 2
B. 上底面积、侧面积和下底面积之比为16：14：1
C. 表面积为62π
D. 体积为42 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=( 3,1)，b=(x,y)，若a,b共线，且|b|=1，则向量b的坐标可以是______.(写出一个即可)
13.已知正四棱锥的侧面积为4 2，底面边长为2，则该正四棱锥的高长度为______．
14.已知非零向量a，b，对任意实数t∈R，|a+tb|≥|a−b|恒成立，则|a||b|的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z满足z2=2i(其中i是虚数单位)，且复数z在复平面内对应的点在第一象限．
(1)求复数z及|z|；
(2)若z1=m+i，且z1z−是纯虚数，求实数m的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2)，b=(x,4)，c=(4,−x)，且向量a与b共线．
(1)求a与c−b夹角的余弦值；
(2)若|a+tc|= 10，求t的值．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足ab+c+bsinBasinB+bsinC=1．
(1)求角C；
(2)CD是∠ACB的角平分线，若CD=2 33，△ABC的面积为 3，求c的值．
18.(本小题17分)
已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为14，轴截面等腰三角形的顶角为90°，若△PAB的面积为2 15．
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球体积．
19.(本小题17分)
在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且|AO|=2|OC|，设AB=a，AC=b．
(1)试用a，b表示AR；
(2)若|a|=2,|b|=1,=60°，求∠ARB的余弦值；
(3)若H在BC上，且RH⊥BC，设|a|=2,|b|=1,θ=，若θ∈[π3,2π3]，求|CH||CB|的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数的基本概念，是基础题．
直接由实部等于0，虚部不等于0求解x的值．
【解答】
解：由z=(x 2−1)+(x+1)i是纯虚数，得
x2−1=0x+1≠0，解得x=1．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：由|a+b|=|a−b|，得a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b，整理得a⋅b=0，
因为|a|=2,|b|=1，所以|2a−3b|= (2a−3b)2= 4a2+9b2−12a⋅b= 4×4+9=5．
故选：C．
根据|a+b|=|a−b|化简整理得到a⋅b=0，结合|2a−3b|= 4a2+9b2−12a⋅b，代入数据算出所求答案．
本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、向量的模的公式等知识，考查概念的理解能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：直观图正方形的对角线长2a，
∴原平面图形为平行四边形，一半长为 2a，高为2a×2=4a，
∴原图形的面积为 2a×4a=4 2a2．
故选：D．
根据斜二测画法原理将直观图还原成平面图形，得出原图形的长和高，即可得出面积．
本题考查了斜二测画法画直观图，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为a=2 3，b=2，B=30°，
由正弦定理可得：asinA=bsinB，即2 3sinA=212⇒sinA= 32，
所以A=π3或2π3，
又a>b，所以A>B，符合大边对大角原理，
所以满足条件的三角形个数为2个．
故选：A．
由正弦定理求出A的值，验证大边对大角原理即可．
本题考查正弦定理及三角形中大边对大角的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：如图，因为在正六边形ABCDEF中，BP=−CP，FQ=3QE，
所以点P为线段BC的中点，点Q为线段EF靠近点E的一个四等分点，
所以BP=12BC，FQ=34BC，
又因为BC=AB+AF，AP=AB+12BC，AQ=AF+34FE=AF+34BC，
PQ=AQ−AP=AF+34BC−AB−12BC=AF+14BC−AB=AF+14(AB+AF)−AB=−34AB+54AF．
故选：B．
根据正六边形的特征求出BC=AB+AF，AP=AB+12BC，AQ=AF+34FE，再由向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解．
本题平面向量的线性运算，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：依题意设∠CAD=∠BAD=θ，
则∠CAB=2θ，
又S△ABC=S△ABD+S△ADC，
所以12AB⋅ADsinθ+12AC⋅ADsinθ=12AB⋅ACsin2θ，
即4×2 3sinθ+5×2 3sinθ=4×5sin2θ，
即8 3sinθ+10 3sinθ=40sinθcsθ，
又θ∈(0,π2)，
所以sinθ>0，
所以8 3+10 3=40csθ，即csθ=9 320，
所以cs∠CAB=cs2θ=2cs2θ−1=2×(9 320)2−1=43200，
由余弦定理可得BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcs∠CAB
=42+52−2×4×5×43200
=1625，
所以BC=9 105(负值已舍去)．
故选：B．
设∠CAD=∠BAD=θ，则∠CAB=2θ，利用等面积法求出csθ，再由二倍角公式求出cs2θ，最后利用余弦定理计算可得．
