2023-2024学年山西省忻州市忻府区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省忻州市忻府区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.要使分式3 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥2B. x<2C. x≠−2D. x>2
2.△ABC的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5B. a=1.5，b=2，c=3
C. a=1,b=2,c= 3D. a=32，b=42，c=52
3.下列各式运算正确的是( )
A. (−3)2=−3B. 3 2− 2=3C. 3−8=2D. 5× 3= 15
4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若∠ABE=42°，则∠AEG的度数为( )
A. 42°B. 45°C. 46°D. 48°
5.如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是−1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D(点D在点B的右侧)，则点D所表示的数是( )
A. 5B. 5−1C. 2D. 2− 5
6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为( )
A. 2 5B. 2 3C. 4D. 2
7.已知 2x−6+ 6−2x+y=3，则 2xy的值为( )
A. 2 3B. 3 2C. 12D. 18
8.如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推4m至C处时(即水平距离CD=4m)，踏板离地的垂直高度CF=3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A. 4mB. 5mC. 6mD. 8m
10.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6.E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为( )
A. 2.4
B. 3
C. 4.8
D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若|a|=4, b2=3，且a+b<0，则a−b的值是______．
12.如图，Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=7时，则阴影部分的面积为______．
13.如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则∠ABC=______．
14.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过该正方形的顶点B、D作BE⊥l于E，DF⊥l于F.若BE=3，DF=6，则EF的长为______．
15.如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t(0≤t≤5)秒，若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，当E、G、F、H为顶点的四边形为矩形时，t的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)2 27−3 3− 13；
(2)( 5−1)2−( 5+ 6)( 5− 6)．
17.(本小题7分)
如图，在△ABC中，顶点A，B，C均在格点上，△ABC为格点三角形，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度．
(1)建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(−4,4)，点B的坐标为(−1,0).此时，点C的坐标为______；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
18.(本小题9分)
已知a=3− 5，b=3+ 5．
(1)求a+b和ab的值；
(2)求a2+b2−3ab的值；
(3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求ax−by的值．
19.(本小题8分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是斜边BC的中点，过点A作AE/​/BC，且AE=CD，连接BE．
(1)证明：四边形ADBE是菱形；
(2)若AC=6，AB=8，求菱形ADBE的面积．
20.(本小题8分)
“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节．某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
21.(本小题9分)
材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如1 2，2 3− 2的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：1 2= 2( 2)2= 22；2 3− 2=2( 3+ 2)( 3− 2)( 3+ 2)=2 3+2 2( 3)2−( 2)2=2 3+2 23−2=2 3+2 2．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如： 2= 21=( 2)2 2=2 2； 3−1 3=( 3−1)( 3+1) 3( 3+1)=( 3)2−12( 3)2+ 3=3−13+ 3=23+ 3．
根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)化简：1 5−2−5 5；
(2)比较 7− 6与 6− 5的大小，并说明理由；
(3)计算：11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+1 4+ 5+…+1 99+ 100的值．
22.(本小题12分)
综合与实践：
【问题背景】
(1)三角形中位线定理：如图①，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点.请直接写出中位线DE和第三条边BC的位置关系和数量关系；
