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    2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学二模试卷(含解析)
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    2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学二模试卷(含解析)

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    这是一份2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学二模试卷(含解析),共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.−6的倒数是( )
    A. 6B. −6C. 16D. −16
    2.如图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
    A. B.
    C. D.
    3.下列计算正确的是( )
    A. a3⋅a2=a6B. 2a+3a=5a2
    C. (a+b)2=a2+b2D. (−2a2)3=−8a6
    4.下列四个几何体中,三视图中不含矩形的是( )
    A. B.
    C. D.
    5.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则下列选项正确的是( )
    A. sinA=bc
    B. csB=bc
    C. tanA=ac
    D. tanB=ba
    6.从2,3,4这三个数中随机抽取两个不同的数,分别记作m和n.若点A的坐标记作(m,n),则点A在双曲线y=8x上的概率是( )
    A. 13B. 12C. 23D. 56
    7.某果园2012年水果产量为100吨,2014年水果产量为144吨,求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为( )
    A. 144(1−x)2=100B. 100(1−x)2=144
    C. 144(1+x)2=100D. 100(1+x)2=144
    8.如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标( )
    A. (4,10)
    B. (10,6)
    C. (10,4)
    D. (10,3)
    9.陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.AB是⊙O的一部分,D是AB的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,则⊙O的半径OA为( )
    A. 13cmB. 16cmC. 17cmD. 26cm
    10.在物理实验课上,小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验,他把得到的拉力F(N)和所悬挂物体的重力G(N)的几组数据用电脑绘制成如下图象(不计绳重和摩擦),请你根据图象判断以下结论正确的序号有( )
    ①物体的拉力随着重力的增加而增大;
    ②当物体的重力G=7N时,拉力F=2.2N;
    ③拉力F与重力G成正比例函数关系;
    ④当滑轮组不悬挂物体时,所用拉力为0.5N.
    A. ①②B. ②④C. ①④D. ③④
    二、填空题:本题共10小题,每小题3分,共30分。
    11.数0.0000046用科学记数法表示为________.
    12.函数y= x−1的自变量x的取值范围是______.
    13.因式分解:a2−4a= .
    14.计算:6 12+ 8= ______.
    15.不等式组x−5<13x−12>0的整数解是______.
    16.如图,在△ABC中,点D、E分别是边BC、AC上的点,连接DE,若DE/​/AB,且AE=4,CE=5,则CDCB的值是______.
    17.抛物线y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值与对应函数y的值如表中所示,则函数的最值为______.
    18.我们定义:如果两个实数的和等于这两个实数的积,那么这两个实数就叫做“和积等数对”,即:如果a+b=a×b,那么a与b就叫做“和积等数对”,记为(a,b).例如:2+2=2×2,12+(−1)=12×(−1),3+32=3×32,则称数对(2,2),(12,−1),(3,32)是“和积等数对”.根据上述材料,如果(x,4)是“和积等数对”,则x= ______.
    19.已知:一个等腰三角形的两条边长的比是5:4,则这个等腰三角形底角的正切值为______.
    20.如图,正方形ABCD的边长为8,点E为BC边上一点,且BE=2,点F为AB边上的中点,连接EF,以EF为一条直角边向右侧作等腰Rt△EGF,且使∠EFG=90°,连接CG,则CG的长是______.
    三、解答题:本题共7小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    21.(本小题7分)
    先化简,再求值(1−3x+2)÷x2−1x+2的值,其中x=4sin45°−2cs60°.
    22.(本小题7分)
    如图均是5×5的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,点A,B均在格点上:只用无刻度的直尺,在给定的网格中按下列要求作图,所作图形的顶点均在格点上且两图形不全等,不要求写作法.
    (1)在图①中以线段AB为边作一个平行四边形ABCD,使得平行四边形的面积为9;
    (2)在图②中以线段AB为边作一个平行四边形ABEF,且有一条对角线长为2 2.
    23.(本小题8分)
    某校为了解学生参加家务劳动的情况,随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t(单位:h)作为样本,将收集的数据整理后分为A,B,C,D,E五个组别,其中A组的数据分别为:0.5,0.4,0.4,0.3,0.2,绘制成如下不完整的统计图表.
    各组劳动时间的频数分布表
    各组劳动时间的扇形统计图
    请根据以上信息解答下列问题.
    (1)A组数据的众数是______;表格中的a= ______;
    (2)本次调查的样本容量是______,B组所在扇形的圆心角的大小是______;
    (3)若该校有2400名学生,请估计该校学生劳动时间超过1.5h的人数.
    24.(本小题8分)
    如图,已知四边形ABCD为菱形,AE=CF,
    (1)求证:四边形BEDF为菱形;
    (2)请直接写出图中所有与△ABF面积相等的三角形(不包含△ABF).
    25.(本小题10分)
    哈佳高铁建设工程中,有一段6000米的路段由甲、乙两个工程队负责完成.已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成的工作量的2倍,且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天.
    (1)求甲、乙两个工程队每天各完成多少米?
    (2)由于施工条件限制,每天只能一个工程队施工,但是工程指挥部仍然要求工期不能超过50天,求甲工程队至少施工多少天?
    26.(本小题10分)
    如图,AB为⊙O的直径,AC,AD为⊙O的弦,AB平分∠CAD.

