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2023-2024学年重庆实验外国语学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）
展开这是一份2023-2024学年重庆实验外国语学校九年级（下）期中数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级学生，分别从七等内容，欢迎下载使用。
1.在 4，π，23，0这四个数中，无理数的个数有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.下列立体图形中，左视图是圆的为( )
A. B. C. D.
3.已知∠A=75°，则∠A的补角等于( )
A. 125°B. 105°C. 15°D. 95°
4.2023年我国出生人口约为9020000人，将9020000用科学记数法表示为( )
A. 90.2×105B. 0.902×107C. 9.02×106D. 9.02×107
5.下列计算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (x2)3=x5C. x2+x3=x5D. x6÷x3=x3
6.九章算术中有这样一个问题“今有二马、一牛价过一万，如半马之价.一马、二牛价不满一万，如半牛之价.问牛、马价各几何？”译文“两匹马和一头牛的总价比一万多，且多出的部分等于半匹马的价钱；同时，一匹马和两头牛的总价比一万少，且少的部分等于半头牛的价钱，问一匹马和一头牛的价钱分别是多少？”设一匹马的价格为x元，一头牛的价格为y元，根据题目描述可列方程组为( )
A. 2x+y=10000+0.5xx+2y=10000−0.5yB. 2x+y=10000+0.5yx+2y=10000−0.5x
C. x+2y=10000+0.5x2x+y=10000−0.5yD. 2x+y=10000−0.5xx+2y=10000+0.5y
7.如图，在平面直角坐标系中，直线AB过原点O，与反比例函数y=−8x图象交A、B两点，AC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
8.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，若CD=16，BE：AE=1：5，则⊙O的半径为( )
A. 10
B. 10 5
C. 165 5
D. 245 5
9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D分别作AB、AC的平行线，交AC、AB于点E、F，已知BF=2，CE=8，AD=2 6，四边形AEDF的面积为( )
A. 4 15B. 8 15C. 4 3D. 8 3
10.四个单项式依次为−(−x)、−|−1|x、−12x、(−1)2x，在每两个单项式之间添上“+”、“−”、“×”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为M(每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次).比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“+”、“−”、“×”就得到一个式子，记为M=−(−x)+(−|−1|x)−(−12x)×[(−1)2x]；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“×”、“−”、“+”就得到另一个式子，记为M=−(−x)×(−|−1|x)−(−12x)+(−1)2x；那么，下列说法中，正确的个数有个．( )
①将得到的所有M化简后，总共只有三种不同结果；
②对于得到的每一个M，令M=n，就得到一个关于x的方程，若所有关于x的方程M=n都有两个不相等的实数根，那么0
A. 3B. 2C. 1D. 0
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.计算：2−3+sin30°= ______．
12.已知点A(m,7)在函数y=3x+1的图象上，则m的值为______．
13.一个不透明的袋子里装了四个除标号外其余都相同的小球，小球的标号分别为1、2、3、4.若一次性随机抽取两个小球，则两个小球的对应标号之和大于 17的概率为______．
14.已知关于x、y的二元一次方程mx+n−y=0，下表列出了当x分别取值时对应的y值．
则关于x的不等式mx+n≤3的解集为______．
15.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接AC、BD.若△ACD为等边三角形，AC=4 3，点B、O、D共线，则阴影部分的面积为______．
16.如图，已知点E、点F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形ABCD沿EF折叠，点A、点B的对应点分别为点A′、点B′，点B′恰好落在CD边上，A′B′交AD于点G，连接BD交EF于点H，当∠A′GE=α度时，请用含α的式子表示∠FHD为______度.
