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2024年四川省乐山市部分学校中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2024年四川省乐山市部分学校中考数学模拟试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若4a+1的算术平方根是5，则a−2的算术平方根是( )
A. 6B. ±2C. 2D. 2
2.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A=60°，∠E=45°，若AB//CF，则∠CBD的度数是( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
3.打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，如图中是一款陀螺的示意图，其主视图为( )
A.
B.
C.
D.
4.2024年春节期间国内旅游出行合计约474000000人次，比2023年大幅增加.数据474000000用科学记数法表示为( )
A. 0.474×109B. 47.4×107C. 4.74×109D. 4.74×108
5.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为( )
A. 10−1B. 10C. 10+1D. 2− 10
6.小明上个月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店举行优惠活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小华比上次多买了2本，却只比上次多用了4元钱.设小明上个月买了x本笔记本，根据题意可列方程( )
A. 24x+2−20x=1B. 20x−24x+2=1C. 24x−20x+2=1D. 20x+2−24x=1
7.若am=3，则a2m的值为( )
A. 6B. 27C. 3D. 9
8.在市中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的14名运动员的成绩如表所示：
则这些运动员成绩的中位数，众数分别为( )
A. 1.70，1.75B. 1.65，1.75C. 1.65，1.70D. 1.70，1.70
9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，CD平分∠ACB，AD=2，则⊙O的半径为( )
A. 2
B. 1
C. 2
D. 3
10.如图，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若一个角的余角的3倍比这个角的补角多12°，则这个角的度数为______．
12.命题“等角的余角相等”的逆命题是______，这是一个______命题.(填“真”或“假”)
13.对于一次函数y=kx−k+4的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是______．
14.某校为了了解七年级学生参加课外兴趣小组的情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了频数分布直方图，已知图中第一组至第四组小长方形的高之比为2：3：4：1，那么第三组的频数是______．
15.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=ACCD=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3.类比这种方法，计算tan22.5°的值为______．
16.如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是______．
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：(2024−π)0+| 3−1|−(12)−1+ 12．
18.(本小题9分)
先化简，再求值：(x+1x−1)⋅x2+xx2−1，其中x= 2+1．
19.(本小题9分)
课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1.请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．”
(1)小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2，再通过旋转得到△A1B1C1”.请根据小明的方案画出△A2B2C2，并描述旋转过程；
(2)小红通过研究发现，△ABC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1.请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的．
20.(本小题10分)
如图，矩形ABCD沿着直线EF对折，点D恰好落与BC边上的点H重合，HC=16，AB=8．
(1)判断△EFH的形状，并说明理由；
(2)求△EFH的面积．
21.(本小题10分)
临近考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：
A.享受美食，B.交流谈心，C.体育锻炼，D.欣赏艺术．
(1)随机采访一名考生，选择其中某一种方式，他选择“交流谈心”的概率是______；
(2)同时采访两名考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“体育锻炼”的概率．
22.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2+(m−1)x−m=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根为负数，求m的取值范围．
23.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径，连接AC，AC平分∠BAD，过点C作CE//BD交AD的延长线于点E．
(1)求证：CE为⊙O的切线．
(2)求证：△ABC∽△CDE．
(3)若AB=3，AD=4，求线段DE的长．
24.(本小题10分)
在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西36°方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
(1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间；
