2023-2024学年广东省汕头市潮阳区谷饶镇八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省汕头市潮阳区谷饶镇八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. x2+1B. 12C. 2x3D. 53
2.下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是( )
A. a=1，b=2，c=2B. a=2，b=3，c=4
C. a=3，b=4，c=6D. a=1，b=1，c= 2
3.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2⋅ 3= 6C. 8=4D. (−3)2=−3
4.下列四边形中不一定为菱形的是( )
A. 对角线相等的平行四边形B. 每条对角线平分一组对角的四边形
C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形
5.如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于( )
A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm
6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
7.如图，在数轴上点A表示的数为a，则a的值为( )
A. 5B. − 5C. 1− 5D. −1+ 5
8.如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，则∠EBF等于( )
A. 75°B. 60°C. 50°D. 45°
9.如图，在矩形ABCD中，M是BC上的动点，E，F分别是AM，MC的中点，则EF的长随着M点的运动( )
A. 变短
B. 变长
C. 不变
D. 先变短再变长
10.如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1，PB=3.下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为 7；④S正方形ABCD=8+ 14.则正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且DC=5cm，则AB= ．
12.二次根式 1+x2中x的取值范围是______．
13.已知 x−2y+(x−y+3)2=0，则x+y= ______．
14.如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF= ______．
15.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算： 48÷ 3− 12× 12+ 24．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.求证：OE=OF；
19.(本小题6分)
古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷在镜里香.”平静的湖面上，一朵荷花婷婷玉立，露出水面10cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面.仔细观察，发现荷花偏离原地40cm(如图)，请问水深多少？
20.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连接DE，CF．
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
21.(本小题8分)
已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12．
(1)求证：△ABC是直角三角形
(2)求图形ABCD的面积．
22.(本小题8分)
如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
(1)求证：BN=DN；
(2)求△ABC的周长．
23.(本小题10分)
先观察下列等式，再回答下列问题：
① 1+112+122=1+11−11+1=112；
② 1+122+132=1+12−12+1=116；
③ 1+132+142=1+13−13+1=1112．
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 1+142+152的结果，并验证；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n(n为正整数)表示的等式．
(3)请利用上述规律来计算： 5049+164(仿照上式写出过程)；
24.(本小题10分)
如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．
(1)试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；
(2)若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．
25.(本小题10分)
已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN/​/BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF．
(1)求证：∠ECF=90°；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足条件：______，就能使矩形AECF变为正方形．(直接添加条件，无需证明)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】
解：A.是最简二次根式，故本选项符合题意；
B.被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意，
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：A、12+22≠22，故不能构成直角三角形，不符合题意；
B、22+32≠42，故不能构成直角三角形，不符合题意；
C、32+42≠62，故不能构成直角三角形，不符合题意；
D、12+12=( 2)2，故能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、 2与 3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、 2⋅ 3= 2×3= 6，故本选项正确；
C、 8=2 2，故本选项错误；
D、 (−3)2=3，故本选项错误．
故选：B．
根据二次根式的运算法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的运算法则，熟练掌握是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形，是矩形，故此选项符合题意．
利用菱形的判定定理得出B，C，D都符合菱形的判定定理，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据菱形的判定定理分别分析得出即可．
此题主要考查了菱形的判定和矩形的判定，熟练掌握其判定定理是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：根据平行四边形的性质得AD//BC，
∴∠EDA=∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠ADE，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE=AB=6，
即BE=BC−EC=8−6=2．
故选：A．
由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解．
本题直接通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8−x，
在Rt△AFD′中，(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
∴AF=AB−FB=8−3=5，
∴S△AFC=12⋅AF⋅BC=10．
故选：C．
因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，易证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB−BF，即可得到结果．