17.若实数a使关于x的不等式组x−2≥3x−525x+a>4(1+x)无解，且使关于y的分式方程3+a2+y=2y+3y+2的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和为______．
18.对于一个四位自然数，如果它满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，千位数字与百位数字的差的绝对值小于个位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么我们称这个数为“三角数”.例如：3729，因为3+7>2，|3−7|<9，所以3729是“三角数”；又如4057，因为|4+0|<5，所以4057不是“三角数”.若M是最小的“三角数”，则M= ______；若“三角数”N=1010a+100b+40+c(1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9,a,b,c为整数)，记N的千位数字与十位数字的和为H(N)，当H(N)b−2是4的倍数时，满足条件的N的最大值和最小值的差为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(x+y)(3x−y)+(y−2x)(y+2x)；
(2)(x2−2xx2−4x+4+1)÷x2−1x2+x．
20.(本小题10分)
请完成以下作图和填空：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E．
(1)尺规作图：过点A作AF⊥CD交CD延长线于点F.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若DE=AF，求证：平行四边形ABCD为菱形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① ______，
∴∠ADF=∠C，
∵DE⊥BC，AF⊥CD，
∴② ______，
在△AFD与△DEC中：
∠ADF=∠C∠AFD=∠DECAF=DE，
∴△AFD≌△DEC(AAS)，
∴③ ______，
∴平行四边形ABCD是菱形(④______).
21.(本小题10分)
为了解学生的课外阅读情况，某校调研了七、八年级学生，分别从七、八年级中各随机抽取20名学生了解平均每天课外阅读时长(单位：小时)，对调查结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息1.七年级20名学生平均每天课外阅读时长如下所示：
3.0 2.8 2.6 2.5 2.4 2.3 2.0 2.0 2.0 1.7 1.6 1.6 1.4 1.2 1.0 1.0 0.8 0.6 0.3 0.2
信息2.(1)八年级20名学生平均每天课外阅读时长的频数分布直方图如图：(阅读时长用x表示，数据分为六组：0≤x<0.5，0.5≤x<1.0，1.0≤x<1.5，1.5≤x<2.0，2.0≤x<2.5，2.5≤x≤3)；
(2)八年级阅读时长范围为1.5≤x<2.5的数据如下：
1.6 1.8 1.9 2.0 2.1 2.1 2.1 2.4；
信息3.七、八年级抽取学生平均每天课外阅读时长统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______；请补全频数分布直方图；
(2)该校八年级共1800人，估计八年级每天课外阅读不少于1.5小时的学生人数；
(3)根据以上数据，你认为该校七、八年级在课外阅读方面哪个年级做得更好？请说明理由.(写出一条理由即可)
22.(本小题10分)
为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园.如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形ABCD人行步道.经测量，点B在点A的正东方向.点D在点A的正北方向，AD=1000米.点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60°方向，CD=4000米.(参考数据： 2≈1.41, 3≈1.73)
(1)求步道BC的长度(结果保留根号)；
(2)体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C.其中AD和AB都是下坡，DC和BC都是上坡.若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？
23.(本小题10分)
走洛克之路，赏人间仙境.洛克之路是甘南旅游网红自驾线路，起点为迭部县扎尕那，终点为卓尼县扎古录，全程共105千米.甲、乙两人分别驾车从迭部县扎尕那和卓尼县扎古录出发，沿洛克之路自驾旅游，3小时后两人相遇，相遇后甲、乙继续往目的地行驶并走完全程，乙走完全程所用时间是甲走完全程所用时间的1.5倍．
(1)甲、乙两人单独走完全程各需多少小时？
(2)风干牦牛肉是甘南特色小吃.甲购买了A种牦牛肉，乙购买了B种牦牛肉，甲购买的袋数比乙的2倍少5袋，已知A种牦牛肉价格为每袋35元，B种牦牛肉价格为每袋50元，计算发现乙购买牦牛肉花费更多.问乙最多购买了多少袋牦牛肉？