本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：因为a= 3csinA，由正弦定理得sinA= 3sinCsinA，
又因为A∈(0,π)，可得sinA>0，所以sinC= 33，
因为ab=6，所以△ABC的面积为S=12absinC=12×6× 33= 3．
故选：B．
根据题意，利用正弦定理化简求得sinC= 33，结合面积公式，即可求解．
本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：∵三棱锥P−ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P−ABC外接球．
∵长方体的对角线长为 PA2+PB2+PC2= PA2+PB2+PA2+PC2+PB2+PC22= 5+5+62=2 2．
∴球直径为2 2，半径R= 2．
因此，三棱锥P−ABC外接球的体积是43πR3=43π×( 2)3=8 23π．
故选：A．
以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P−ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式，可算出三棱锥P−ABC外接球的体积．
本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：z=5ii−2=5i(i+2)(i−2)(i+2)=−i(i+2)=1−2i，
|z|= 12+(−2)2= 5，故A正确；
z的虚部为−2，故B正确；
z的共轭复数为z−=1+2i，故C错误；
(1−2i)2−2(1−2i)+5=(−3−4i)−(2−4i)+5=0，即z是方程x2−2x+5=0的一个根．故D正确．
故选：ABD．
由复数除法运算得z=1−2i，由复数虚部、共轭复数的概念及模的运算公式即可得解．
本题考查了复数的虚部、共轭复数的概念及模的运算公式，是基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：已知平面向量a=(1,2)，b=(2,−3)，故a−2b=(−3,8)，
对于A中，由(a−2b)⋅b=−30≠0，所以A不正确；
对于B中，由|a|= 12+22= 5，所以B正确；
对于C中，由a=(1,2)，b=(2,−3)，可得a⋅b=−4,|a|= 5，
则向量b在a上的投影向量a⋅b|a|⋅a|a|=−45⋅a=(−45,−85)，
可得投影向量的模为 (−45)2+(−85)2=4 55，所以C正确；
对于D中，由a⋅b=−4<0，且a与b不共线，所以a与b的夹角为钝角，所以D不正确．
故选：BC．
根据题意，结合向量的坐标运算，以及投影向量的概念与计算，结合夹角公式，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，以及投影向量的概念与计算，结合夹角公式，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A中，设圆台的上底面圆的半径为r，下底面圆的半径为R，
则2πr=2π3×3且2πR=2π3×12，解得r=1，R=4，
由圆台的母线长为l=12−3=9，所以圆台的高为h= l2−(R−r)2=6 2，所以A正确；
对于B中，圆台的上、下底面面积为S1=πr2=π×12=π,S2=πR2=π×42=16π，
其侧面积为S=π(r+R)⋅l=π(1+4)×9=45π，
所以上底面积、侧面积和下底面积之比为1：45：16，所以B不正确；
对于C中，由B项得，圆台的表面积为π+16π+45π=62π，所以C正确；
对于D中，圆台的体积为V=13π(r2+Rr+R2)⋅h=13π(1+4+16)×6 2=42 2π，所以D正确．
故选：ACD．
根据题意，求得圆台的上、下底面半径和母线长、以及圆台的高，结合圆台的几何结构特征以及侧面积和体积公式，依次分析选项，即可求解．
本题考查圆台的体积、表面积计算，涉及圆台的结构特征，属于基础题．
12.【答案】( 32,12)(或(− 32,−12))
【解析】解：因为a=( 3,1)，b=(x,y)，且a,b共线，|b|=1，
所以 3y−x=0 x2+y2=1，解得x= 32y=12或x=− 32y=−12．
故答案为：( 32,12)(或(− 32,−12)).
利用向量平行的坐标表示和模的坐标表示建立方程组，求解即可．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】解：顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心，如图所示；
正四棱锥的侧面积为S侧面=4⋅12⋅2⋅PE=4 2，
∴PE= 2，
∴该正四棱锥的高长度为：
OP= PE2−OE2= 2−1=1．
故答案为：1．
根据题意知顶点在底面的射影是正方形的中心，利用侧面积求出斜高，再计算正四棱锥的高．
本题考查了正四棱锥的结构特征与应用问题，根据棱锥的侧面求斜高是解题的关键．
14.【答案】[1,+∞)
【解析】解：∵对任意实数t∈R，|a+tb|≥|a−b|恒成立，
∴a2+2ta⋅b+t2b2≥a2−2a⋅b+b2对任意实数t∈R恒成立，
∴b2t2+2a⋅bt+2a⋅b−b2≥0对任意实数t∈R恒成立，
∵|b|≠0，
∴Δ=4(a⋅b)2−4b2(2a⋅b−b2)≤0，
即(a⋅b)2−2a⋅b⋅b+(b2)2≤0，
即(a⋅b−b2)2≤0，
∴a⋅b−b2=0，∴b⋅(a−b)=0，
当a−b=0，即a=b时，等式成立，此时|a||b|=1；
当a−b≠0时，b⊥(a−b)，令OA=a，OB=b，
此时△OAB是以OA为斜边的直角三角形，
∴|a|>|b|，此时|a||b|>1，
综上，|a||b|的取值范围为[1,+∞)．
故答案为：[1,+∞)．
将条件式两边同时平方转化为关于t的一元二次不等式的恒成立问题，再求解即可．
本题考查向量和一元二次不等式恒成立的综合应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由题设z=a+bi，a>0，b>0，
