2023-2024学年吉林省实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年吉林省实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知x>y，要使mxA. m<0B. m=0C. m>0D. m为任意数
3.用两种边长相等的正多边形地砖无缝隙不重叠的铺设地面，能够选择的组合是( )
A. 正六边形，正八边形B. 正方形，正六边形
C. 正五边形，正六边形D. 正三角形，正方形
4.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC=12，则阴影部分的面积为( )
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
5.如图，五边形ABCDE中，AB//CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于( )
A. 100°
B. 180°
C. 210°
D. 270°
6.如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7.三角板是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形，如图是由同一副三角板拼凑得到的，请问∠EAB的角度为( )
A. 50°
B. 60°
C. 75°
D. 85°
8.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为( )
A. 5x+6y=165x+y=6y+xB. 5x+6y=164x+y=5y+x
C. 6x+5y=166x+y=5y+xD. 6x+5y=165x+y=4y+x
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为．
10.年级花费120元用来购买甲、乙两种奖品(两种奖品都购买)，奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有______种.
11.如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠CEF=30°.为了舒适，需调整∠CDF大小，使∠EFD=150°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则图中∠CDF应调整为______度.
12.如图，AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，将△ABC沿BC方向平移a cm(013.若关于x，y的二元一次方程组3x−my=52x+ny=6的解是x=1y=7，则关于a，b的二元一次方程组3(a+b)−m(a−b)=52(a+b)+n(a−b)=6的解是______．
14.如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F在边AD上，点G，H在BC上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，此时测得∠1+∠2=125°，则∠EMF= ______度.
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
解不等式组3−2x>1①1+3x≥2(x−1)②，在数轴上表示出它们的解集．
16.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由．
(1)如图1，作出△ABC关于直线MN对称的图形；
(2)如图2，在直线MN上求作点P，使得∠APM=∠BPN．
17.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠A=70°，∠BCD=32°，线段CD平分∠ACB，求∠B的度数．
18.(本小题7分)
已知x=1y=1和x=2y=3是关于x，y的二元一次方程y=kx+b的两组解．
(1)求k，b的值；
(2)如果y是不大于−2的数，求x的最大值．
19.(本小题7分)
如图，已知△ABC与△DCB关于直线MN成轴对称，∠A=90°．
(1)当∠DBC=34°时，求∠ABC的度数；
(2)若AB=12，BM=13，则△BCM的面积为______．
20.(本小题7分)
若不等式组2x−b≥0①x+a≤0②的解集为3≤x≤4，求a+b的值．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BG平分∠ABC，点D在射线AC上，过点D作DF⊥BG于点H，交边AB于点F，交边BC于点E，试说明：2∠D=∠ACB−∠A．
请补充下面的说明过程，并在括号内写出相应的根据．
证明：∵∠3是△ADF的外角(已知)
∴∠3=∠D+∠ ______，(______)
同理，∠ ______=∠5+∠D，
∴∠5=∠ ______−∠D，
又∵DF⊥BG于点H，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，(______)
∵BG平分∠ABC，(已知)
∴∠1=∠2，(角平分线定义)
∴ ______，(等角的余角相等)
而∠4=∠5，(对顶角相等)
∴∠3=∠5，(等量代换)
即______= ______，
∴2∠D=∠ACB−∠A．
22.(本小题9分)
“粮食生产根本在耕地、出路在科技”.为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种衣耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元．
(1)求购进1台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备各需多少万元；
(2)若该合作社购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种衣耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台？