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1.2小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线交反比例函数y=kx的图象于点C．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点D在直线AB上，且△BCD的面积为3，求点D的坐标．
26.(本小题13分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=−x2+x−1的形状相同，且与x轴交于点(−1,0)和(4,0).直线y=kx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，交抛物线y=ax2+bx+c于点C，D(点C在点D的左侧)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点，当k=2时，求△PCD面积的最大值；
(3)若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵4a+1的算术平方根是5，
∴4a+1=5 2，
∴a=6，
∴a−2=4
∴a−2的算术平方根是2．
故选：D．
根据算术平方根的定义即可作答．
本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵AB//CF，
∴∠BCD=∠ABC=30°．
∵∠BDF是△BCD的外角，
∴∠CBD=∠EDF−∠BCD=45°−30°=15°．
故选：A．
由AB//CF，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠BCD=30°，再利用三角形的外角性质，即可求出∠CBD的度数．
本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：该几何体的主视图的底层是一个等腰三角形，上层是一个等腰梯形．
故选：A．
根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案．
本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：474000000=4.74×108．
故选：D．
学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=1，
∴AC= AB2+BC2= 32+12= 10，
∴AM=AC= 10．
∵A点表示−1，
∴M点表示的数为： 10−1，
故选：A．
首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示−1，可得M点表示的数．
此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
6.【答案】B
【解析】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了(x+2)本，
根据题意得：20x−20+4x+2=1，
即：20x−24x+2=1．
故选：B．
由设他上月买了x本笔记本，则这次买了(x+2)本，然后可求得两次每本笔记本的价格，由等量关系：每本比上月便宜1元，即可得到方程．
此题考查了由实际问题抽象出分式方程．注意准确找到等量关系是关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵am=3，
∴a2m=(am)2=32=9，
故选：D．
由a2m=(am)2，再把am=3代入即可．
本题考查的是幂的乘方的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：将这14名运动员的成绩从小到大排列，则中位数是170；
∵175出现了4次，出现的次数最多，
∴这些运动员成绩的众数是175；
故选：A．
根据众数和中位数的定义直接解答即可．
本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．
9.【答案】C
【解析】解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD，
∴AD=BD=2，
∴AB= 2AD=2 2，
∴⊙O的半径为 2，
故选：C．
连接BD，根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB=90°，求得AD=BD=2，根据等腰直角三角形的性质得到AB= 2AD=2 2，于是得到⊙O的半径为 2．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点B作BH⊥DA交DA的延长线于H，设BH=h，则有当点P在线段AD上时，y=12×h×x，h是定值，y是x的一次函数．
点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大，且y是x的一次函数，即y=12hx，
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，即y=12h(x−AD−DC)，
故选：C．
分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
本题以动点问题为背景，考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律．
11.【答案】39°
【解析】解：设这个角是x°，则它的余角是(90−x)°，补角是(180−x)°，
根据题意得3(90−x)−(180−x)=12，
解得：x=39．
故这个角的度数为39°．
故答案为：39°．
根据余角的和等于90°，补角的和等于180°，用这个角表示出它的余角与补角，然后根据题意列出方程求解即可．
本题考查了余角和补角的知识，掌握余角的和等于90°，互补的两角之和为180°是关键．
12.【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等 真
【解析】解：“等角的余角相等”的逆命题为“如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等”，这是一个真命题．
故答案为如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等；真．
先把等角的余角相等写成“如果…那么…”的形式，然后交换题设和结论即可得到逆命题，再判断其真假．
本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．
13.【答案】(1,4)
【解析】解：y=kx−k+4=(x−1)k+4，
当x−1=0，即x=1时，无论k为何值，y的值都为4，
因此这个点的坐标是(1,4)．
故答案为：(1,4)．