24.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AD=AE=5，AB=4，点P从点B出发沿着B→E→A方向运动，当点P到达点A时停止运动.设点P运动的路程为x，△PCD的面积为y．
(1)直接写出y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出y的函数图象，并写出一条该函数图象的性质：______．
(3)根据函数图象，直接写出当△PCD的面积大于△ABE的面积时，x的取值范围：______．
25.(本小题10分)
如图1，已知抛物线C1：y=−ax2+2ax+3 3与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C，其中A(−1,0)．
(1)求线段AB的长度．
(2)如图2，点P是直线BC上方抛物线C1上的一动点，过点P作PD//x轴交BC于点D，作PF//y轴交BC于点F，E为DF中点，连接PE，请求出PD+PE的最大值以及此时点P的坐标．
(3)将抛物线C1水平向右平移n(n>0)个单位后得到抛物线C2，点A、点B的对应点分别为点A1、点B1，抛物线C2与y轴交于点M(点M不与原点重合)，连接A1M、B1M.在平移过程中，当∠A1MO=∠A1B1M时，请直接写出n的值．
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC边于点D，在CA边上取点E，使得CE=CD，连接DE．
(1)如图1，当∠ABC=100°时，求∠ADE的大小．
(2)如图2，过点C作CF⊥ED于点F，当AB=BC时，请证明：AD=2CF．
(3)如图3，在(2)问的条件下，连接BE，当BE⊥AD时，在四边形ABDE内部是否存在点Q，使得点Q到四边形ABDE四条边的距离相等？若存在，请直接写出sin∠QEB的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 4=2，
在 4，π，23，0这四个数中，无理数有π，共1个．
故选：A．
理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…(两个1之间依次多一个0)等有这样规律的数．
2.【答案】D
【解析】解：A、圆锥的左视图是等腰三角形，故A错误，不符合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，故 B错误，不符合题意；
C、圆台的左视图是梯形，故C错误，不符合题意；
D、球的左视图是圆，故D正确，符合题意；
故选：D．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∠A的补角=180°−∠A=180°−75°=105°．
故选：B．
根据补角的定义求解即可．
本题主要考查的是补角的定义，掌握补角的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：9020000=9.02×106．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，故本选项错误；
B、(x2)3=x6，故本选项错误；
C、x2和x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、x6÷x3=x3，故本选项正确；
故选：D．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法求出每个式子的值，再进行判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可列方程组2x+y=10000+0.5xx+2y=10000−0.5y．
故选：A．
设一匹马的价格为x元，一头牛的价格为y元，根据两匹马和一头牛的总价比一万多，且多出的部分等于半匹马的价钱；同时，一匹马和两头牛的总价比一万少，且少的部分等于半头牛的价钱，列方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
7.【答案】C
【解析】解：∵直线AB过原点O，与反比例函数y=−8x图象交A、B两点，AC⊥x轴于点C，
∴OA=OB，S△AOC=12丨k丨=12×8=4，
∴S△ABC=2S△AOC=8．
故选：C．
根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接OD，
∵BE：AE=1：5，AE+BE=AB，AB是⊙O的直径，
∴BE=16AB=13OB=13OD，
∴OE=23OD，
∵AB⊥CD，CD=16，
∴DE=12CD=8，
在Rt△ODE中，OD2=OE2+DE2，
∴OD2=49OD2+82，
∴OD=24 55，
故选：D．
根据垂径定理得到AB⊥CD，DE=12CD=8，根据勾股定理即可求解．
此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理及推论是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接EF交AD于点O，