23.(本小题10分)
阅读下面的材料：对于有理数a，b，我们定义符号max{a,b}：当a根据上面的材料回答下列问题：
(1)max{−1,3}= ______；
(2)若max{x−1,7}=x−1，则x的取值范围是______；
(3)当max{2x−3,x+2}=5x+32时，求x的值．
24.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，点D为边AC的中点，AE//BC(点E在点A的右侧)，线段PQ初始时与线段AE重合，将线段PQ沿射线AC平移，连结DQ．
(1)∠DPQ= ______°；
(2)当∠AED=100°时，若DE⊥DQ，则∠Q= ______°；当∠AED=60°时，若当∠EDQ=2∠Q时，则∠Q= ______°；
(3)如图2，连结EQ，在线段PQ平移的过程中，∠DEQ=n°，∠DEQ与∠DPQ的角平分线所在的直线相交于点M，请你用含有n的代数式直接写出∠PME的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断，利用排除法求解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：x>y，
不等式的两边都乘m得出：mx号变成<号)，
∴m<0．
故选：A．
根据不等式的性质3得出答案即可．
本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】D
【解析】解：A、正六边形的每个内角是120°，正八边形每个内角是180°−360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺，故本选项不符合题意；
B、正方形每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，不能整除360°，不能密铺，故本选项不符合题意；
C、正五边形每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，不能整除360°，不能密铺，故本选项不符合题意；
D、正三角形每个内角是60°，正方形每个内角是90°，
∵60°×3+90°×2=360°，
∴能整除360°，能密铺，故本选项符合题意；
故选：D．
分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360即可作出判断．
本题考查平面镶嵌(密铺)，知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
4.【答案】C
【解析】解：∵点E是AD的中点，
∴S△BDE=12S△ABD，S△ACE=12S△ADC，
∴S△BDE+S△ACE=12S△ABC=12×12=6，
故选：C．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
5.【答案】B
【解析】解：延长AB，DC，
∵AB//CD，
∴∠4+∠5=180°．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°−(∠4+∠5)=360°−180°=180°．
故选：B．
先根据平行线的性质得出∠4+∠5=180°，再由多边形的外角和为360°即可得出结论．
本题考查的是多边形的外角与内角，熟知多边形的外角和等于360°是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a.则底边长为6−2a．
由题意得，2a>6−2a6−2a>0．
解得32所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集．
∴a只能取2．
故选：B．
本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰的取值范围．
本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得，∠B=45°，∠AEB=60°，
在△ABE中，∠B+∠EAB+∠AEB=180°，
∴∠EAB=180°−∠B−∠AEB=180°−45°−60°=75°．
故选：C．
在△ABE中，利用三角形内角和定理，即可求出∠EAB的度数．
本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
【解答】
解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
5x+6y=164x+y=5y+x．
故选：B．
9.【答案】40°
【解析】解：正九边形的一个外角的度数为360°÷9=40°，
故答案为：40°．
利用外角和除以外角的个数即可得到答案．
此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为360°，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键．
10.【答案】3
【解析】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：15x+10y=120，
∴y=12−32x，
又∵x、y均为正整数，
∴x=2y=9或x=4y=6或x=6y=3，
∴共有3种购买方案．
故答案为：3．
设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据总价=单价×数量，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
11.【答案】50
【解析】解：延长DF交CE于M，
∵∠CAB=50°，∠CBA=60°，
∴∠ACB=180°−50°−60°=70°，
∴∠DCE=∠ACB=70°，
∵∠EFD=∠E+∠EMF，∠EMF=∠D+∠DCE，
∴∠EFD=∠E+∠D+∠DCE，
∵∠CEF=30°.∠EFD=150°，
∴∠CDF=50°，
