2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z=−2+i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(2,1)，b=(4,x)，且a/​/b，则x的值为( )
A. −2B. 2C. −8D. 8
3.在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若∠A=120°，a=2，b=2 33，则B=( )
A. π3B. 5π6C. π6或5π6D. π6
4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为( )
A. 33πB. πC. 2πD. 2π
5.已知P为△ABC所在平面内一点，BC=2CP，则( )
A. AP=−12AB+32ACB. AP=13AB+23AC
C. AP=32AB−12ACD. AP=23AB+13AC
6.已知非零向量a，b，则“|a−b|=|b|”是“a−2b=0”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2acsB=c，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
8.对于非零向量m，n，定义运算“×”：m×n=|m||n|sinθ，其中θ为m，n的夹角．设a，b，c为非零向量，则下列说法错误的是( )
A. a×b=b×aB. (a+b)×c=a×c+b×c
C. 若a×b=0，则a/​/bD. a×b=(−a)×b
9.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AA1=AB，P为棱A1B1的中点，Q为线段A1C上的动点.以下结论中正确的是( )
A. 存在点Q，使BQ/​/AC
B. 不存在点Q，使BQ⊥B1C1
C. 对任意点Q，都有BQ⊥AB1
D. 存在点Q，使BQ//平面PCC1
10.圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为( )
A. asin53°2sin47∘B. 2sin47°asin53∘
C. atan26.5°tan73.5°tan47∘D. asin26.5°sin73.5°sin47∘
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知复数z=i(1+i)，则z−= ______；|z|= ______．
12.已知向量a=(1,−1)，b=(−2,1)，则2a+b= ______；向量a在b上的投影向量的坐标为______．
13.正四面体ABCD中，二面角A−BC−D大小的余弦值为______．
14.已知点O(0,0)，A(1,2)，B(m,0)(m>0)，则cs= ，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m= ．
15.若△ABC的面积为 34(a2+c2−b2)，且∠C为钝角，则∠B= ；ca的取值范围是 ．
16.如图矩形ABCD中，AB=2BC=2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列叙述正确的有______(写出所有序号)．
①BM是定值；
②一定存在某个位置，使CE⊥DA1；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB/​/平面A1DE．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E，F分别是AB，PB的中点．
(Ⅰ)求证：EF/​/平面PAD；
(Ⅱ)求证：EF⊥CD．
18.(本小题14分)
已知f(x)= 3sin2x+2cs2x.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
19.(本小题14分)
如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF/​/DE，DE=3AF．
(1)求证：平面BAF//平面CDE；
(2)求证：平面EAC⊥平面EBD；
(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM/​/平面BEF，并证明你的结论．
20.(本小题14分)
已知在△ABC中，sin2A=sinBsinC．
(1)若∠A=π3，求∠B的大小；
(2)若bc=1，求△ABC的面积的最大值．
21.(本小题14分)
对于数集X={−1,x1,x2,…x}，其中0(Ⅰ)判断{−1,1,2}是否具有性质P；
(Ⅱ)若x>2，且{−1,1,2,x}具有性质P，求x的值；
(Ⅲ)若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn>1时，x1=1．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：复数z=−2+i，
则复数z在复平面内对应的点(−2,1)位于第二象限．
故选：B．
结合复数的几何意义，直接求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵a=(2,1)，b=(4,x)，且a/​/b，
∴2x−4=0，即x=2．
故选：B．
直接利用向量共线的坐标运算求解．
本题考查向量共线的坐标运算，是基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理，考查学生的计算能力．
根据条件，利用正弦定理进行求解即可．注意角B的范围．
【解答】
解：∵∠A=120°，a=2，b=2 33，
∴由正弦定理asinA=bsinB可得：
sinB=basinA=2 332× 32=12．
∵∠A=120°，∴B∈0°,60°，∴B=30°，即B=π6．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：由题知，如图，
△PAB为圆锥的轴截面，边长均为2，
则圆锥的高PO=2× 32= 3，
底面半径r=2×12=1，
故圆锥体积V=13πr2⋅PO=13π×12× 3= 33π．