【知识应用】
(2)如图②，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=10，CD=8，EF=3，∠AFE=43°，求∠ADC的度数；
【解决问题】
(3)如图③，在四边形ABCD中，点M，N分别为边AD，BC的中点，对角线AC与BD相交于点E，连接MN，分别交AC，BD于点F，G，EF=EG.求证：BD=AC．
23.(本小题12分)
综合与探究：
【问题情境】：
如图①，在正方形ABCD中，点E为其内部一点，△ABE为直角三角形，且∠AEB=90°，连接DE，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′，点E的对应点为点E′，点A的对应点为点C，延长AE交CE′于点F．

【提出问题】：
(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
【拓展探究】：
(2)如图②，若AD=DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得：x−2>0，
解得：x>2，
故选：D．
根据二次根式有意义和分式有意义的条件可得x−2>0，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴∠A+∠B>∠C，
∴∠C不是直角，
∴△ABC不是直角三角形；
B、∵1.52=2.25，22=4，32=9，
∴a2+b2=2.25+4=6.25<9，
∴a2+b2∴△ABC不是直角三角形；
C、∵12=1，22=4，( 3)2=3，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形；
D、∵(32)2=81，(42)2=256，(52)2=625，
∴a2+b2=81+256=337<625，
∴a2+b2∴△ABC不是直角三角形；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A． (−3)2=|−3|=3，因此选项A不符合题意；
B.3 2− 2=2 2，因此选项B不符合题意；
C.3−8=−2，因此选项C不符合题意；
D. 5× 3= 5×3= 15，因此选项D符合题意．
故选：D．
根据二次根式的性质与化简方法以及立方根的定义逐项进行判断即可．
本题考查二次根式的性质与化简，立方根，掌握二次根式的性质与化简方法，理解立方根的定义是正确解答的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD=12BD，AD=BC，
∵BD=2AD，
∴OB=BC，
∵点E是OC的中点，
∴BE⊥OC，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵∠ABE=42°，
∴∠BAE=48°，
∵点G是AB的中点，BE⊥OC，
∴AG=12AB，EG=12AB，
∴AG=EG，
∴∠AEG=∠BAE=48°，
故选：D．
根据平行四边形的性质推出OB=BC，根据等腰三角形的性质求出BE⊥OC，根据直角三角形的性质求出∠BAE=48°，AG=EG，根据等腰三角形的性质即可得解．
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=1−(−1)=2，BC=1，
由勾股定理得，AC= 22+12= 5，
则点D表示的数为 5−1．
故选：B．
根据题意运用勾股定理求出AC的长，即可得到答案．
本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出AC的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴BC= 3AB=2 3，
故选：B．
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证△AOB是等边三角形，可得∠BAC=60°，即可求解．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得：2x−6≥06−2x≥0，
解得x=3，
把x=3代入 2x−6+ 6−2x+y=3，可得y=3，
所以 2xy= 2×3×3=3 2．
故选：B．
根据二次根式的被开方数是非负数，由非负数的性质列式求出x的值；然后将x的值代入求出y的值，最后代入待求式，进行计算即可．
本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式有意义的条件以及求代数式的值的方法．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD，
又∵OE⊥OF，
∴∠EOB+∠BOF=90°=∠BOF+∠COF，
∴∠EOB=∠COF，
∴△BEO≌△CFO(ASA)，
∴BE=CF=3，
又∵AB=BC，
∴AE=BF=4，
∴Rt△BEF中，EF= BE2+BF2= 32+42=5．
故选：C．
先利用ASA证明△BEO≌△CFO，故得BE=FC，进而得出AE=BF，在Rt△BEF中利用勾股定理即可解得EF的长．
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
9.【答案】B
【解析】解：由题意可知，CF=3m，BE=1m，
∴BD=2m．
设AC的长为x m，则AB=AC=x m，
所以AD=AB−BD=(x−2)m．
在直角△ADC中，AD2+CD2=AC2，即(x−2)2+42=x2，
解得：x=5．
故选：B．
设AC的长为x，则AB=AC=x m，故AD=AB−BD=(x−2)m.在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．
本题考查勾股定理的实际应用．找到直角三角形，利用勾股定理即可．
10.【答案】A
【解析】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=12BD=3，OC=12AC=4，
由勾股定理得CD= OD2+0C2= 32+42=5，
又∵EF⊥OC，EG⊥OD，
∴四边形OFEG为矩形，
∴GF=OE，
当OE⊥CD时，OE值最小，
此时，S△OCD=12OC⋅OD=12CD⋅OE，
∴OE=OC⋅ODCD=4×35=2.4，
∴FG的最小值为2.4．
故选：A．
连接OE，由菱形的性质得AC⊥BD，OD=OB=12BD，OC=OA=12AC，利用勾股定理可以求得DC的长为5，又因为EF⊥OC，EG⊥OD，可证四边形OFEG为矩形，根据矩形的对角线相等的性质可得GF=OE，当OE⊥CD时，OE最短，再利用面积法求出OE的长即可求解FG的最小值．