将y=kx−k+4变形为y=(x−1)k+4，即可求解．
本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是将y=kx−k+4变形为y=(x−1)k+4．
14.【答案】16
【解析】解：根据题意第三组的频数是40×42+3+4+1=16，
故答案为：16．
用总人数乘以第三组小长方形的高所占比例即可．
本题主要考查频数(率)分布直方图，解题的关键是掌握矩形的高度即为该组频数及频数之和等于总数、频率=频数÷总数．
15.【答案】 2−1
【解析】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，延长CB至点D，使得AB=BD，则∠BAD=∠D．
∵∠ABC=45°，
∴45°=∠BAD+∠D=2∠D，
∴∠D=22.5°，
设AC=1，则BC=1，AB= 2AC= 2，
∴CD=CB+BD=CB+AB=1+ 2，
∴tan22.5°=tanD=ACCD=11+ 2=1− 2(1+ 2)(1− 2)= 2−1．
故答案为： 2−1．
在等腰直角△ABC中，∠C=90°，延长CB至点D，使得AB=BD，则∠BAD=∠D.设AC=1，求出CD，可得结论．
本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．
16.【答案】4
【解析】解：如图所示，作∠BCE=∠ABD=20°，使得CE=AB，连接EM，
在△ABN和△ECM中，
AB=EC∠ABN=∠ECMBN=CM，
∴△ABN≌△ECM(SAS)，
∴AN=EM，
∴AN+AM=EM+AM，
当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长，
又∵AM+AN的最小值为4，
∴AE的长为4，
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵CE=AB=AC，∠ACE=40°+20°=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=AE=4，
∴AB=4，
故答案为：4．
作∠BCE=∠ABD=20°，使得CE=AB，连接EM，依据△ABN≌△ECM(SAS)，即可得到AN=EM，进而得出当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长，再根据△ACE是等边三角形，即可得到AB的长．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
17.【答案】解：(2024−π)0+| 3−1|−(12)−1+ 12
=1+ 3−1−2+2 3
=3 3−2．
【解析】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟练掌握相关知识点是关键．
18.【答案】解：(x+1x−1)⋅x2+xx2−1
=x+1−xx⋅x(x+1)(x+1)(x−1)
=1x⋅xx−1
=1x−1，
当 x= 2+1时，原式=1 2+1−1= 22．
【解析】先通分括号内的式子，再算乘法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A2B2C2即为所求，将△A2B2C2绕着点B1顺时针旋转90°，即可得到△A1B1C1．
(2)如图所示，连接CC1，BB1，作CC1的垂直平分线，BB1的垂直平分线，交于点P，则点P即为旋转中心．
【解析】(1)根据平移的方向和距离，即可得到△A2B2C2，将△A2B2C2绕着点B1顺时针旋转90°，即可得到△A1B1C1．
(2)连接CC1，BB1，作CC1的垂直平分线，BB1的垂直平分线，交于点P，根据对应点到旋转中心的距离相等，即可得到点P即为旋转中心．
本题主要考查了利用旋转变换以及平移变换进行作图，解题时注意：平移作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解决问题的关键是掌握：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上．
20.【答案】解：(1)△EFH是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠HFE，
∵∠DEF=∠HEF，
∴∠HEF=∠HFE，
∴HE=HF，
∴三角形EFH是等腰三角形；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，
由折叠的性质知：
∵CD=HG=8，CF=FG，∠C=∠G=90°，
设FH=x，则FG=CF=16−x，
在Rt△FHG中，
FH2=FG2+HG2，即x2=(16−x)2+82，
解得x=10，
∴FH=10，
∴三角形EFH的面积为12×FH×AB=12×10×8=40．
【解析】(1)由四边形ABCD是矩形，证得HE=HF，即可得三角形EFH是等腰三角形；
(2)由折叠的性质得CD=HG=8，CF=FG，∠C=∠G=90°，设FH=x，则FG=CF=16−x，在Rt△FHG中，FH2=FG2+HG2，即x2=(16−x)2+82，解得x=10，即可得三角形EFH的面积为12×FH×AB=12×10×8=40．
本题主要考查了图形折叠，解题关键是勾股定理的正确应用．
21.【答案】14
【解析】解：(1)他选择“交流谈心”的概率是14；
故答案为：14；
(2)列表如下：
共有16种等可能的结果数，其中他们中至少有一人选择“体育锻炼”的结果数为7，
∴他们中至少有一人选择“体育锻炼”的概率为716．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列出图表得出所有等可能的结果数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式可得出答案．
此题考查了列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：∵a=1，b=m−1，c=−m，
∴Δ=b2−4ac=(m−1)2−4×1×(−m)
=m2+2m+1
=(m+1)2．
∵对任意实数m，(m+1)2≥0，
∴对任意实数m，方程总有两个实数根；
(2)解：x=−b± b2−4ac2a=1−m±(m+1)2×1，
∴x=1，x=m．
∵方程的一根为负数，
∴−m<0，
∴m>0．
【解析】(1)计算方程根的判别式，判断其符号即可；
(2)求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图：连接OC．
∵AC平分∠BAD，
∴BC=DC，
∴BC=DC；
∵BD为直径，
∴OB=OD，
∴CO⊥BD，
∴∠COD=90°，
∵BD//CE，
∴∠OCE=∠COD=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE与⊙O相切，即CE为⊙O的切线；