故选：A．
根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解．
本题主要考查圆锥的体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由于BC=2CP，
利用向量的线性运算，AC−AB=2AP−2AC，
整理得：AP=−12AB+32AC．
故选：A．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
6.【答案】B
【解析】解：若非零向量a，b满足a−2b=0，则a−b=b，|a−b|=|b|，
故“|a−b|=|b|”是“a−2b=0”成立的必要条件，
若|a−b|=|b|，两边同时平方可得，a2−2a⋅b=0，a⋅(a−2b)=0，
令a=(1,0)，b=(12,−12)时，满足非零向量a，b且a−2b=(0,1)，a⋅(a−2b)=0成立，但a−2b≠0．
故“|a−b|=|b|”不是“a−2b=0”成立的充分条件，
综上所述，“|a−b|=|b|”是“a−2b=0”成立的必要不充分条件．
故选：B．
根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：c=2acsB，由正弦定理可得
sinC=sin(A+B)=2sinAcsB，
由两角和的正弦公式可得：sinAcsB+csAsinB=2sinAcsB，
∴sinAcsB=csAsinB，
可得tanA=tanB，
又0∴A=B，
故△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A．
由正弦定理可得sin(A+B)=2sinAcsB，由两角和的正弦公式可求得tanA=tanB，根据0本题考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小得到tanA=tanB是解题的关键，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：非零向量m，n，定义运算“×”：m×n=|m||n|sinθ，其中θ为m，n的夹角．
故：①a×b=a×b=|a||b|sinθ，
故A正确．
②a×b=|a||b|sinθ=0，
则：θ=0或π，
所以：a和b共线，
故：C正确．
③由于：a×b=(−a)×b=|a||b|sinθ，
故：D正确，
所以利用排除法得到：B错误．
故选：B．
利用向量的数量积的运算和排除法求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
9.【答案】C
【解析】解：
A选项，由于BQ∩平面ABC=B，B∉AC，AC⊂平面ABC，则BQ，AC一定异面，A选项错误；
B选项，根据直三棱柱性质，BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故BB ​1⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩BB1=B，AB，BB1⊂平面ABB1A1，
故BC⊥平面ABB1A1，
又BA1⊂平面ABB1A1，
故BC⊥BA1，
显然BC/​/B1C1，
即B1C1⊥BA1，
故A ​1，Q重合时，BQ⊥B1C1，B选项错误；
C选项，直棱柱的侧面ABB1A1必是矩形，
而AA1=AB，
故矩形ABB1A1成为正方形，
则AB1⊥BA1，
B选项已经分析过，BC⊥平面ABB1A1，
由AB1⊂平面ABB1A1，
故AB ​1⊥BC，
又BC∩BA1=B，BC，BA1⊂平面BCA1，
故AB ​1⊥平面BCA1，
又BQ⊂平面BCA1，
则BQ⊥AB1必然成立，C选项正确；
D选项，取AB中点M，连接CM，PM，
根据棱柱性质可知，CM和C1P平行且相等，
故平面PCC1可扩展成平面CMPC1，
过B作BN⊥CM，垂足为N，
根据BB1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，
故BB 1⊥BN，
显然BB1//CC1，
故BN⊥CC1，
由BN⊥CM，CC1∩CM=C，CC1，CM⊂平面CMPC1，
故BN⊥平面CMPC1，
若BQ//平面PCC1，
则BQ⊥BN，
过Q作QO//BB1，交A1C1于O，连接B1O，于是BQOB1共面，
又BQ∩BB1=B，BQ，BB1⊂平面BQOB1，
故BN⊥平面BQOB1，
由于B1O⊂平面BQOB1，
故BN⊥B1O，延长OQ交AC于J，
易得B1O//BJ，
则BJ⊥BN，
而J在线段AC上，
这是不可能的，D选项错误．
故选：C．
A选项，根据异面直线的定义可以判断；
B选项，容易发现A1，Q重合时符合题意；
C选项，利用线面垂直的性质得到线面垂直；
D选项，先找出平面PCC1的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ垂直的问题．
本题考查了异面直线的判断，线面垂直的判定与性质，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了解三角形，考查了学生数学建模思想，属于基础题．
先求出∠BAD，然后利用正弦定理求出AD，再在△ADC中，求出AC．
【解答】
解：由题可知：∠BAD=73.5°−26.5°=47°，
在△BAD中，由正弦定理可知：BDsin∠BAD=ADsin∠ABD，即asin47∘=ADsin26.5∘，
则AD=asin26.5°sin47∘，
又在△ACD中，ACAD=sin∠ADC=sin73.5°，
所以AC=asin26.5°sin73.5°sin47∘，
故选：D．
11.【答案】−1−i 2
【解析】解：z=i(1+i)=−1+i，
则z−=−1−i，|z|= (−1)2+12= 2．
故答案为：−1−i； 2．
结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
12.【答案】(0,−1) (65,−35)
【解析】解：a=(1,−1)，b=(−2,1)，
则2a+b=(2,−2)+(−2,1)=(0,−1)；
a⋅b=1×(−2)+(−1)×1=−3，|b|= (−2)2+12= 5，
故向量a在b上的投影向量的坐标为：a⋅b|b|×b|b|=−35b=(65,−35).