∵DE//AB，DF//AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴AE=DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AD⊥EF，AO=DO=12AD=12×2 6= 6，OF=OE，
设AF=DE=AE=x，
∵DE//AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴CECA=DEBA，
∴88+x=xx+2，
解得x=4或x=−4(舍去)，
即AF=4，
在Rt△AOF中，由勾股定理得OF= AF2−AO2= 42−( 6)2= 10，
∴EF=2OF=2 10，
∴菱形AEDF的面积为：AD⋅EF2=2 6×2 102=4 15，
故选：A．
先证四边形AEDF是菱形，再证△CDE∽△CBA，即可求出菱形的边长，再根据勾股定理求出EF的长，最后根据菱形的面积公式计算即可．
本题考查了菱形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：−(−x)=x，−|−1|x=−x，−12x=−x，(−1)2x=x，
①M=x+(−x)−(−x)×x=x2；
M=x+(−x)×(−x)−x=x2；
M=x−(−x)+(−x)×x=2x−x2；
M=x−(−x)×(−x)+x=2x−x2；
M=x×(−x)−(−x)+x=−x2+2x；
M=x×(−x)+(−x)−x=−x2−2x；
∴M=x2或2x−x2或−x2−2x，即M共有三种不同结果，
故①符合题意；
②当n=x2，有两个不相等的实数根，则n>0；
当n=2x−x2，即x2−2x+n=0有两个不相等的实数根，则Δ=4−4n>0，∴n<1；
当n=−2x−x2，即x2+2x+n=0有两个不相等的实数根，则Δ=4−4n>0，∴n<1；
∴0
③∵x2≥0；2x−x2=−(x−1)2+1≤1；−2x−x2=−(x+1)2+1≤1，
∴y的最小值为0，
故③符合题意；
综上，符合题意得有①②③，即3个，
故选：A．
①“+”、“−”、“×”打乱顺序分6种情况进行讨论，并计算即可；
②根据Δ>0，分别求出每一个一元二次方程中的参数n的取值范围；
③对于每个代数式进行配方即可求出最值．
本题考查的是跟的判别式和正负数，利用一元二次方程跟的判别式判断跟的情况和配方法求最值是解题的关键．
11.【答案】58
【解析】解：原式=18+12=58，
故答案为：58．
利用负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：∵点A(m,7)在函数y=3x+1的图象上，
∴7=3m+1，
解得：m=2，
∴m的值为2．
故答案为：2．
由点A(m,7)在函数y=3x+1的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b”是解题的关键．
13.【答案】23
【解析】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两个小球的对应标号之和大于 17的结果有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共8种，
∴两个小球的对应标号之和大于 17的概率为812=23．
故答案为：23．
列表可得出所有等可能的结果数以及两个小球的对应标号之和大于 17的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】x≤1
【解析】解：把表格中的x=1y=3,x=−1y=−1代入关于x、y的二元一次方程mx+n−y=0得：
m+n=3①−m+n=−1②，
①+②得：n=1，
把n=1代入①得：m=2，
把m=2，n=1代入mx+n≤3得：
2x+1≤3，
2x≤2，
解得：x≤1，
∴关于x的不等式mx+n≤3的解集为：x≤1，
故答案为：x≤1．
把表格中的x=1y=3,x=−1y=−1代入关于x、y的二元一次方程mx+n−y=0得关于m，n的方程组，解方程组求出m，n，在代入关于x的不等式mx+n≤3，解不等式即可．
本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式的一般步骤．
15.【答案】163π
【解析】解：连接OA，OC，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD，∠ADC=60°．
在△AOD和△COD中，
AD=CDOD=ODAO=CO，
∴△AOD≌△COD(SSS)，
∴∠ADB=∠CDB=12∠ADC=30°．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴AB=12BD，BC=12BD．
又∵CO=DO=12BD，
∴AB=OD，BC=OC．
在△ABC和△DOC中，
AB=ODBC=OCAC=CD，
∴△ABC≌△DOC(SSS)，
∴S△ABC=S△DOC，
∴S阴影=S扇形OCD．
在Rt△ADM中，
sin30°=AMAD，