    (1)如图1,求证:弧CB=弧BD;
    (2)如图2,弦BE交AC于点F,点G在AD上,FG=FE,FA平分∠EFG,连接BC,求证:∠CBE=2∠BAD;
    (3)在(2)的条件下,如图3,FG交AB于点H,若FC=2AF,BC=52,求BH的长.
    27.(本小题10分)
    在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2−ax+4,交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于B,交y轴于C,且AC=5.

    (1)如图1,求a的值;
    (2)如图2,点P是第一象限抛物线上一点,连接AP交y轴于点D,设点P的横坐标为t,△ACD的面积为S,求S与t的函数关系式;
    (3)在(2)的条件下,连接BD,点E为第四象限内一点,BE⊥x轴,PE=BD,点Q为第二象限抛物线上一点,点Q的横坐标为−12t,直线QD交抛物线于点F,交BE的延长线于点G,连接EF,若tan∠FEG=12,求直线EF解析式.
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】解:−6的倒数是−16.
    故选:D.
    根据倒数的定义求解.
    本题考查了倒数,倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.
    2.【答案】A
    【解析】解:A.该图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,符合题意;
    B.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
    C.该图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意;
    D.该图形不是中心对称图形,是轴对称图形,不符合题意.
    故选:A.
    根据轴对称图形的定义:一个平面图形,沿某条直线对折,直线两旁的部分,能够完全重合,中心对称图形的定义:一个平面图形,绕一点旋转180°,与自身完全重合,逐一进行判断即可.
    本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义,能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键.
    3.【答案】D
    【解析】解:A.a3⋅a2=a5,故本选项不合题意;
    B.2a+3a=5a,故本选项不合题意;
    C.(a+b)2=a2+2ab+b2,故本选项不合题意;
    D.(−2a2)3=−8a6,故本选项符合题意.
    故选:D.
    分别根据同底数幂的乘法法则,合并同类项法则,完全平方公式以及积的乘方运算法则逐一判断即可.
    本题主要考查了同底数幂的乘法,合并同类项,完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方,熟记相关公式和运算法则是解答本题的关键.
    4.【答案】C
    【解析】解:圆锥的三视图是圆和三角形,无法得到矩形,
    故选:C.
    根据几何体的三视图得到的图象进行判断即可得到答案.
    本题考查了几何体的三视图,掌握相关性质是解题的关键.
    5.【答案】D
    【解析】解:在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,
    ∴sinA=ac,csB=ac,tanA=ab,tanB=ba,
    故选:D.
    根据正弦,余弦,正切的定义进行计算,即可解答.
    本题考查了锐角三角函数的定义,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
    6.【答案】A
    【解析】解:从2,3,4这三个数中随机抽取两个不同的数,点的坐标共有6种情况:(2,3),(2,4),(3,4),(3,2),(4,2),(4,3),并且它们出现的可能性相等.
    点坐标在双曲线上有2种情况:(2,4),(4,2).
    所以,这个事件的概率为26=13.
    故选:A.
    根据如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件发生的概率P(A)=mn即可得答案.
    本题主要考查随机事件的概率以及反比例函数,关键是掌握随机事件概率的计算方法.
    7.【答案】D
    【解析】解:设该果园水果产量的年平均增长率为x,则2013年的产量为100(1+x)吨,2014年的产量为100(1+x)(1+x)=100(1+x)2吨,
    根据题意,得100(1+x)2=144,
    故选:D.
    2014年的产量=2012年的产量×(1+年平均增长率)2,把相关数值代入即可.
    本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程;得到2014年产量的等量关系是解决本题的关键.
    8.【答案】D
    【解析】解:∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8),
    ∴AD=OC=10,DC=OA=8,
    ∵矩形沿AE折叠,使D落在OC上的点F处,
    ∴AD=AF=10,DE=EF,
    在Rt△AOF中,OF= AF2−AO2=6,
    ∴FC=10−6=4,
    设EC=x,则DE=EF=8−x,