(2)证明：∵BD//CE，
∴∠ADB=∠E，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=∠E；
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△DCE，
(3)解：在Rt△ABD中，BD= AD2+AB2= 42+32=5，
在Rt△BCD中，BC=CD= 22BD= 22×5=5 22，
∵△ABC∽△DCE，
∴ABCD=BCDE，
∴35 22=5 22DE，
∴DE=256．
【解析】(1)如图：连接OC，先说明BC=DC，再说明OB=OD，进而说明∠COD=90°，再根据BD//CE可得∠OCE=∠COD=90°，即可证明结论；
(2)先根据平行线的性质和等量代换可得∠ACB=∠E，再根据圆的内接四边形的性质可得∠ABC=∠CDE，从而得到△ABC∽△DCE；
(3)由直径所对的圆周角为直角和角平分线的意义可得出△BCD是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BC、CD，再由三角形相似求出DE．
本题主要考查了圆切线的判定、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
24.【答案】解：(1)由已知得：∠BCA=36°+54°=90°，
AB= AC2+BC2=100海里，
t=10020=5(小时)，
答：货船从A港口到B港口需要5小时；
(2)这艘船在本次运输中是否符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作CD⊥AB交AB于D，
在AB上取两点M，N使得CM=CN=50海里，
∵SABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=80×60100=48(海里)，
∴DM= CM2−CD2=14海里，
∵CM=CN且CD⊥AB，
∴MN=2DM=28海里，
∴t1=MN20=1.4小时，
∵1.4>1.2，
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．
【解析】(1)先求出∠BCA=36°+54°=90°，然后根据勾股定理求出AB=100海里，再求出时间即可；
(2)过C作CD⊥AB交AB于D，在AB上取两点M，N使得CM=CN=50海里，根据等积法求出CD=AC⋅BCAB=80×60100=48海里，根据勾股定理求出DM= CM2−CD2=14海里，根据等腰三角形的性质得出MN=2DM=28海里，最后求出时间进行比较即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，准确计算．
25.【答案】解：(1)∵点B(a,4)在直线y=x+3上，
∴a+3=4，则a=1，
∴点B(1,4)，
∵点B(1,4)在反比例函数y=kx上，
∴k=1x4=4，
∴该反比例函数的表达式为y=4x；
(2)∵直线AB的关系式为y=x+3，而BC⊥AB，
∴可设直线BC的解析式为y=−x+b，
将点B(1,4)代入得，−1+b=4，
∴b=5，
∴设直线BC的解析式为y=−x+5，
∵方程组y=4xy=−x+5的解为x=1y=4或x=4y=1，经检验都是原方程的解，而点B(1,4)，
∴点C(4,1)，
∴BC= (1−4)2+(4−1)2=3 2，
∵△BCD的面积为3，即12BD⋅BC=3，
∴BD= 2，
设点D(m,m+3)，则由(m−1)2+(m+3−4)2=( 2)2，
解得m=0或m=2，
∴点D的坐标为(0,3)或(2,5)．
【解析】(1)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标，再代入反比例函数关系式求出k的值即可；
(2)根据互相垂直的两条直线的函数关系式的关系求出BC的关系式，由两点距离公式求出相等BC的长度，再根据三角形面积的计算方法求出BD，设出点D的坐标，由两点距离公式列方程求解即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握待定系数法求一次函数的关系以及互相垂直的两条直线关系式的关系是正确解答的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=−x2+x−1的形状相同，
∴a=−1，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)和(4,0)，
∴抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−4)=−x2+3x+4；
(2)当k=2时，联立方程组y=2x+2y=−x2+3x+4，
解得x=−1y=0或x=2y=6，
∴C(−1,0)，D(2,6)，
过点P作y轴的平行线交CD于点H，交x轴于点G，如图，
设点P坐标为(m,−m2+3m+4)(−1∴点H(m,2m+2)，
∴PH=−m2+3m+4−(2m+2)=−m2+m+2，
∴S△PCD=12PH×3=32(−m2+m+2)=−32(m−12)2+278，
∵−32<0，−1∴当m=12时，S有最大值，最大值为278．
∴△PCD面积的最大值为278；
(3)令x=0，则y=2，
∴点B坐标为(0,2)，
令y=0，则kx+2=0，
解得x=−2k，
∴点A坐标为(−2k,0)，
若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，
当k>0时，如图所示，
则−2k<−1，
解得0当k<0时，如图所示：
则−2k>4，
解得−12综上所述，k的取值范围为0【解析】(1)根据题意直接求出二次函数解析式即可；
(2)求出直线与抛物线的交点C，D坐标，过点P作y轴的平行线交CD于点H，交x轴于点G，设点P坐标为(m,−m2+3m+4)(−1(3)分k>0和k<0两种情况讨论即可．
本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
3
2
3
4
1
A
B
C
D
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
(D,D)
1.若4a+1的算术平方根是5，则a−2的算术平方根是( )
A. 6B. ±2C. 2D. 2
2.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A=60°，∠E=45°，若AB//CF，则∠CBD的度数是( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
3.打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，如图中是一款陀螺的示意图，其主视图为( )
A.