本题考查了翻折变换−折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理及实数与数轴之间的对应关系．
本题首先根据已知条件利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长度，进而利用实数与数轴的关系解答即可求解．
【解答】
解：由勾股定理可知，斜边= 12+22= 5，
点A在正半轴上，
故A表示的数是 5−1．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：连接BD．
∵BE⊥AD，AE=ED，
∴BD=AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A=60°，
又∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BED+∠BFD=180°，
∴∠ADC+∠EBF=180°，
又∵∠ADC+∠A=180°，
∴∠EBF=∠A=60°．
故选B．
依题意，首先推出△ABD是等边三角形，然后可知∠A=60°，∠EBF+∠D=180°，∠D+∠A=180°，故可得∠EBF=∠A=60°．
此题主要考查的知识点：(1)中垂线的性质；(2)菱形的两个邻角互补；(3)同角的补角相等；(4)菱形的四边相等．
9.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查三角形中位线的定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是本题解题的关键．
连接AC，，得出EF为三角形AMC的中位线，那么EF长恒等于定值AC的一半．从而可得出答案．
【解答】
解：连接AC，如图所示：
∵E，F分别是AM，MC的中点，
∴EF=12AC，
∵AC的长度不变，
∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，
故选C．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决复杂几何图形时要会分离图形，分离出对解决问题有价值的图形单独解决．①易知AE=AP，AB=AD，所以只需证明∠EAB=∠PAD即可用SAS说明△APD≌△AEB；②易知∠AEB=∠APD=135°，则∠BEP=∠AEB−∠AEP=135°−45°=90°，所以EB⊥ED；③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE值为 7，根据垂线段最短可知B到直线AE的距离小于 7；则③错误；④要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在△AEB中，∠AEB=135°，AE=1，BE= 7，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2=BH2+AH2即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAP+∠BAP=90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAB+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠DAP，
又AE=AP，
∴△APD≌△AEB(SAS)，
所以①正确；
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠APE=∠AEP=45°，
∴∠APD=180°−45°=135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB=∠APD=135°，
∴∠BEP=135°−45°=90°，
即EB⊥ED，②正确；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP= AE2+AP2= 1+1= 2，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE= BP2−EP2= 9−2= 7．
∵B点到直线AE的距离小于BE，
所以点B到直线AE的距离为 7是错误的，所以③错误；
在△AEB中，∠AEB=135°，AE=1，BE= 7，
如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．
∵∠AEB=135°，
∴∠AEH=∠HAE=45°，
∴△AHE为等腰直角三角形，
在等腰Rt△AHE中，可得AH=HE= 22AE= 22．
所以BH= 22+ 7．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2=BH2+AH2，
即AB2=( 22+ 7)2+ 222=8+ 14，
所以S正方形ABCD=8+ 14，所以④正确．
所以只有①②④的结论正确．
故选C．
11.【答案】10cm
【解析】【分析】
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】
解：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴AB=2CD=10cm，
故答案为：10cm．
12.【答案】x为任意实数
【解析】解：∵x2为非负数，
∴1+x2>0，
∴x为任意实数．
故答案为：x为任意实数．
根据二次根式有意义的条件即可求出x的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数必须大于等于0，否则二次根式无意义．
13.【答案】−9
【解析】解：∵ x−2y+(x−y+3)2=0，
∴x−2y=0①x−y+3=0②
②−①得y+3=0，解得y=−3，
把y=−3代入①得x+6=0，解得x=−6，
则x+y=−6−3=−9．
故答案为：−9．
根据算术平方根与平方的和为0，可得算术平方根与平方同时为0，可得二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法，可得答案．
本题考查了解二元一次方程组，算术平方根与平方的和为0，可得算术平方根与平方同时为0是解题关键．
14.【答案】45°
【解析】解：设∠BAE=x°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD．
∵AE=AB，
∴AB=AE=AD，
∴∠ABE=∠AEB=12(180°−∠BAE)=90°−12x°，∠DAE=90°−x°，∠AED=∠ADE=12(180°−∠DAE)=12[180°−(90°−x°)]=45°+12x°，
∴∠BEF=180°−∠AEB−∠AED=180°−(90°−12x°)−(45°+12x°)=45°．
故答案为：45°．
先设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，∠BAD=90°根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．
本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解答此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．
15.【答案】3 3
【解析】【解答】
解：
连接AC，
由题意△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠B=∠ACF=60°，
∵AD/​/BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，
∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，
∴∠AEB=∠AFC，
在△ABE和△ACF中，
∠B=∠ACF∠AEB=∠AFCAB=AC，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵当AE⊥BC时，AB=4，
∴AE=2 3，
∴△AEF的面积最小值=12×3×2 3=3 3，
故答案为：3 3．
【分析】
此题考查了菱形的性质，关键是根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质解答．
首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形，当AE⊥BC时得出△AEF的面积最小值即可．
16.【答案】5或t=8或t=258
【解析】解：在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=52−32=16，