    在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2,
    ∴(8−x)2=x2+42,解得x=3,即EC的长为3.
    ∴点E的坐标为(10,3),
    故选:D.
    根据折叠的性质得到AF=AD,所以在直角△AOF中,利用勾股定理求得OF=6,然后设EC=x,则EF=DE=8−x,CF=10−6=4,根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标.
    本题考查矩形的性质,勾股定理以及折叠的性质:折叠前后两图形全等,即对应线段相等,对应角相等;对应点的连线段被折痕垂直平分.
    9.【答案】A
    【解析】解:∵AB是⊙O的一部分,D是AB的中点,AB=24cm,
    ∴OD⊥AB,AC=BC=12AB=12cm.
    设⊙O的半径OA为R cm,则OC=OD−CD=(R−8)cm.
    在Rt△OAC中,∵∠OCA=90°,
    ∴OA2=AC2+OC2,
    ∴R2=122+(R−8)2,
    ∴R=13,
    即⊙O的半径OA为13cm.
    故选:A.
    首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB,AC=BC=12AB=12cm,再设⊙O的半径OA为Rcm,则OC=(R−8)cm.在Rt△OAC中根据勾股定理列出方程R2=122+(R−8)2,求出R即可.
    本题考查了垂径定理、勾股定理的应用,设⊙O的半径OA为R cm,列出关于R的方程是解题的关键.
    10.【答案】C
    【解析】解:由图象可知,拉力F随着重力的增加而增大,
    故①正确;
    ∵拉力F是重力G的一次函数,
    ∴设拉力F与重力G的函数解析式为F=kG+b(k≠0),
    则b=0.5k+b=0.7,
    解得:k=0.2b=0.5,
    ∴拉力F与重力G的函数解析式为F=0.2G+0.5,
    当G=7时,F=0.2×7+0.5=1.9,
    故②错误;
    由图象知,拉力F是重力G的一次函数,
    故③错误;
    ∵G=0时,F=0.5,
    故④正确.
    故选:C.
    由函数图象直接可以判断①③④,设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式,把G=7代入函数解析式求值即可判断②.
    本题考查一次函数的应用,关键是数形结合思想的运用.
    11.【答案】4.6×10−6
    【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10−n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
    绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10−n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
    解:0.0000046=4.6×10−6.
    故答案为:4.6×10−6.
    12.【答案】x≥1
    【解析】解:根据题意得,x−1≥0,
    解得x≥1.
    故答案为:x≥1.
    根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
    本题考查函数自变量的取值范围,关键是二次根式的被开方数是非负数.
    13.【答案】a(a−4)
    【解析】【分析】
    此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
    直接找出公因式提取公因式分解因式即可.
    【解答】
    解:原式=a(a−4).
    故答案为:a(a−4).
    14.【答案】5 2
    【解析】解:原式=3 2+2 2
    =5 2.
    故答案为:5 2.
    先把各个二次根式化为最简二次根式,再合并即可.
    本题考查了二次根式的加减,掌握二次根式的化简,是解决本题的关键.
    15.【答案】5
    【解析】解:x−5<1①3x−12>0②
    解不等式①得x<6,
    解不等式②得x>4,
    ∴不等式组的解集为:4整数解为5,
    故答案为:5.
    先根据不等式的性质求出不等式组的解集,再取整数解即可.
    本题考查求不等式组的解集以及确定解集内的整数解,熟练掌握不等式的性质是解题关键.
    16.【答案】59
    【解析】解:∵AE=4,CE=5,
    ∴CECA=59,
    ∵DE//AB,
    ∴△EDC∽△ABC,
    ∴CDCB=CECA=59,
    故答案为:59.
    根据题意求出CECA=59,证明△EDC∽△ABC,根据相似三角形的性质得到比例式,即可得到答案.
    本题考查的是相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
    17.【答案】4
    【解析】解:∵表格可知当x=0和x=2时,函数值相等,
    ∴抛物线的对称轴为x=0+22=1,
    当x=1时,函数值最大为4,
    故答案为:4.
    根据表中数据可求出抛物线的对称轴,再根据抛物线的对称性可得答案.
    本题考查了二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
    18.【答案】43
    【解析】解:由题意得:x+4=4x,
    解得x=43,