B.
C.
D.
4.2024年春节期间国内旅游出行合计约474000000人次，比2023年大幅增加.数据474000000用科学记数法表示为( )
A. 0.474×109B. 47.4×107C. 4.74×109D. 4.74×108
5.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为( )
A. 10−1B. 10C. 10+1D. 2− 10
6.小明上个月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店举行优惠活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小华比上次多买了2本，却只比上次多用了4元钱.设小明上个月买了x本笔记本，根据题意可列方程( )
A. 24x+2−20x=1B. 20x−24x+2=1C. 24x−20x+2=1D. 20x+2−24x=1
7.若am=3，则a2m的值为( )
A. 6B. 27C. 3D. 9
8.在市中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的14名运动员的成绩如表所示：
则这些运动员成绩的中位数，众数分别为( )
A. 1.70，1.75B. 1.65，1.75C. 1.65，1.70D. 1.70，1.70
9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，CD平分∠ACB，AD=2，则⊙O的半径为( )
A. 2
B. 1
C. 2
D. 3
10.如图，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若一个角的余角的3倍比这个角的补角多12°，则这个角的度数为______．
12.命题“等角的余角相等”的逆命题是______，这是一个______命题.(填“真”或“假”)
13.对于一次函数y=kx−k+4的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是______．
14.某校为了了解七年级学生参加课外兴趣小组的情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了频数分布直方图，已知图中第一组至第四组小长方形的高之比为2：3：4：1，那么第三组的频数是______．
15.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=ACCD=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3.类比这种方法，计算tan22.5°的值为______．
16.如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是______．
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：(2024−π)0+| 3−1|−(12)−1+ 12．
18.(本小题9分)
先化简，再求值：(x+1x−1)⋅x2+xx2−1，其中x= 2+1．
19.(本小题9分)
课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1.请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．”
(1)小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2，再通过旋转得到△A1B1C1”.请根据小明的方案画出△A2B2C2，并描述旋转过程；
(2)小红通过研究发现，△ABC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1.请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的．
20.(本小题10分)
如图，矩形ABCD沿着直线EF对折，点D恰好落与BC边上的点H重合，HC=16，AB=8．
(1)判断△EFH的形状，并说明理由；
(2)求△EFH的面积．
21.(本小题10分)
临近考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：
A.享受美食，B.交流谈心，C.体育锻炼，D.欣赏艺术．
(1)随机采访一名考生，选择其中某一种方式，他选择“交流谈心”的概率是______；
(2)同时采访两名考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“体育锻炼”的概率．
22.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2+(m−1)x−m=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根为负数，求m的取值范围．
23.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径，连接AC，AC平分∠BAD，过点C作CE//BD交AD的延长线于点E．
(1)求证：CE为⊙O的切线．
(2)求证：△ABC∽△CDE．
(3)若AB=3，AD=4，求线段DE的长．
24.(本小题10分)
在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西36°方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
(1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间；
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1.2小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线交反比例函数y=kx的图象于点C．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点D在直线AB上，且△BCD的面积为3，求点D的坐标．