此题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】−7或−1
【解析】解：∵|a|=4, b2=3，
∴a=±4，b=±3，
∵a+b<0，
∴a=−4，b=±3，
当a=−4，b=3时，a−b=−4−3=−7；
当a=−4，b=−3时，a−b=−4−(−3)=−1，
∴a−b的值是−7或−1，
故答案为：−7或−1．
根据绝对值和算术平方根的定义得到a=±4，b=±3，再由a+b<0得到a=−4，b=±3，据此代值计算即可．
本题主要考查了代数式求值，算术平方根，绝对值，正确求出a=−4，b=±3是解题的关键．
12.【答案】14
【解析】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=7，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 42+72= 65，
∴阴影部分的面积S=12×π×22+12×π×3.52+12×4×7−12×π×( 652)2=14，
故答案为：14．
根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．
本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
13.【答案】45°
【解析】解：∵正方形的边长为1，
∴AC2=12+22=5，BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=AB2，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，∠ABC=45°，
故答案为：45°．
连接AC，利用勾股定理可分别求得AC、BC、AB的平方，再利用勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，由AC=BC即可求解．
本题主要考查勾股定理，勾股定理的逆定理，利用勾股定理可分别求得AC、BC、AB的平方是解题的关键．
14.【答案】9
【解析】解：∵正方形ABCD，
∴AD=AB，
∵∠FAD+∠FDA=90°，且∠EAB+∠FAD=90°，
∴∠FDA=∠EAB，
在△ABE和△ADF中，
∠AFD=∠AEB∠FDA=∠EABAD=AB，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
即AE=DF=6，AF=BE=3，
∴EF=AE+AF=6+3=9．
故答案为：9．
通过证明△ABE≌△DAF，得AE=DF，AF=BE，进而求出EF的长．
本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解本题的关键是证明△ABE≌△DAF．
15.【答案】0.5或4.5
【解析】解：连接GH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠GAE=∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG=CH，
∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，
∴AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在△AFG与△CEH中，
AG=CH∠GAF=∠HCEAF=CE，
∴△AFG≌△CEH(SAS)，
∴GF=HE，
在△AGE与△CHF中，
AG=CH∠GAE=∠HCFAE=CF，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，
∴GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GH=BC=8cm，
∴当EF=GH=8cm，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①当0≤t≤5时，EF=(10−4t)cm，
即10−4t=8，
解得：t=0.5，
②当5即4t−10=8，
解得：t=4.5，
当t=0.5或4.5时，四边形EGFH是矩形，
故答案为：0.5或4.5．
连接GH，根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质得出GE=HF，GE=HF，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可．
此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答．
16.【答案】解：(1)2 27−3 3− 13
=6 3−3 3− 33
=3 3− 33
=8 33；
(2)( 5−1)2−( 5+ 6)( 5− 6)
=5+1−2 5−(5−6)
=6−2 5+1
=7−2 5．
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先算乘方，乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算及平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】(0,2)
【解析】解：(1)建立平面直角坐标系如图所示：使点A的坐标为(−4,4)，点B的坐标为(−1,0)，
此时，点C的坐标为(0,2)，
故答案为：(0,2)；
(2)△ABC是直角三角形，
理由：由题意得：AC2=22+42=20，
BC2=22+12=5，
AB2=32+42=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
(1)根据点A和点B的坐标，建立适当的平面直角坐标系，即可解答；
(2)根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形的性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵a=3− 5，b=3+ 5，
∴a+b=3− 5+3+ 5=6，ab=(3− 5)(3+ 5)=9−5=4；
(2)由(1)得：a+b=6，ab=4，
∴a2+b2−3ab=(a+b)2−5ab=62−5×4=16；
(3)∵a的小数部分是x，
∴x=3− 5，
∵b的整数部分是y，
∴y=5，
∴ax−by=(3− 5)(3− 5)−5(3+ 5)=9−6 5+5−15−5 5=−1−11 5．
【解析】(1)直接把a=3− 5，b=3+ 5代入计算即可；