    故答案为:43.
    根据“和积等数对”的定义可得一个关于x的一元一次方程,再解方程即可得.
    本题考查了一元一次方程的应用,由题意列出方程是解决此题的关键.
    19.【答案】 212或 395
    【解析】解:设等腰三角形的两边分别为5x,4x,
    过A作AD⊥BC于D,
    ∴BD=CD=12BC,∠ADB=90°,
    如图,分两种情况讨论:
    当5x为腰时,即AB=AC=5x,BC=4x,
    ∴BD=2x,
    ∴AD= AB2−BD2= (5x)2−(2x)2= 21x,
    ∴tanB=ADBD= 21x2x= 212;
    当4x为腰时,即AB=AC=4x,BC=5x,
    ∴BD=52x,
    ∴AD= AB2−BD2= (4x)2−(52x)2= 392x,
    ∴tanB=ADBD= 392x52x= 395.
    综上所述,这个等腰三角形底角的正切值为 212或 395.
    作出图形,作底边上的高,根据等腰三角形三线合一的性质可得,再利用勾股定理列式求出,然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解.
    本题考查了锐角三角函数值,等腰三角形三线合一的性质,勾股定理的应用,作出图形更形象直观.掌握等腰三角形三线合一的性质,勾股定理,正切的定义是解题的关键.
    20.【答案】2 13
    【解析】解:过点G作GM⊥AB于点M,GN⊥BC于点N,
    ∴∠GMB=∠GNB=90°,
    又∵ABCD是正方形,
    ∴∠B=90°,
    ∴MBNG是矩形,
    ∴GM=BN,GN=MB,
    又∵△GFE是等腰直角三角形,
    ∴FG=EF,∠GFE=90°,
    ∴∠MGF+∠MFG=∠BFE+∠MFG=90°,
    ∴∠MGF=∠BFE,
    又∵∠GMB=∠B=90°,
    ∴△MGF≌△BFE,
    ∴MF=BE=2,MG=BF=4,
    ∴GM=BN=4,GN=MB=MF+BF=2+4=6,
    ∴CN=BC−BN=8−4=4,
    ∴CG= GN2+CN2= 62+42=2 13,
    故答案为:2 13.
    过点G作GM⊥AB于点M,GN⊥BC于点N,则MBNG是矩形,然后利用AAS证明△MGF≌△BFE,得到MF=BE=2,MG=BF=4,然后利用勾股定理求出CG长即可.
    本题考查正方形的性质,矩形的判定和性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
    21.【答案】解:原式=(x+2x+2−3x+2)⋅x+2x2−1
    =x−1x+2⋅x+2(x+1)(x−1)
    =1x+1,
    x=4sin45°−2cs60°
    =4× 22−2×12
    =2 2−1,
    ∴当x=2 2−1时,原式=12 2−1+1=12 2= 22 2⋅ 2= 24.
    【解析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简,再算出x的值,最后代入计算即可.
    本题主要考查分式的混合运算、特殊角的三角函数值,解题关键熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序,熟记特殊角的三角函数值.
    22.【答案】解:(1)如图①中,平行四边形ABCD即为所求;
    (2)如图②中,平行四边形ABEF即为所求.
    【解析】(1)根据平行四边形的定义画出图形即可;
    (2)根据要求画出图形.
    本题考查作图−全等图形,勾股定理,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.
    23.【答案】0.4 12 60 72°
    【解析】解:(1)∵A组的数据为:0.5,0.4,0.4,0.3,0.2,共有5个数据,出现次数最多的是0.4,共出现了2次,
    ∴A组数据的众数是0.4;
    ∵样本容量是15÷25%=60,
    ∴a=60−5−20−15−8=12,
    故答案为:0.4;12;
    (2)由(1)知样本容量为60;
    ∴B组所在扇形的圆心角的大小是360°×1260=72°,
    故答案为:60;72°;
    (3)2400×15+860=920(人).
    答:估计该校学生劳动时间超过1h的有920人.
    (1)根据众数是一组数据中出现次数最多的数据即可求出众数;利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量,利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数;
    (2),再用360°乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小;
    (3)用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过1.5h的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过1.5h的人数.
    此题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联,还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等知识,读懂题意,找准扇形统计图和频数分布表的联系,准确计算是解题的关键.
    24.【答案】(1)证明:连接BD交AC于O,