26.(本小题13分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=−x2+x−1的形状相同，且与x轴交于点(−1,0)和(4,0).直线y=kx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，交抛物线y=ax2+bx+c于点C，D(点C在点D的左侧)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点，当k=2时，求△PCD面积的最大值；
(3)若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵4a+1的算术平方根是5，
∴4a+1=5 2，
∴a=6，
∴a−2=4
∴a−2的算术平方根是2．
故选：D．
根据算术平方根的定义即可作答．
本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵AB//CF，
∴∠BCD=∠ABC=30°．
∵∠BDF是△BCD的外角，
∴∠CBD=∠EDF−∠BCD=45°−30°=15°．
故选：A．
由AB//CF，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠BCD=30°，再利用三角形的外角性质，即可求出∠CBD的度数．
本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：该几何体的主视图的底层是一个等腰三角形，上层是一个等腰梯形．
故选：A．
根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案．
本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：474000000=4.74×108．
故选：D．
学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=1，
∴AC= AB2+BC2= 32+12= 10，
∴AM=AC= 10．
∵A点表示−1，
∴M点表示的数为： 10−1，
故选：A．
首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示−1，可得M点表示的数．
此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
6.【答案】B
【解析】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了(x+2)本，
根据题意得：20x−20+4x+2=1，
即：20x−24x+2=1．
故选：B．
由设他上月买了x本笔记本，则这次买了(x+2)本，然后可求得两次每本笔记本的价格，由等量关系：每本比上月便宜1元，即可得到方程．
此题考查了由实际问题抽象出分式方程．注意准确找到等量关系是关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵am=3，
∴a2m=(am)2=32=9，
故选：D．
由a2m=(am)2，再把am=3代入即可．
本题考查的是幂的乘方的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：将这14名运动员的成绩从小到大排列，则中位数是170；
∵175出现了4次，出现的次数最多，
∴这些运动员成绩的众数是175；
故选：A．
根据众数和中位数的定义直接解答即可．
本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．
9.【答案】C
【解析】解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD，
∴AD=BD=2，
∴AB= 2AD=2 2，
∴⊙O的半径为 2，
故选：C．
连接BD，根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB=90°，求得AD=BD=2，根据等腰直角三角形的性质得到AB= 2AD=2 2，于是得到⊙O的半径为 2．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点B作BH⊥DA交DA的延长线于H，设BH=h，则有当点P在线段AD上时，y=12×h×x，h是定值，y是x的一次函数．
点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大，且y是x的一次函数，即y=12hx，
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，即y=12h(x−AD−DC)，
故选：C．
分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
本题以动点问题为背景，考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律．
11.【答案】39°
【解析】解：设这个角是x°，则它的余角是(90−x)°，补角是(180−x)°，
根据题意得3(90−x)−(180−x)=12，
解得：x=39．
故这个角的度数为39°．
故答案为：39°．
根据余角的和等于90°，补角的和等于180°，用这个角表示出它的余角与补角，然后根据题意列出方程求解即可．
本题考查了余角和补角的知识，掌握余角的和等于90°，互补的两角之和为180°是关键．
12.【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等 真
【解析】解：“等角的余角相等”的逆命题为“如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等”，这是一个真命题．
故答案为如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等；真．
先把等角的余角相等写成“如果…那么…”的形式，然后交换题设和结论即可得到逆命题，再判断其真假．
本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．
13.【答案】(1,4)
【解析】解：y=kx−k+4=(x−1)k+4，
当x−1=0，即x=1时，无论k为何值，y的值都为4，
因此这个点的坐标是(1,4)．
故答案为：(1,4)．
将y=kx−k+4变形为y=(x−1)k+4，即可求解．
本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是将y=kx−k+4变形为y=(x−1)k+4．