∴∠CDF应调整为50°．
故答案为：50．
延长DF交CE于M，由三角形内角和定理求出∠ACB=70°，由对顶角的性质得到∠DCE=∠ACB=70°，由三角形外角的性质推出∠EFD=∠E+∠D+∠DCE，即可求出∠CDF=50°．
本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理求出∠ACB的度数，由三角形外角的性质推出∠EFD=∠E+∠D+∠DCE．
12.【答案】12
【解析】解：由平移的性质可知：DE=AB=4cm，AD=BE=a cm，
∴EC=(5−a)cm，
∴阴影部分的周长=AD+EC+AC+DE=a+(5−a)+3+4=12(cm)，
故答案为：12．
根据平移的性质得到DE=AB=4cm，AD=BE=a cm，根据周长公式计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
13.【答案】a=4b=−3
【解析】解：∵关于x、y的二元一次方程组3x−my=52x+ny=6的解是x=1y=7，
∴关于a、b的二元一次方程组3(a+b)−m(a−b)=52(a+b)+n(a−b)=6满足a+b=1a−b=7，
解得a=4b=−3．
故答案为：a=4b=−3．
对比两个方程组，可得a+b就是第一个方程组中的x，即a+b=1，同理：a−b=7，可得方程组解出即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一．
14.【答案】62.5
【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠1+∠GEF=180°，∠2+∠HFE=180°，
∴∠1+∠2+∠GEF+∠HFE=360°，
∵∠1+∠2=125°，
∴∠GEF+∠HFE=235°，
由折叠的性质得到：∠GEF=2∠MEF，∠HFE=2∠MFE，
∴2(∠MEF+∠MFE)=235°，
∴∠MEF+∠MFE=117.5°，
∴∠EMF=180°−117.5°=62.5°．
故答案为：62.5．
由平行线的性质推出∠1+∠2+∠GEF+∠HFE=360°，求出∠GEF+∠HFE=235°，由折叠的性质得到：∠GEF=2∠MEF，∠HFE=2∠MFE，求出∠MEF+∠MFE=117.5°，由三角形内角和定理得到∠EMF=180°−117.5°=62.5°．
本题考查平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出∠1+∠2+∠GEF+∠HFE=360°，由折叠的性质得到：∠GEF=2∠MEF，∠HFE=2∠MFE．
15.【答案】解：3−2x>1①1+3x≥2(x−1)②，
解不等式①，得：x<1，
解不等式②，得：x≥−3，
∴该不等式组的解集是−3≤x<1，
其解集在数轴上表示如下：
．
【解析】先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
16.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C即为所求；

(2)如图所示，点P即为所求．
【解析】(1)分别作出点A、B关于直线MN的对称点，再与点C首尾顺次连接即可；
(2)作点A关于直线MN的对称点A″，连接A″B，与直线MN的交点即为所求点P．
本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
17.【答案】解：∵∠BCD=32°，线段CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=32°，
∴∠ADC=180°−∠A−∠ACD=78°，
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠B=∠ADC−∠BCD=46°．
【解析】由角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=32°，由三角形的内角和可求得∠ADC的度数，再利用三角形的外角性质即可求∠B的度数．
本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系．
18.【答案】解：(1)∵x=1y=1和x=2y=3是关于x，y的二元一次方程y=kx+b的两组解，
∴k+b=1①2k+b=3②，
②−①，得k=2，
把k=2代入①，得2+b=1，
解得：b=−1，
即k=2，b=−1；
(2)y=2x−1，
∵y是不大于−2的数，
∴2x−1≤−2，
∴2x≤−2+1，
∴2x≤−1，
∴x≤−12，
∴x的最大值是−12．
【解析】(1)把x=1y=1和x=2y=3代入方程y=kx+b得出关于k、b的方程组，再求出方程组的解即可；
(2)根据y是不大于−2的数得出y=2x−1≤−2，再根据不等式的性质求出不等式的解集即可．
本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式等知识点，能求出k、b的值是解此题的关键．
19.【答案】78
【解析】解：(1)因为△ABC与△DCB关于直线MN成轴对称，
所以∠ACB=∠DBC=34°，
又因为∠A=90°，
所以∠ABC=90°−34°=56°．
(2)在Rt△ABM中，
AM= 132−122=5，
又因为CM=BM=13，
所以AC=13=5=18．
在Rt△ABC中，
BC= 122+182=6 13，
由轴对称的性质可知，
BC被MN垂直平分，
所以BN=12BC=3 13．
在Rt△BMN中，
MN= 132−(3 13)2=2 13，
所以S△BCM=12×6 13×2 13=78．
故答案为：78．
(1)根据轴对称的性质即可解决问题．
(2)根据轴对称的性质结合勾股定理即可解决问题．
本题考查轴对称的性质及解直角三角形，熟知轴对称的性质是解题的关键．
20.【答案】解：由不等式组2x−b≥0①x+a≤0②可得：b2≤x≤−a，
∵不等式组2x−b≥0①x+a≤0②的解集为3≤x≤4，
∴b2=3，−a=4，
解得b=6，a=−4，
∴a+b=−4+6=2．