    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴OB=OD,OA=OC,
    ∵AE=CF,
    ∴OE=OF,
    ∴四边形BEDF是平行四边形,
    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AC⊥BD,
    ∴平行四边形BEDF是菱形.
    (2)解:∵四边形ABCD是菱形,
    ∴BO=DO,AC⊥BD,
    ∴S△ABF=12AF⋅BO,S△CBE=12CE⋅BO,S△ABD=12AF⋅DO,S△CDE=12CE⋅DO,
    ∵AO=CO,AE=CF,OE=OF,
    ∴AF=CE,
    ∴S△ABF=S△CBE=S△ADF=S△CDE,
    综上,和△ABF面积相等的三角形有△CBE、△ADF和△CDE.
    【解析】(1)连接BD交AC于O,根据菱形的性质得到OB=OD,OA=OC,由AE=CF,能推出OE=OF,得到平行四边形BEDF,根据菱形ABCD推出AC⊥BD,即可证明;
    (2)根据菱形的性质和三角形面积公式即可求解.
    本题主要考查菱形的性质与判定,平行四边形的性质与判定,解题的关键是掌握菱形的判定和性质.
    25.【答案】解:(1)设乙工程队每天完成x米,则甲工程队每天完成2x米.
    6000x=60002x+30
    解得x=100,
    经检验:x=100是原方程的解
    2x=2×100=200 (米)
    答:甲、乙两工程队每天分别完成200米、100米;
    (2)设甲工程队施工a天,根据题意得:
    200a+100(50−a)≥6000,
    解得:a≥10,
    答:甲工程队至少施工10天.
    【解析】此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用,理解题意,找出等量关系和不等关系是解决问题的关键.
    (1)设乙工程队每天完成x米,则甲工程队每天完成2x米.根据甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天,列方程求解;
    (2)设甲工程队至少施工a天,根据工期不能超过50天,列出不等式,再进行求解即可得出答案.
    26.【答案】(1)证明:如图1所示,连接OC,OD,