14.【答案】16
【解析】解：根据题意第三组的频数是40×42+3+4+1=16，
故答案为：16．
用总人数乘以第三组小长方形的高所占比例即可．
本题主要考查频数(率)分布直方图，解题的关键是掌握矩形的高度即为该组频数及频数之和等于总数、频率=频数÷总数．
15.【答案】 2−1
【解析】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，延长CB至点D，使得AB=BD，则∠BAD=∠D．
∵∠ABC=45°，
∴45°=∠BAD+∠D=2∠D，
∴∠D=22.5°，
设AC=1，则BC=1，AB= 2AC= 2，
∴CD=CB+BD=CB+AB=1+ 2，
∴tan22.5°=tanD=ACCD=11+ 2=1− 2(1+ 2)(1− 2)= 2−1．
故答案为： 2−1．
在等腰直角△ABC中，∠C=90°，延长CB至点D，使得AB=BD，则∠BAD=∠D.设AC=1，求出CD，可得结论．
本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．
16.【答案】4
【解析】解：如图所示，作∠BCE=∠ABD=20°，使得CE=AB，连接EM，
在△ABN和△ECM中，
AB=EC∠ABN=∠ECMBN=CM，
∴△ABN≌△ECM(SAS)，
∴AN=EM，
∴AN+AM=EM+AM，
当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长，
又∵AM+AN的最小值为4，
∴AE的长为4，
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵CE=AB=AC，∠ACE=40°+20°=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=AE=4，
∴AB=4，
故答案为：4．
作∠BCE=∠ABD=20°，使得CE=AB，连接EM，依据△ABN≌△ECM(SAS)，即可得到AN=EM，进而得出当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长，再根据△ACE是等边三角形，即可得到AB的长．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
17.【答案】解：(2024−π)0+| 3−1|−(12)−1+ 12
=1+ 3−1−2+2 3
=3 3−2．
【解析】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟练掌握相关知识点是关键．
18.【答案】解：(x+1x−1)⋅x2+xx2−1
=x+1−xx⋅x(x+1)(x+1)(x−1)
=1x⋅xx−1
=1x−1，
当 x= 2+1时，原式=1 2+1−1= 22．
【解析】先通分括号内的式子，再算乘法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A2B2C2即为所求，将△A2B2C2绕着点B1顺时针旋转90°，即可得到△A1B1C1．
(2)如图所示，连接CC1，BB1，作CC1的垂直平分线，BB1的垂直平分线，交于点P，则点P即为旋转中心．
【解析】(1)根据平移的方向和距离，即可得到△A2B2C2，将△A2B2C2绕着点B1顺时针旋转90°，即可得到△A1B1C1．
(2)连接CC1，BB1，作CC1的垂直平分线，BB1的垂直平分线，交于点P，根据对应点到旋转中心的距离相等，即可得到点P即为旋转中心．
本题主要考查了利用旋转变换以及平移变换进行作图，解题时注意：平移作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解决问题的关键是掌握：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上．
20.【答案】解：(1)△EFH是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠HFE，
∵∠DEF=∠HEF，
∴∠HEF=∠HFE，
∴HE=HF，
∴三角形EFH是等腰三角形；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，
由折叠的性质知：
∵CD=HG=8，CF=FG，∠C=∠G=90°，
设FH=x，则FG=CF=16−x，
在Rt△FHG中，
FH2=FG2+HG2，即x2=(16−x)2+82，
解得x=10，
∴FH=10，
∴三角形EFH的面积为12×FH×AB=12×10×8=40．
【解析】(1)由四边形ABCD是矩形，证得HE=HF，即可得三角形EFH是等腰三角形；
(2)由折叠的性质得CD=HG=8，CF=FG，∠C=∠G=90°，设FH=x，则FG=CF=16−x，在Rt△FHG中，FH2=FG2+HG2，即x2=(16−x)2+82，解得x=10，即可得三角形EFH的面积为12×FH×AB=12×10×8=40．
本题主要考查了图形折叠，解题关键是勾股定理的正确应用．
21.【答案】14
【解析】解：(1)他选择“交流谈心”的概率是14；
故答案为：14；
(2)列表如下：
共有16种等可能的结果数，其中他们中至少有一人选择“体育锻炼”的结果数为7，
∴他们中至少有一人选择“体育锻炼”的概率为716．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列出图表得出所有等可能的结果数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式可得出答案．
此题考查了列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：∵a=1，b=m−1，c=−m，
∴Δ=b2−4ac=(m−1)2−4×1×(−m)
=m2+2m+1
=(m+1)2．
∵对任意实数m，(m+1)2≥0，
∴对任意实数m，方程总有两个实数根；
(2)解：x=−b± b2−4ac2a=1−m±(m+1)2×1，
∴x=1，x=m．
∵方程的一根为负数，
∴−m<0，
∴m>0．
【解析】(1)计算方程根的判别式，判断其符号即可；
(2)求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图：连接OC．