∴AM=12×4 3=2 3．
在Rt△AOM中，
cs30°=AMAO，
∴AO=2 3 32=4，
即圆的半径为4．
∵∠OCD=∠ODC=30°，
∴∠COD=120°，
∴S阴影=120⋅π⋅42360=163π．
故答案为：163π．
连接OA，OC，证明出△ABC与△DOC全等即可解决问题．
本题考查扇形面积的计算及等边三角形的性质，能通过全等三角形的性质将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积是解题的关键．
16.【答案】(90+12α)
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=90°，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
由折叠得∠A′=∠A=90°，
∵∠A′GE=α，
∴∠A′EG=90°−α，
∵∠AEF=∠A′EF=∠DEF+90°−α，且∠AEF+∠DEF=180°，
∴∠DEF+90°−α+∠DEF=180°，
∴∠DEF=45°+12α，
∴∠FHD=∠DEF+∠ADB=45°+12α+45°=90°+12α，
故答案为：(90+12α)．
由正方形的性质得AB=AD，∠A=90°，则∠ADB=∠ABD=45°，由折叠得∠A′=∠A=90°，则∠A′EG=90°−α，由∠AEF=∠A′EF=∠DEF+90°−α，且∠AEF+∠DEF=180°，推导出∠DEF=45°+12α，则∠FHD=∠DEF+∠ADB=90°+12α，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠DEF=45°+12α是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：不等式x−2≥3x−52的解集为x≤1，
关于x的不等式5x+a>4(1+x)的解集为x>4−a，
由于关于x的不等式组x−2≥3x−525x+a>4(1+x)无解，
所以4−a≥1，
解得a≤3，
将关于y的分式方程3+a2+y=2y+3y+2的两边都乘以y+2得，
3y+6+a=2y+3，
解得y=−3−a，
又因为分式方程的解为负数，
所以−3−a<0，
即a>−3，
当y=−2是分式方程的增根时，−3−a=−2，解得a=−1，
因此−3
故答案为：4．
根据不等式组解集确定a的取值范围，再根据分式方程解法以及增根的定义进一步确定a的取值范围，进而确定整数a的值求和即可．
本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法以及分式方程增根的定义是正确解答的关键．
18.【答案】1203 5056
【解析】解：∵M是最小的“三角数”，
∴千位数字为1，
∵千位数字与百位数字的和大于十位数字，
且各个数位上的数字互不相等，
∴百位数字为2，十位数字为0，
∵千位数字与百位数字的差的绝对值小于个位数字，
∴个位数字为3，
∴M为1203．
②当1≤a<6时．则N=ab(a+4)−c，
∴H(N)=2a+4，
∵2a+4b−2是4的倍数，
∴当b−2=1则2a+4=4，
∴a=0舍去；
当b−2=2时.2a+4=8，
∴a=2，b=4.此时N=246c−，
∵2+4=6不合题意舍去；
当b−2=3，则2a+4=12，
∴a=4，b=5.此时N=458c−，由于C>1．
∴最小为4582．
当6≤a≤9时则N为a(b+1)(a−b)c−，则H(N)=2a−6，
∵2a−6b−2是4倍数，且6≤a≤9．
∴当a=7，b=4时N=751c−，
∵c>2．
∴最大为7519；当a=9，b=5时．N=963c−而c>3．
∴最大为9638．
∴差为9638−4582=5056，
故答案为：1203；5056．
①设1abc−，且1+a>b，|l−a|
本题考查了一元一次不等式组应用，新定义、数的整除、实数的运算等知识，掌握分类讨论是解题的关键．
19.【答案】解：(1)(x+y)(3x−y)+(y−2x)(y+2x)
=3x2−xy+3xy−y2+y2−4x2
=−x2+2xy；
(2)(x2−2xx2−4x+4+1)÷x2−1x2+x
=[x(x−2)(x−2)2+1]⋅x(x+1)(x+1)(x−1)
=(xx−2+1)⋅xx−1
=x+x−2x−2⋅xx−1
=2(x−1)x−2⋅xx−1
=2xx−2．
【解析】(1)根据多项式乘多项式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】AD//BC ∠DEC=∠AFD=90° AD=DC 邻边相等的平行四边形为菱形
【解析】(1)解：如图，AF为所作；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC
∴∠ADF=∠C，
∵DE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠DEC=∠AFD=90°，
在△AFD与△DEC中：
∠ADF=∠C∠AFD=∠DECAF=DE，
∴△AFD≌△DEC(AAS)，
∴AD=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形(邻边相等的平行四边形为菱形)．