故答案为：(0,−1)；(65,−35).
结合平面向量的坐标运算，以及投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
13.【答案】13
【解析】解：设正四面体ABCD的棱长为2，
取BC中点O，连接AO，DO，则∠AOD就是二面角A−BC−D的平面角，
∵AO=DO= 3，
∴cs∠AOD=( 3)2+( 3)2−222× 3× 3=13．
故答案为：13．
取BC中点O，连接AO，DO，则∠AOD就是二面角A−BC−D的平面角，由此能求出二面角A−BC−D大小的余弦值．
本题考查二面角的大小的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．
14.【答案】 55
5

【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
对于第一空：求出OA、OB的坐标，计算可得OA、OB的模以及OA⋅OB的值，由向量夹角公式计算可得答案，
对于第二空：分析可得AB⊥OA，求出AB的坐标，由向量数量积的计算公式可得AB⋅OA=(m−1)+2×(−2)=0，解可得m的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，点O(0,0)，A(1,2)，B(m,0)，
则OA=(1,2)，OB=(m,0)，则|OA|= 5，|OB|=m，
OA⋅OB=m，
故cs=OA⋅OB|OA||OB|= 55，
若B是以OA为边的矩形的顶点，而OA与OB不垂直，则必有AB⊥OA，
又由AB=(m−1,−2)，则有AB⋅OA=(m−1)+2×(−2)=0，解可得m=5，
故答案为： 55；5．
15.【答案】π3；(2,+∞)
【解析】【分析】
本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
利用余弦定理，转化求解即可．
【解答】
解：△ABC的面积为 34(a2+c2−b2)，
可得： 34(a2+c2−b2)=12acsinB，
即a2+c2−b2=2 3acsinB，
又a2+c2−b2=2ac·csB，
则sinBcsB= 3，
可得：tanB= 3，所以B=π3，
又∠C为钝角，
则A∈(0,π6)，
所以1tanA∈( 3,+∞)，
即ca=sinCsinA=sin(A+B)sinA
=csB+1tanAsinB
=12+ 321tanA∈(2,+∞)，
故答案为：π3；(2,+∞)．
16.【答案】①②④
【解析】解：对于①④，取CD中点F，连接MF，BF，则MF/​/DA1，BF//DE，
∴平面MBF/​/平面A1DE，∴MB/​/平面A1DE，故④正确，
由∠A1DE=∠MFB=π4，MF=12A1D=12，FB=DE= 2，
由余弦定理可得MB2=MF2+FB2−2MF⋅FB⋅cs∠MFB=94，
所以MB=32是定值，故①正确，
对于②，当A1C= 3时，
因为A1E=1，CE= 2，所以A1C2=A1E2+CE2，
所以A1E⊥CE，
因为矩形ABCD中，DE=CE= 2，DC=2，
所以DE2+CE2=DC2，即DE⊥EC，
又因为A1E∩DE=E，所以CE⊥平面A1DE，
所以CE⊥DA1，故②正确，
假设③正确，即在某个位置，使DE⊥A1C，
又因为矩形ABCD中，DE=CE= 2，DC=2，
所以DE2+CE2=DC2，即DE⊥EC，
又因为A1C∩EC=C，所以DE⊥平面A1EC，
则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾，
所以不存在某个位置，使DE⊥A1C，故③错误．
故答案为：①②④．
取CD中点F，连接MF，BF，则MF/​/DA1，BF//DE，易证平面MBF/​/平面A1DE，进而可判断④，再利用余弦定理可判断①，再利用线面垂直的判定定理可判断②③．
本题主要考查了面面平行，线面垂直的判定，属于中档题．
17.【答案】证明：(Ⅰ)E，F分别是AB，PB的中点，
可得EF/​/PA，
而EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以EF/​/平面PAD；
(Ⅱ)PD⊥底面ABCD，PD⊂平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
因为底面ABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PA，
由(Ⅰ)可得EF/​/PA，
所以EF⊥CD．
【解析】(Ⅰ)由题意可证得EF/​/PA，进而求出结论；
(Ⅱ)由题意可证得CD⊥平面PAD，由(Ⅰ)进而可证得结论．
本题考查线面平行的证法及线线垂直的证法，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)= 3sin2x+2cs2x= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，
令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z，
可得f(x)单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z．
(Ⅱ)∵x∈[0,π2]，