∵AC平分∠BAD，
∴BC=DC，
∴BC=DC；
∵BD为直径，
∴OB=OD，
∴CO⊥BD，
∴∠COD=90°，
∵BD//CE，
∴∠OCE=∠COD=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE与⊙O相切，即CE为⊙O的切线；
(2)证明：∵BD//CE，
∴∠ADB=∠E，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=∠E；
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△DCE，
(3)解：在Rt△ABD中，BD= AD2+AB2= 42+32=5，
在Rt△BCD中，BC=CD= 22BD= 22×5=5 22，
∵△ABC∽△DCE，
∴ABCD=BCDE，
∴35 22=5 22DE，
∴DE=256．
【解析】(1)如图：连接OC，先说明BC=DC，再说明OB=OD，进而说明∠COD=90°，再根据BD//CE可得∠OCE=∠COD=90°，即可证明结论；
(2)先根据平行线的性质和等量代换可得∠ACB=∠E，再根据圆的内接四边形的性质可得∠ABC=∠CDE，从而得到△ABC∽△DCE；
(3)由直径所对的圆周角为直角和角平分线的意义可得出△BCD是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BC、CD，再由三角形相似求出DE．
本题主要考查了圆切线的判定、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
24.【答案】解：(1)由已知得：∠BCA=36°+54°=90°，
AB= AC2+BC2=100海里，
t=10020=5(小时)，
答：货船从A港口到B港口需要5小时；
(2)这艘船在本次运输中是否符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作CD⊥AB交AB于D，
在AB上取两点M，N使得CM=CN=50海里，
∵SABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=80×60100=48(海里)，
∴DM= CM2−CD2=14海里，
∵CM=CN且CD⊥AB，
∴MN=2DM=28海里，
∴t1=MN20=1.4小时，
∵1.4>1.2，
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．
【解析】(1)先求出∠BCA=36°+54°=90°，然后根据勾股定理求出AB=100海里，再求出时间即可；
(2)过C作CD⊥AB交AB于D，在AB上取两点M，N使得CM=CN=50海里，根据等积法求出CD=AC⋅BCAB=80×60100=48海里，根据勾股定理求出DM= CM2−CD2=14海里，根据等腰三角形的性质得出MN=2DM=28海里，最后求出时间进行比较即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，准确计算．
25.【答案】解：(1)∵点B(a,4)在直线y=x+3上，
∴a+3=4，则a=1，
∴点B(1,4)，
∵点B(1,4)在反比例函数y=kx上，
∴k=1x4=4，
∴该反比例函数的表达式为y=4x；
(2)∵直线AB的关系式为y=x+3，而BC⊥AB，
∴可设直线BC的解析式为y=−x+b，
将点B(1,4)代入得，−1+b=4，
∴b=5，
∴设直线BC的解析式为y=−x+5，
∵方程组y=4xy=−x+5的解为x=1y=4或x=4y=1，经检验都是原方程的解，而点B(1,4)，
∴点C(4,1)，
∴BC= (1−4)2+(4−1)2=3 2，
∵△BCD的面积为3，即12BD⋅BC=3，
∴BD= 2，
设点D(m,m+3)，则由(m−1)2+(m+3−4)2=( 2)2，
解得m=0或m=2，
∴点D的坐标为(0,3)或(2,5)．
【解析】(1)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标，再代入反比例函数关系式求出k的值即可；
(2)根据互相垂直的两条直线的函数关系式的关系求出BC的关系式，由两点距离公式求出相等BC的长度，再根据三角形面积的计算方法求出BD，设出点D的坐标，由两点距离公式列方程求解即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握待定系数法求一次函数的关系以及互相垂直的两条直线关系式的关系是正确解答的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=−x2+x−1的形状相同，
∴a=−1，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)和(4,0)，
∴抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−4)=−x2+3x+4；
(2)当k=2时，联立方程组y=2x+2y=−x2+3x+4，
解得x=−1y=0或x=2y=6，
∴C(−1,0)，D(2,6)，
过点P作y轴的平行线交CD于点H，交x轴于点G，如图，
设点P坐标为(m,−m2+3m+4)(−1
∴PH=−m2+3m+4−(2m+2)=−m2+m+2，
∴S△PCD=12PH×3=32(−m2+m+2)=−32(m−12)2+278，
∵−32<0，−1
∴△PCD面积的最大值为278；
(3)令x=0，则y=2，
∴点B坐标为(0,2)，
令y=0，则kx+2=0，
解得x=−2k，
∴点A坐标为(−2k,0)，
若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，
当k>0时，如图所示，
则−2k<−1，
解得0
则−2k>4，
解得−12
(2)求出直线与抛物线的交点C，D坐标，过点P作y轴的平行线交CD于点H，交x轴于点G，设点P坐标为(m,−m2+3m+4)(−1
本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
3
2
3
4
1
A
B
C
D
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
(D,D)
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