故答案为：AD//BC，∠DEC=∠AFD=90°，AD=DC，邻边相等的平行四边形为菱形．
(1)利用基本作图，过A点作CD的垂线即可；
(2)先利用平行四边形的性质得到AD//BC，所以∠ADF=∠C，接着证明△AFD≌△DEC得到AD=DC，然后根据菱形的判定方法得到平行四边形ABCD是菱形．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质和菱形的判定．
21.【答案】2.0 1.7
【解析】解：(1)由题意可知，在七年级抽取的学生平均每天课外阅读时长中，2.0出现的次数最多，故众数a=2.0；
把八年级抽取的学生平均每天课外阅读时长从小到大排列，排在中间的两个数分别是1.6，1.8，故中位数b=1.6+1.82=1.7，
八年级阅读时长范围为1.5≤x<2.5的人数为：20−2−3−4−3=8，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：2.0，1.7；
(2)1800×3+5+320=990(人)，
答：估计八年级每天课外阅读不少于1.5小时的学生大约有990人；
(3)八年级在课外阅读方面做得更好，理由如下：
因为七、八年级抽取学生平均每天课外阅读时长的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，且方差比七年级小，所以年级在课外阅读方面做得更好．
(1)分别根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)用1800乘样本中每天课外阅读不少于1.5小时的学生人数所占比例即可；
(3)比较平均数，中位数、众数和方差的大小即可．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义和用样本估计总体，理解各个数量之间的关系式解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，过点C作CE⊥A交AD的延长线于点E，过点B作BG⊥CE于点G，
则∠CED=∠CGB=90°，四边形ABGE是矩形，
∴EG=AB，BG=AE，
∵∠CDE=60°，
∴∠DCE=90°−∠CDE=30°，
∴DE=12CD=12×4000=2000(米)，
∴BG=AE=AD+DE=1000+2000=3000(米)，
∵∠CBG=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴BC= 2BG=3000 2(米)，
答：步道BC的长度为3000 2米；
(2)他选择路线A→B→C消耗的热量更多，理由如下：
由(1)可知，CE= 3DE=2000 3(米)，CG=BG=3000米，
∴EG=AB=CE−CG=(2000 3−3000)(米)，
∴路线A→D→C消耗的热量为1000×0.07+4000×0.09=430(千卡)，
路线A→B→C=(2000 3−3000)×0.07+3000 2×0.09≈412.9(千卡)，
∵430>412.9，
∴他选择路线A→D→C消耗的热量更多．
【解析】(1)过点C作CE⊥A交AD的延长线于点E，过点B作BG⊥CE于点G，则四边形ABGE是矩形，得EG=AB，BG=AE，由含30°角的直角三角形的性质得DE=2000米，则BG=AE=3000米，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论；
(2)由(1)可知，CE= 3DE=2000 3(米)，CG=BG=3000米，求得EG=AB=CE−CG=(2000 3−3000)(米)，于是得到路线A→D→C消耗的热量为1000×0.7+4000×0.9=4300(千卡)，路线A→B→C=(2000 3−3000)×0.7+3000 2×0.9≈6229(千卡)，比较即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设甲走完全程所需时间为x小时，则乙走完全程所需时间为1.5x小时，
根据题意得：3x+31.5x=1，
解得：x=5，
经检验，x=5是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×5=7.5(小时)．
答：甲走完全程所需时间为5小时，乙走完全程所需时间为7.5小时；
(2)设乙购买了m袋牦牛肉，则甲购买了(2m−5)袋牦牛肉，
根据题意得：50m>35(2m−5)，
解得：m<354，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为8．
答：乙最多购买了8袋牦牛肉．
【解析】(1)设甲走完全程所需时间为x小时，则乙走完全程所需时间为1.5x小时，利用甲走完的路程+乙走完的路程=全部路程，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲走完全程所需时间，再将其代入1.5x中，即可求出乙走完全程所需时间；
