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2024年宁夏中卫市部分学校中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2024年宁夏中卫市部分学校中考数学模拟试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是( )
A. (2a2)3=6a6B. 2a2+3a4=5a6
C. (2a)−2=14a2D. a2(a3−2a)=a6−2a3
2.如图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为( )
A. 46×108B. 4.6×108C. 4.6×109D. 4.6×1010
4.2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分.为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训练，现葵城中学七(1)班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6则这组数据的中位数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
5.如图，将一含45°角的直角三角板的直角顶点和一个锐角顶点分别放在一把直尺的两条边上，若∠1=60°，则∠2的度数为( )
A. 75°
B. 85°
C. 95°
D. 105°
6.已知函数y=1x−2+ x−1，自变量x的取值范围是( )
A. x>1B. x≥1且x≠2C. x≥1D. x≠2
7.如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象相交于点P(2,−2)，则关于x的不等式x+b>kx+4的解集是( )
A. x>−2
B. x<−2
C. x<2
D. x>2
8.“乌鸦喝水”的故事耳熟能详.如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为a，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水.设乌鸦衔来的石子个数为x，水位高度为y，假设石子的体积一样，下列图象中最符合故事情境的大致图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.因式分解：−m2n+2mn−n= ______．
10.从3、5、6、9四个数中随机取一个数，不放回，再随机取一个数，把第一个数作为十位数字，第二个数作为个位数字，组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率是 ．
11.计算aa2−1+1a−1的结果是______．
12.关于x的一元二次方程(m−4)x2+2mx+m+3=0有实根，则m取值范围是______．
13.(2 2)2−|−4|+3−1×6+20= ______．
14.如图，DA与⊙O相切于点A，点B，C是圆上的点，且∠ABC=60°，CO的延长线交DA于点D，交圆于点E，若AC=2 3，由图中阴影部分的面积为______．
15.如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿着A→B→C的方向运动，到达点C后停止.设P点的运动时间为x，AP的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是______．
16.如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是______.(结果用m，n表示)
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
(1)计算：|−12|+(−2024)0+2−1；
(2)下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：2x−13x+6=x−1x+2−2
解：2x−13(x+2)=x−1x+2−2第一步，
2x−1=3(x−1)−2第二步，
2x−1=3x−3−2第三步，
−x=−4第四步，
x=4第五步，
检验：当x=4时，3(x+2)≠0.第六步，
所以，x=4是原方程的根第七步．
任务一：以上解方程步骤中，第______是错误的；
任务二：请直接写出该分式方程的正确结果．
18.(本小题6分)
解不等式组：3x+5≥2(x+1)x+12<2，并把解集在数轴上表示出来．
19.(本小题6分)
如图，每一个小正方形的边长为m．
(1)画出格点△ABC关于直线DE对称的△A′B′C′；
(2)在DE上画出点Q，使|QA−QB|的值最大．
20.(本小题6分)
我国大力发展职业教育，促进劳动力就业.某职业教育培训中心开设：A(旅游管理)、B(信息技术)、C(酒店管理)、D(汽车维修)四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______人；扇统计图中A(旅游管理)专业所对应的圆心角的度数为______；
(2)请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人；
(3)从选择D(汽车维修)专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
21.(本小题6分)
如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AD，DC的中点，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，连接AC．
(1)求证：四边形ACGE是平行四边形；
(2)连接AG，若∠FGC=60°，AB=4，求AG的长．
22.(本小题8分)
茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具.若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元.且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元．
(1)A、B两种茶具每套进价分别为多少元？
(2)由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？
23.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB=10，AD=6，求EC的长．
24.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=6x(x>0)的图象交于点A(a,b)和点B(a−4,3)，P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线，交反比例函数y=6x的图象于点Q．
(1)求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)当△OPQ的面积为34时，求P点的坐标．
25.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=a(x−2)2−2(a≠0)与x轴交于原点O与点A，点B为顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在坐标平面内(直线AB的左侧)存在点P(2,m)，Q(−1,n)，使得S△PBA=S△QAB=3，求m，n的值．