∴BC=4(cm)；
①当AB=BP时，如图1，t=5；
②当AB=AP时，如图2，BP=2BC=8cm，t=8；
③当BP=AP时，如图3，AP=BP=tcm，CP=(4−t)cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，
所以t2=32+(4−t)2，
解得：t=258，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t=258．
故答案为：5或t=8或t=258．
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③当BP=AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
17.【答案】解：原式= 16− 6+2 6
=4+ 6
【解析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=12OA，OF=12OC，
∴OE=OF．
【解析】由▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，易证得OC=OA，又由E，F分别是OA，OC的中点，即可证得OE=OF．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线互相平分解答．
19.【答案】解：设水深为h，则荷花的高h+10，且水平距离为40cm，
则(h+10)2=402+h2，
解得h=75．
答：水深75cm．
【解析】设水深为h，则荷花的高h+10，因风吹花朵齐及水面，且水平距离为40cm，那么水深h与水平40组成一个以h+10为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案．
此题主要考查学生对勾股定理的应用这一知识点的理解和掌握，此题的关键是“水深h与水平40组成一个以h+10为斜边的直角三角形”这是此题的突破点，此题难度不大，属于中档题．
20.【答案】证明：(1)在▱ABCD中，AD//BC，且AD=BC．
∵F是AD的中点，
∴DF=12AD．
又∵CE=12BC，
∴DF=CE，且DF/​/CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
(2)解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在▱ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=12CD=2，DH=2 3．
在▱CEDF中，CE=DF=12AD=3，则EH=1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE= (2 3)2+1= 13．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定方法共有4种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
(1)由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD//BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等(DF=CE，且DF//CE)，即四边形CEDF是平行四边形；
(2)如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE.通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．
21.【答案】(1)证明：连接AC，在Rt△ACD中，AD=4，CD=3，
∴AC= AD2+CD2=5，
在△ABC中，
∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形；
(2)解：图形ABCD的面积为：
S△ABC−S△ACD=12×5×12−12×3×4=24．
【解析】(1)连接AC，在Rt△ACD中，AD=4，CD=3，可求AC；在△ABC中，由勾股定理的逆定理可证△ABC为直角三角形；
(2)利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法，关键是根据勾股定理的逆定理解答．
22.【答案】(1)证明：∵AN平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵BN⊥AN
∴∠ANB=∠AND=90°
在△ABN和△ADN中，
∵∠1=∠2AN=AN∠ANB=∠AND，
∴△ABN≌△ADN(ASA)，
∴BN=DN．
(2)解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴CD=2MN=6，
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
【解析】(1)证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；
(2)先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由(1)可得AD=AB=10，从而计算周长即可．
本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．
23.【答案】解：(1) 1+142+152=1+14−15=1120，
理由是： 1+142+152= 44116×25=214×5=1120；
(2) 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；
(3) 5049+164
= 1+149+164
= 1+172+182
=1+17−18
=1156．
【解析】(1)根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
(2)根据已知算式得出规律即可；
(3)先变形为原式= 1+172+182，再根据得出的规律进行计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)四边形ABCD为菱形．
理由如下：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE=FD，
∴BO=OD，
∵AO=OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
(2)∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE=5，
∵BD=24，
∴EF=8，OE=12EF=12×8=4，
由勾股定理得，AO= AE2−OE2= 52−42=3，
∴AC=2AO=2×3=6，
∴S四边形ABCD=12BD⋅AC=12×24×6=72．
【解析】(1)根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，再求出BO=OD，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明；
(2)根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠ECF=12×180°=90°；
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
∵MN/​/BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
又∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形；
(3) 解：当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN/​/BC，当∠ACB=90∘，
则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90∘，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
【解析】(1)由CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，可得∠ECF=90°；
(2)先证四边形AECF是平行四边形，结合∠ECF=90°，即可解题．
(3)由已知和(2)得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．
此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO=FO．