    ∵AB平分∠CAD,
    ∴∠CAB=∠DAB,
    ∵CB=BD,
    ∴∠COB=2∠CAB,
    ∵BD=BD,
    ∴∠DOB=2∠BAD,
    ∴∠COB=∠BOD
    ∴CB=BD;
    (2)证明:如图2所示,连接AE,

    ∵FA平分∠EFG,
    ∴∠EFA=∠GFA,
    ∵FG=FE,AF=AF,
    ∴△AEF≌△AGF(SAS),
    ∴∠EAF=∠FAG,CE=CE,
    ∴∠EAF=∠CBE,
    ∴∠CBE=∠CAD=2∠BAD;
    (3)解:如图3所示,延长AC,DB交于点Q,

    由(1)得∠COB=∠BOD,∠AOC=180°−∠COB,∠AOD=180°−∠BOD,
    ∴∠AOC=∠AOD,
    ∴AC=AD,
    设∠BAC=∠BAD=α,则∠CBA=∠CAE=2α,
    ∵∠AEF=90°,
    ∴∠EFA=90°−2α,
    ∴∠CBQ=∠CAD=∠BAC+∠BAD=2α,
    ∵AB是直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴∠QCB=90°,
    ∴∠Q=90°−2α,
    ∴∠BFC=∠Q,
    ∴FB=BQ,
    设AF=a,FC=2AF=2a,AC=AD=AF+FC=3a,
    ∴FC=CQ=2a,
    勾股定理得QD=4a,QB=4a−52,
    ∵∠COD=∠BOD,
    ∴BC=BD=52,
    在Rt△QBC中,BC2+QC2=QB2,
    解得a=0(舍),a=53,
    ∵AB是直径,
    ∴∠E=90°,
    由(2)问得△AEF≌△AGF,
    ∴∠E=∠AGH,
    ∴∠AGH=90°,
    ∵AB是直径,
    ∴∠ADB=90°,
    ∴∠AGH=∠ADB,
    ∴FG//QD,
    ∴AFFQ=AHHB=a4a,
    ∴HB=45AB=45×52 5=2 5.
    【解析】(1)连接OC,OD,首先得到∠CAB=∠DAB,然后根据圆周角定理得到∠COB=∠BOD,即可证明出弧CB=弧BD;
    (2)连接AE,首先证明出△AEF≌△AGF(SAS),得到∠EAF=∠FAG,然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠EAF=∠CBE,进而证明出∠CBE=2∠BAD;
    (3)延长AC,DB交于点Q,首先得到AC=AD,然后设∠BAC=∠BAD=α,则∠CBA=∠CAE=2α,通过角度的转化得到∠BFC=∠Q,得到FB=BQ,然后设AF=a,FC=2AF=2a,AC=AD=AF+FC=3a,勾股定理得QD=4a,QB=4a−52,在Rt△QBC中,利用勾股定理求出a=53,然后由△AEF≌△AGF得到∠E=∠AGH,然后得到FG//QD,然后根据平行线分线段成比例求解即可.
    此题考查了圆周角定理,全等三角形的性质和判定,平行线分线段成比例,勾股定理等知识,解题的根据是正确作出辅助线求解.
    27.【答案】解:(1)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2−ax+4,交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于B,交y轴于C,且AC=5.
    令x=0,则y=4,
    ∴点C的坐标为(0,4),OC=4,
    在Rt△AOC中,依据勾股定理得:
    AO= AC2−OC2= 52−42=3,
    ∴点A的坐标为(−3,0),
    ∵A在抛物线上,把A点坐标代入抛物线y=ax2−ax+4得:
    0=a(−3)2−(−3)a+4,
    解得:a=−13;
    (2)点P是第一象限抛物线上一点,连接AP交y轴于点D,设点P的横坐标为t,△ACD的面积为S,
    作PK⊥OB交x轴于点K,如图2,