(2)设乙购买了m袋牦牛肉，则甲购买了(2m−5)袋牦牛肉，利用总价=单价×数量，结合乙购买牦牛肉花费更多，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】当x=3时，函数y取得最小值为4 0≤x<2或143
∴∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC=5，AB=CD=4．
∵AE=5，
∴BE= AE2−AB2=3．
①当0≤x≤3时，
∵BP=x，
∴PC=5−x．
∴y=12CD⋅PC=12×4(5−x)=10−2x．
②当3
由题意得：PE=x−3，EC=BC−BE=2．
∵PF⊥BC，PG⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PFCG为矩形，
∴PG=FC．
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF//AB，
∴△EPF∽△EAB，
∴PEAE=EFBE，
∴x−35=EF3，
∴EF=35x−95，
∴PG=FC=EC+EF=35x+15．
∴y=12CD⋅PG=12×4(35x+15)=65x+25．
综上，y与x之间的函数表达式为y=10−2x(0≤x≤3)65x+25(3
∴经过(0,10)和(3,4)两点画线段，经过(3,4)和(8,10)两点画线段，
则图中的折线段为y的函数图象，如图，
观察图象得到该函数图象的性质：当x=3时，函数y取得最小值为4．
故答案为：当x=3时，函数y取得最小值为4(答案不唯一)．
(3)∵AB=4，BE=3，AB⊥BE，
∴△ABE的面积=12×4×3=6，
∴当△PCD的面积大于△ABE的面积时，即y>6．
当y=6时，x=2或x=143．
∴根据函数图象，当△PCD的面积大于△ABE的面积时，x的取值范围：0≤x<2或143
(3)计算得到△ABE的面积=6，观察图象写出满足y>6时对应的x值即可．
本题主要考查了矩形的性质，一次函数的应用，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，一次函数的图象，函数自变量的取值范围，分类讨论的思想方法，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)将A(−1,0)代入抛物线C1，得到解析式为y=− 3x2+2 3x+3 3，
当y=0时− 3x2+2 3x+3 3=0，
解得x=3或x=−1，
∴B(3,0)，
∴AB=|3−(−1)|=4；
(2)由(1)得解析式为y=− 3x2+2 3x+3 3，
当x=0时，y=3 3，
∴C(0,3 3)，
∴OC=3 3，
∴tan∠OBC=OCOB=3 33= 3，
∴∠OBC=∠PDE=60°，
由题意得△PDF是直角三角形，
∵E为DF中点，
∴PE=DE=EF，
∴△PDE为等边三角形，
∴PE=PD= 33PF，
∴PD+PE=2PD=2 33PF，
设P(p,− 3p2+2 3p+3 3)，
由题意可得，BD解析式为y=− 3x+3 3，
∴F(p,− 3p+3 3)，
∴PF=− 3p2+3 3p=− 3(p−32)2+9 34(0
∴当p=32，即P(32,154 3)时，PFmax=9 34，
∴P(32,154 3)时，PD+PE的最大值为2 33×9 34=92；
(3)①设抛物线C2：y=− 3(x−c)2+4 3(c>1,c≠2)，则n=c−1，
令y=0，求出xA=c−2，xB=c+2，
∴A1(c−2,0)、点B1(c+2,0)；
令x=0，求出yM=− 3c2+4 3，
∴M(0,− 3c2+4 3)，
②∠A1MO=∠A1B1M时，△OA1M∽△OMB1，从而OA1OM=OMOB1，即OM2=OA1⋅OB1；
③情况1，当1
∴3(c2−4)2=−(c2−4)，
又∵c≠2，
∴c2−4≠0，
∴3(c2−4)=−1，
∴c2=113，
∵1
∴n1= 333−1；
情况2，当c>2时，OA1=c−2，OB1=c+2，OM= 3c2−4 3，
代入OM2=OA1⋅OB1得：( 3c2−4 3)2=(c−2)(c+2)，
∴3(c2−4)2=(c2−4)，
又∵c≠2，
∴c2−4≠0，
∴3(c2−4)=1，
∴c2=133，
∵c>2，
∴c= 393，
∴n2= 393−1．
综上：n1= 333−1或n2= 393−1．
【解析】(1)根据抛物线过点A(−1,0)即可求出y=− 3x2+2 3x+3 3，然后令y=0求出点B(3,0)即可或根据对称轴求解即可；
(2)由题意和三角函数先证△PDE为等边三角形，得PD+PE=2PD=2 33PF，即有PF最大时，PD+PE也取最大值，设P(p,− 3p2+2 3p+3 3)，F(p,− 3p+3 3)，得出PF=− 3p2+3 3p=− 3(p−32)2+9 34即可；
(3)设抛物线C2：y=− 3(x−c)2+4 3(c>1,c≠2)，则n=c−1，
令y=0，求出xA=c−2，xB=c+2，M(0,− 3c2+4 3)，又∠A1MO=∠A1B1M得△OA1M∽△OMB1，从而OA1OM=OMOB1，即OM2=OA1⋅OB1，再分情况讨论即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．