【解析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集是3≤x≤4，可以求得a、b的值，然后即可计算出a+b的值．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
21.【答案】A 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ACB ACB 直角三角形中的两个锐角互余 ∠3=∠4 ∠D+∠A ∠ACB−∠D
【解析】证明：∵∠3是△ADF的外角(已知)，
∴∠3=∠D+∠A(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
同理，∠ACB=∠5+∠D，
∴∠5=∠ACB−∠D，
又∵DF⊥BG于点H，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°(直角三角形中的两个锐角互余)，
∵BG平分∠ABC(已知)，
∴∠1=∠2(角平分线定义)，
∴∠3=∠4(等角的余角相等)，
而∠4=∠5(对顶角相等)，
∴∠3=∠5(等量代换)，
即∠D+∠A=∠ACB−∠D，
∴2∠D=∠ACB−∠A．
根据余角和补角，三角形的内角和定理即可解答．
本题考查三角形内角和定理，余角和补角，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设购进1台甲种农耕设备需x万元，1台乙种农耕设备需y万元，
根据题意得：2x+y=4.2x+3y=5.1，
解得：x=1.5y=1.2．
答：购进1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元；
(2)设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备(2m−3)台，
根据题意得：1.5m+1.2(2m−3)≤10，
解得：m≤13639，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为3．
答：最多可以购进甲种农耕设备3台．
【解析】(1)设购进1台甲种农耕设备需x万元，1台乙种农耕设备需y万元，根据“购进2台甲种农耕设备和1台乙种衣耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备(2m−3)台，利用总价=单价×数量，结合总价不超过10万元，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】3 x≥8
【解析】解：(1)max{−1,3}=3，
故答案为：3；
(2)∵max{x−1,7}=x−1，
∴x−1≥7，
解得x≥8，
故答案为：x≥8；
(3)当2x−3≥x+2时，2x−3=5x+32，解得x=−9；
当2x−3故x的值为−9或13．
(1)根据新定义可得答案；
(2)根据新定义列出关于x的不等式，解之即可；
(3)根据新定义列出方程，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
24.【答案】150 10 60
【解析】解：(1)∵AE//BC，∠C=30°，
∴∠EAC=∠C=30°，
根据平移得AE//PQ，
∴∠EAP+∠DPQ=180°，
∴∠DPQ=180°−∠EAP=150°，
故答案为：150．
(2)①如图，
根据平移得AE//PQ，
∵∠AED=100°，
∴∠PHD=∠AED=100°，
∴∠QHD=180°−∠PHD=80°，
∵DE⊥DQ，
∴∠QDH=90°，
∴∠Q=180°−∠QDH−∠QHD=10°；
②∵AE//BC，∠C=30°，
∴∠EAC=∠C=30°，
根据平移得AE//PQ，
∴∠EAP+∠DPQ=180°，
∴∠DPQ=180°−∠EAP=150°，
当∠AED=60°时，∠ADE=180°−∠CAE−∠E=90°，
∵∠EDQ=2∠Q，
∴∠QDP=180°−∠ADE−∠EDQ=90°−2∠Q，
又∵∠QDP=180°−∠QPD−∠Q=30°−∠Q，
∴90°−2∠Q=30°−∠Q，
解得∠Q=60°，
故答案为：10；60．
(3)由平移的性质得AE//PQ，AP//EQ，
∴∠DPQ=∠DAE，∠APQ+∠PAE=180°，∠APQ+∠EQP=180°，
∴∠PAE=∠EQP，
由(1)得∠CAE=30°，
∴∠DPQ=∠CAE=∠PQE=30°，∠APQ=∠AEQ=150°，
当点P在AD上时，如图，EM与PQ相交于F，
∵PM、EM分别是∠DPQ和∠DEQ的角平分线，且∠DEQ=n°，
∴∠QPM=12∠DPQ=15°，∠QEM=12∠DEQ=n°2，
由图可得，无论PQ怎样平移，∠PME始终为△PFM的一个内角，
∴∠EFQ=180°−∠QEM−∠PQE=150°−12n°，
∴∠PFM=∠EFQ=150°−12n°，
∴∠PME=180°−∠QPM−∠PFM=180°−15°−(150°−12n°)=12n°−15°，
当点P在点CD上时，如图，
∵PM、EM分别是∠DPQ和∠DEQ的角平分线，且∠DEQ=n°，∠APQ=150°，
∴∠APM=12∠DPQ=75°，∠DEM=12∠DEQ=n°2，
∵∠PDE=∠DAE+∠AED=180°−n°，
∴∠PME=360°−∠DPM−∠PDE−∠DEM=105°+12n°，
综上，∠PME的度数为12n°−15°或105°+12n°．
(1)根据平移的性质及平行线的性质即可求解；
(2)①由(1)得∠DPQ=150°，根据∠Q=180°−∠QPD−∠QDP，即可求解；
②由(1)得∠DPQ=150°，根据∠QDP=180°−∠QPD−∠Q=30°−∠Q，即可求解；
(3)由平移的性质得AE//PQ，AP//EQ，进而可得∠DPQ=∠CAE=∠PQE=30°，再根据角平分线的性质得∠QPM=12∠DPQ，∠QEM=12∠DEQ，分两种情况当点P在点CD上时，当点P在AD上时，∠PME=180°−∠QPM−∠PFM，即可求解．
本题考查三角形的综合应用，主要考查了平移的性质、三角形的内角和、平行线的性质、角平分线的性质，掌握这些性质是解题的关键．