    由(1)知a=−13,
    ∴抛物线的解析式为:y=−13x2+13x+4,
    设P(t,−13t2+13t+4),K(t,0),OK=t,PK=−13t2+13t+4,AK=AO+OK,
    ∵∠DOA=∠PKA=90°,
    ∴OD//PK,
    ∴△AOD∽△AKP,
    ∴ODPK=AOAB,
    ∴OD−13t2+13t+4=3t+3,
    OD=−t+4,CD=OC−OD=4−(−t+4)=t,
    S=12×CD×AO=12×t×3=32t;
    (3)点E为第四象限内一点,BE⊥x轴,PE=BD,点Q为第二象限抛物线上一点,点Q的横坐标为−12t,作EH⊥y轴于点H,PI⊥EH于点I,如图3,

    ∵EI=OD=4−t,∠DOB=∠PGE=90°,
    ∴Rt△BOD≌Rt△PIE(HL),
    ∴PK=OB=4,
    ∴PI=OB=4,−13t2+13t+4−4=−13t2+13t,
    ∴E(4,−13t2+13t),
    作QM⊥OC于点M,FN⊥y轴于点N,
    当x=−12t时,y=−13⋅(−12t)2+13(−12t)+4,y=−112t2−16t+4,
    ∴Q(−12t,−112t2−16t+4),
    MD=−112t2+56t,DN=13n2−13n−t,
    ∵∠MQD=∠GFN=90°,
    ∴QM//FN,
    ∴∠1=∠2,
    tan∠1=MDQM=−112t2+56t12t=−16t+53,tan∠2=DNFN=13n2−13n−tn,
    −16t+53=13n2−13n−tn,(2n+t)(n−6)=0,
    2n+t=0或n−6=0;
    ∵Q与F不重合,
    ∴2n+t≠0,
    ∴n−6=0,n=6,
    ∴F(6,−6),
    延长EG交FN于点R,
    ∵BE⊥x轴,
    ∴ER⊥NF,
    ∴tan∠FEG=12=FRER=6−4ER,
    解得:ER=4,
    ∴−13t2+13t−(−6)=4,
    t=3或t=−2(舍),
    ∴E(4,−2),
    设直线EF的解析式为y=kx+b,
    将E(4,−2),F(6,−6)代入得:
    −2=4k+b−6=6k+b,
    解得:k=−2b=6,
    ∴直线EF:y=−2x+6.
    【解析】(1)根据抛物线解析式,得出OC=4,根据勾股定理得出AO=3,进而可得A(−3,0),待定系数法求解析式,即可求解;
    (2)作PK⊥OB于K,设P(t,−13t2+13t+4),K(t,0),OK=t,证明△AOD∽△AKP,根据相似三角形的性质得出OD=−t+4,CD=OC−OD=4−(−t+4)=t,进而根据三角形的面积公式,即可求解.
    (3)作EH⊥y轴于点H,PI⊥EH于点I,证明△BOD≌△PIE得出E(4,−13t2+13t),作QM⊥OC于点M,FN⊥y轴于点N,根据函数解析式求得Q(−12t,−112t2−16t+4),MD=−112t2+56t,DN=13n2−13n−t,根据平行线的性质得出∠1=∠2,根据正切值相等,建立方程,得出F(6,−6),延长EG交FN于点R,证ER⊥NF,根据∠FEG的正切值为12得出ER=4,进而得出E(4,−2),即可求解.
    本题考查了二次函数的综合应用,待定系数法求解析式,面积问题,解直角三角形,熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键.x

    −1
    0
    1
    2
    3

    y

    0
    3
    4
    3
    0

    组别
    时间t/h
    频数
    A
    05
    B
    0.5a
    C
    120
    D
    1.515
    E
    t>2
    8
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