由z2=2i得a2−b2+2abi=2i，
即a2−b2=0，2ab=2，
得a=b=1，
所以z=1+i，|z|= 2．
(2)由于z−=1−i，则z1z−=m+i1−i=(m+i)(1+i)2=m−1+(m+1)i2，
因为z1z−是纯虚数，
所以m−12=0m+12≠0，解得m=1，
故实数m的值为1．
【解析】(1)结合复数的运算法则，以及复数模公式，即可求解．
(2)结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及纯虚数的定义，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为a=(1,2)，b=(x,4)，且向量a与b共线，
所以2x−4=0，解得x=2，所以b=(2,4)，c=(4,−2)，所以c−b=(2,−6)，
所以cs=a⋅(c−b)|a||a,c−b|=1×2+2×(−6) 12+22× 22+(−6)2=− 22，
即a与c−b夹角的余弦值为− 22；
(2)由(1)知，以b=(2,4)，c=(4,−2)，
所以a2=|a|2=12+22=5，c2=|c|2=42+(−2)2=20，a⋅c=0，
所以|a+tc|2=a2+2ta⋅c+t2c2=5+20t2=10，解得t=±12．
【解析】(1)根据向量a与b共线，求出b=(2,4)，c=(4,−2)，根据向量夹角公式坐标运算可得结果；
(2)根据向量数量积及模的坐标运算求出|a+tc|2=5+20t2，结合已知可得结果．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由正弦定理得ab+c+b2ba+cb=1，即ab+c+ba+c=1，
整理得a(a+c)+b(b+c)=(a+c)(b+c)，化简得a2+b2−c2=ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=12，又C∈(0,π)，则C=π3；
(2)由面积公式得12absinC=12ab× 32= 3，解得ab=4，
∵S△ABC=S△BCD+S△ACD，∴ 3=12b⋅CDsin30°+12a⋅CDsin30°，
即12CD⋅sin30°(a+b)= 3，∴a+b=6，
又∵ab=4，∴c2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=36−12=24，∴c=2 6．
【解析】(1)利用正弦定理化角为边，并由余弦定理，即可得解；
(2)由S=12absinC，可得ab=4，根据角分线可得 3=12b⋅CDsin30°+12a⋅CDsin30°，可求a+b=6，可求c的值．
本题考查查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，平面向量的线性和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)如图所示：

设圆锥母线长为l，底面半径为r，由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为90°，可得l= 2r，
由cs∠APB=14⇒sin∠APB= 1−cs2∠APB= 1−(14)2= 154，
结合△PAB的面积为2 15，可得S△PAB=12PA⋅PB⋅sin∠APB=12l2× 154=2 15⇒l=4，
将l= 2r代入，解得r=2 2，所以圆锥的侧面积为S=12×2πr×l=π×2 2×4=8 2π；
(2)如图所示：

设内切球半径为CO=CD=R，球心C在PO上面，则△POA～△PDC，可得CDAO=PCPA，
由(1)可知，圆锥的高PO=AO=h=r= 22l=2 2,PA=l=4，则R2 2=2 2−R4，解得R=4−2 2，
所以圆锥的内切球体积V=43πR3=43π(4−2 2)3=64(10−7 2)π3．
【解析】(1)根据已知，可得l= 2r，sin∠APB= 154，再由三角形面积公式算出母线l，进而算出r以及圆锥的侧面积；
(2)画出截面图形，根据相似三角形的知识求出内切球的半径，再由体积公式算出答案．
本题主要考查圆锥的结构特征、相似三角形的性质、球的体积公式等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由P、R、C共线，则存在λ使PR=λPC，
∴AR−AP=λ(AC−AP)，整理得：AR=(1−λ)AP+λAC=1−λ2a+λb，
由B、R、O共线，则存在μ使BR=μBO，
∴AR−AB=μ(AO−AB)，整理得：AR=(1−μ)AB+μAO=(1−μ)a+2μ3b，
∴根据平面向量基本定理：1−λ2=1−μλ=2μ3，解得λ=12，
∴AR=14a+12b；
(2)AR=14a+12b，BR=12b−34a，
AR⋅BR=−34，|AR|= 32，|BR|= 72，
∴cs=AR⋅BR|AR||BR|=− 217，
故∠ARB的余弦值是− 217；
(3)由(1)知：PR=12PC，则RC=12PC=12(b−12a)=12b−14a，
由CH，CB共线，设CH=kCB=ka−kb,k>0，
而RH⊥BC，有RH⋅BC=(RC+CH)⋅BC=[(12−k)b+(k−14)a]⋅(b−a)=0，
∴−5k+32+2(k−34)csθ=0，
可得csθ=5k−334k−32，
∵θ∈[π3,2π3]，∴−12≤csθ≤12，即−12≤5k−324k−32≤12，
解得14≤k≤928，
∴|CH||CB|的取值范围为[14,928]．
【解析】本题考查平面向量及其应用，属于中档题．
(1)由P、R、C共线，则存在λ使PR=λPC，由B、R、O共线，则存在μ使BR=μBO，根据平面向量基本定理求出λ=12，再表示AR即可；
(2)由(1)得AR=14a+12b，BR=12b−34a，根据向量的余弦公式，计算即可；
(3)PR=12PC，则RC=12b−14a，设CH=kCB=ka−kb,k>0，得到csθ=5k−334k−32，结合θ∈[π3,2π3]计算|CH||CB|的取值范围即可．