(2)把a2+b2−3ab变形为(a+b)2−5ab，再整体代入计算即可；
(3)先判断x=3− 5，y=5，再代入计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵点D是斜边BC的中点，
∴CD=BD，
∵CD=AE，
∴BD=AE，
∵BC/​/AE，
∴AE=BD，AE/​/BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD=BD=12BC，
∴四边形ADBE是菱形；
解：(2)∵四边形ADBE是菱形，
∴BE=BD，AE=AD，
在△ABE和△ABD中，
AE=ADBE=BDAB=AB，
∴△ABE≌△ABD(SSS)，
∴S△ABE=S△ABD，
∵CD=BD，
∴S△ACD=S△ABD，
∴S△ABD=S△ABE=S△ACD，
∵AB=8，AC=6，∠BAC=90°，
∴S菱形ADBE=S△ABE+S△ABD=S△ACD+S△ABD=S△ABC=12×6×8=24，
∴菱形ADBE的面积为24．
【解析】(1)根据已知条件，证出AE/​/BD，AE=BD，从而得出四边形ADBE是平行四边形，根据∠BAC=90°，点D是BC的中点，得出AD=BD=12BC，进而得出四边形ADBE是菱形；
(2)根据四边形ADBE是菱形，得出AE=AD，BE=BD，通过证明△ABE≌△ABD(SSS)，得到S△ABE=S△ABD，最后通过将菱形的面积转化为直角三角形ABC的面积解答即可．
本题主要考查了菱形的性质和判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2−BD2=252−152=400，
所以，CD=20米，
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米)，
答：风筝的高度CE为21.6米．
(2)如下图所示：
由题意得，CM=12米，
∴DM=8米，
∴BM2=DM2+BD2=82+152=289，即BM=17米，
∴BC−BM=25−17=8(米)，
∴他应该往回收线8米．
【解析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论
21.【答案】解：(1)1 5−2−5 5
=1×( 5+2)( 5−2)×( 5+2)−5 5( 5)2
= 5+25−4− 5
= 5+2− 5
=2；
(2) 7− 6< 6− 5，
理由是：1 7− 6=1×( 7+ 6)( 7+ 6)×( 7− 6)= 7+ 6，1 6− 5=1×( 6+ 5)( 6− 5)×( 6+ 5)= 6+ 5，
∵ 7+ 6> 6+ 5，
∴ 7− 6< 6− 5；
(3)原式=1×( 2−1)(1+ 2)×( 2−1)+1×( 3− 2)( 2+ 3)×( 3− 2)+⋅⋅⋅+1×( 100− 99)( 99+ 100)×( 100− 99)
= 2−1+ 3− 2+⋅⋅⋅+ 100− 99
=−1+ 100
=−1+10
=9．
【解析】(1)先分母有理化，再根据减法法则进行计算即可；
(2)先求出两个数的倒数，再比较大小即可；
(3)先分母有理化，再合并同类二次根式即可．
本题考查了实数的大小比较，二次根式的混合运算，数字的变化类，分母有理化等知识点，能正确分母有理化是解此题的关键．
22.【答案】(1)解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，DE=12BC；
(2)解：∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF/​/BD，BD=2EF=6，
∴∠ADB=∠AFE=43°．
∵BC=10，CD=8，
∴BD2+CD2=100，BC2=100，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=133°；
(3)证明：如图，取DC的中点H，连接MH，NH．

∵M，H分别是AD，DC的中点，
∴MH//AC，MH=12AC，
同理可得NH//BD，NH=12BD．
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF，
∵MH//AC，NH//BD，
∴∠EFG=∠HMN，∠EGF=∠HNM，
∴∠HMN=∠HNM，
∴MH=NH，
∴AC=BD．
【解析】(1)根据三角形中位线定理即可得到结论；
(2)根据三角形中位线定理得到EF//BD，BD=2EF=6，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC=90°，计算即可；
(3)取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH/​/AC，MH=12AC，NH//BD，NH=12BD.根据等腰三角形的性质即可得结论．
本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)四边形BE′FE是正方形．
理由如下：
∵△CBE′是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的，
∴∠CE′B=∠AEB=90°，∠EBE′=90°，
又∵∠BEF+∠AEB=180°，
∴∠BEF=90°，
∴四边形BE′FE是矩形，
由旋转可知：BE=BE′，
∴四边形BE′FE是正方形；
(2)CF=FE′．
证明：如图②，过点D作DH⊥AE于点H，

则∠AHD=90°，∠DAH+∠ADH=90°，
∵DA=DE，
∴AH=EH=12AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠BAE=90°，
∴∠ADH=∠BAE，
在△ADH和△BAE中，
∠AHD=∠BEA=90°∠ADH=∠BAEAD=AB，
∴△ADH≌△BAE(AAS)，
∴AH=BE，
由旋转可知：AE=CE′，
由(1)可知：四边形BE′FE是正方形，
∴BE=E′F，
∴E′F=AH=12AE=12CE′，
∴CF=FE′．
【解析】(1)由旋转的性质可得∠CE′B=∠AEB=90°，BE=BE′，∠EBE′=90°，由正方形的判定可证四边形BEFE′是正方形；
(2)过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH=12AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH=BE=12AE，由旋转的性质可得AE=CE′，可得结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．