∴2x+π6∈[π6,7π6]，
∴由函数图象性质可有，
当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)max=3；
当2x+π6=7π6，即x=π2时，f(x)min=0．
【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=2sin(2x+π6)+1，利用正弦函数的性质即可求解．
(Ⅱ)根据x∈[0,π2]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质即可求解．
本题考查了三角函数的化简和计算能力．三角函数性质的运用．属于基础题．
19.【答案】证明：(1)∵AF//DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，
∴AF/​/平面CDE.同理，AB/​/平面CDE，
∵AF∩AB=A，AF、，
∴平面BAF//平面CDE；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD∩DE=D.BD、DE⊂平面EBD，
∴AC⊥平面EBD，
∵AC⊂平面EAC，
∴平面EAC⊥平面EBD；
解：(3)BM=13BD时，AM/​/平面BEF，理由如下：
作MN/​/ED，则MN平行且等于13DE，
∵AF/​/DE，DE=3AF，
∴AF //MN且AF=MN，
∴四边形AMNF是平行四边形，
∴AM//FN，
∵AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，
∴AM/​/平面BEF．

【解析】(1)先证明AF//平面CDE，AB/​/平面CDE，即可证明平面BAF//平面CDE；
(2)证明AC⊥平面EBD可得平面EAC⊥平面EBD；
(3)BM=13BD时，AM/​/平面BEF，证明四边形AMNF是平行四边形，得出AM/​/FN，即可证明AM/​/平面BEF．
本题考查线面平行、平面与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确证明线面平行是关键．
20.【答案】解：(1)∵sin2A=sinBsinC.由正弦定理可得a2=bc，
由余弦定理可得：csA=b2+c2−a22bc，
∴12=b2+c2−bc2bc，化为(b−c)2=0，
∴b=c．
∴△ABC是等边三角形，
∴B=π3．
(2)∵bc=1，a2=bc，
由余弦定理可得：csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−12≥2bc−12=12，A∈(0,π)，
当且仅当b=c时，等号成立，
∴0∴S△ABC=12bcsinA=12sinA≤12sinπ3= 34．
∴△ABC的面积的最大值为 34．
【解析】(1)由sin2A=sinBsinC.利用正弦定理可得a2=bc，再利用余弦定理可得：csA=b2+c2−a22bc，代入即可得出．
(2)由bc=1，a2=bc，利用余弦定理可得：csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−12，再利用基本不等式的性质及其三角形的面积计算公式即可得出．
本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质及其三角形的面积计算公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ){−1,1,2}具有性质P．
(Ⅱ)选取a1=(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(−1,b)．
所以x=2b，从而x=4；
(III)证明：取a1=(x1,x1)∈Y，设a2=(s,t)∈∈Y满足a1⋅a2=0．
由(s+t)x1=0得s+t=0，所以s、t异号．
因为−1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为−1，另一为1，
故1∈X．
假设xk=1，其中1选取b1=(x1,xn)，并设b2=(p,q)满足b1⋅b2=0，
即px1+qxn=0，则p，q异号，从而p，q之中恰有一个为−1．
若p=−1，则x1=qxn，显然矛盾；
若q=−1，则xn=px1所以x1=1．
【解析】(Ⅰ)根据新定义直接判断即可．
(Ⅱ)在Y中取a1=(x,2)，根据数量积的坐标公式，可得Y中与a1垂直的元素必有形式(−1,b)，所以x=2b，结合x>2，可得x的值．
(Ⅲ)取a1=(x1,x1)，a2=(s,t)根据a1⋅a2=0，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而−1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为−1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当xn>1时，x1=1．
本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了集合元素的性质与向量的综合等知识点，本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．