26.【答案】(1)解：设∠CAB=2x°，
∵∠ABC=100°，∠ABC+∠CAB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠CAB=180°−100°−2x°=(80−2x)°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED=180°−∠ACB2=(50+x)°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=12∠CAB=x°，
∴∠ADC=∠DAB+∠ABC=(100+x)°，
∴∠ADE=∠ADC−∠CDE=(100+x)°−(50+x)°=50°．
(2)证明：取AE中点G，连接FG，如图2，
在△ABC中，∵AB=BC，
∴∠CAB=∠ACB，
在△ADE中，∵CE=CD，CF⊥ED，
∴点F是ED的中点，
又∵点G是AE的中点，
∴GF是△ADE的中位线，
∴GF//AD且AD=2GF，
∴∠CGF=∠CAD=12∠CAB=12∠ACB=∠GCF，
∴GF=CF，
∴AD=2GF=2CF．
(3)解：存在点Q，使得点Q到四边形ABDE四条边的距离相等，且sin∠QEB= 5−14，理由如下：
∵BE⊥AD，AD平分∠EAB，
∴AB=AE，
∵AB=BC
设∠CAB=2y，则∠ACB=2y，
∴∠AED=∠ABD=180°−∠ACB−∠BAC=180°−4y，
∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE=12(180°−∠ACB)=12(180°−2y)=90°−y，
∵∠AED+∠CED=180°，
即180°−4y+90°−y=180°
∴y=18°，
∴∠CAB=∠ACB=2y=36°，
∴△CED是三个内角分别为36°，72°，72°的“黄金三角形”，
如图，作∠CDE的平分线DG交AE于点G，如图3，
设CE=CD=a，DE=ka，则EG=CE−CG=CE−DG=CE−DE=a−ka，
∵∠CED=∠DEG=72°，∠ECD=∠EDG=36°，
∴△CED～△DEG，
∴CDDE=DEEG，
即aka=kaa−ka，
∴k2+k−1=0(k>0)，
解得：k= 5−12，
∴DECD=k= 5−12，
∴sin∠FCD=sin18°=DFCD=12DECD=12⋅DECD= 5−14，
∵AB=AE，AD⊥BE，AD平分∠CAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△AED和△ABD中，
AE=AB∠EAD=∠BADAD=AD，
∴△AED≌△ABD(SAS)，
∴∠ADE=∠ADB，
∴DA平分∠BDE，
当点Q为∠ABD角平分线BI与AD交点时，点Q到四边形ABDE四条边的距离相等，
∵AB=BC，∠ACB=36°，
∴∠ABC=180°−∠ACB−∠CAB=108°，∠CAB=∠ACB=36°，
∵BI平分∠ABC，
∴∠QBD=12∠ABC=54°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=12∠BAC=18°，
在△ABD中，∵∠BAD=18°，∠ABD=108°，
∴∠BDA=54°，
在△ABD中，∵∠BDA=54°，BE⊥AD，
∴∠DBE=90°−∠ADB=90°−54°=36°，
∵∠QBE+∠DBE=∠DBQ，
∴∠QBE=∠DBQ−∠DBE=54°−36°=18°，
由对称性可知，∠QBE=∠QEB=18°，
∴∠QEB=18°，
∵sin∠FCD=sin18°= 5−14，
∴sin∠QEB=sin18°= 5−14．
【解析】(1)设∠CAB=2x°，则∠C=(80−2x)°，∠CDE=(50+x)°，根据∠ADC=(100+x)°即可求解∠ADE=∠ADC−∠CDE；
(2)取AE中点G，连接FG；由三线合一得GF为△EAD中位线，根据GF//AD∠CGF=∠CAD=12∠CAB=12∠ACB=∠GCF，即可证明；
(3)根据BE⊥AD，AD平分∠EAB可得AB=AE，设∠CAB=2y，则∠ACB=2y，∠AED=∠ABD=180−4y，∠CED=90−y，根据∠AED+∠CED=180°可得y=18°，进而得△CED是三个内角分别为36°，72°，72°的“黄金三角形”，作∠CDE的平分线DG交AE于点G，证明△CED～△DEG得出EDCD= 5−12，证明△AED≌△ABD得出DA平分∠BDE，再证明∠QBE=∠QEB=18°即可求解；
本题考查了等腰三角形性质，角平分线性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质是解题关键．x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
−1
1
3
5
7
…
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
1.65
1.65
a
0.63
八年级
1.65
b
2.1
0.61
1
2
3
4
1
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