(3)在(2)的条件下，若向下平移抛物线k个单位，抛物线与线段BQ都只有一个公共点，点k的取值范围．
26.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°．
【问题提出】
(1)如图1，点D为边BC上一点，过D作DE⊥AB于E点，连接AD，F为AD的中点，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是______；
【问题探究】
(2)如图2，将图1中的△DEB绕点B按逆时针方向旋转，使点D落在AB边上，F为AD的中点，试判断△CEF的形状并说明理由；
【拓展延伸】
(3)在(2)的条件下，若BE=m，BDBC=45，将△DEB绕点B按逆时针方向旋转，当点D在线段AE上时，直接写出线段CF的长______(用含m的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
利用合并同类项的法则，单项式乘多项式的法则，负整数指数幂的性质，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，单项式乘多项式，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【解答】
解：A、(2a2)3=8a6，故A不符合题意；
B、2a2与3a4不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、(2a)−2=14a2，故C符合题意；
D、a2(a3−2a)=a5−2a3，故D不符合题意；
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：从上面看易得上层有2个正方形，下层最右边有一个正方形．
故选：C．
根据从上面看是俯视图，可得答案．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】C
【解析】解：4600000000=4.6×109．
故选：C．
绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，n为正整数，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n是正整数，正确确定a的值和n的值是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：将该组数据按从小到大依次排列为6，7，9，10，12，
则这组数据的中位数是9．
故选：D．
根据中位数的定义直接求解即可．
本题中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠1=60°，
∴∠3=90°−60°=30°，
∵AB//CD，
∴∠4=∠3=30°，
∴∠2=180°−30°−45°=105°．
故选：D．
求出∠3=90°−60°=30°，由平行线的性质推出∠4=∠3=30°，由平角定义即可求出∠2的度数．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4=∠3=30°．
6.【答案】B
【解析】解：由题意得：x−1≥0且x−2≠0，
解得：x≥1且x≠2，
故选：B．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
结合函数图象，写出一次函数y1=x+b图象在一次函数y2=kx+4的图象上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【解答】
解：∵一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象相交于点P(2,−2)，
∴当x>2时，x+b>kx+4，
即关于x的不等式x+b>kx+4的解集是x>2．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】解：∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面，
∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快，
∴A符合题意，B，C，D不符合题意．
故选：A．
分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断．
本题考查函数图象问题，理解题意是关键．
9.【答案】−n(m−1)2
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．此多项式有公因式，应先提取公因式，再用完全平方公式继续分解．
【解答】
解：−m2n+2mn−n
=−n(m2−2m+1)
=−n(m−1)2．
故答案为：−n(m−1)2．
10.【答案】34
【解析】【分析】
画树状图，共有12种等可能的结果，其中组成的两位数是奇数的结果有9种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中组成的两位数是奇数的结果有9种，
∴这个两位数是奇数的概率为912=34，
故答案为：34．
11.【答案】2a+1a2−1
【解析】解：原式=a(a+1)(a−1)+a+1(a+1)(a−1)
=2a+1(a+1)(a−1)
=2a+1a2−1．
先把分母是多项式的分解因式，然后再通分，最后按照同分母的分式相加即可．
本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和几种常见的分解因式的方法．
12.【答案】m≥−12且m≠4
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−4)x2+2mx+m+3=0有实数根，
∴(2m)2−4(m−4)(m+3)≥0m−4≠0，
解得m≥−12且m≠4．
故答案为：m≥−12且m≠4．
直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得．
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和根的关系是解答本题的关键．
13.【答案】7
【解析】解(2 2)2−|−4|+3−1×6+20
=8−4+13×6+1
=8−4+2+1
=7．
故答案为：7．
首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
14.【答案】2 3−2π3
【解析】解：连接OA、AE，则OA=OE，
∵CE是⊙O的直径，AC=2 3，
∴∠CAE=90°，
∵∠AEC=∠ABC=60°，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∵ACAE=2 3AE=tan60°= 3，
∴OA=AE=2，
∵DA与⊙O相切于点A，
∴DA⊥OA，
∴∠OAD=90°，
∴ADOA=AD2=tan60°= 3，
∴AD=2 3，
∴S阴影=S△OAD−S扇形AOE=12×2×2 3−60π×22360=2 3−2π3，
故答案为：2 3−2π3．
连接OA、AE，则OA=OE，因为∠AEC=∠ABC=60°，所以△AOE是等边三角形，则∠AOE=60°，由ACAE=2 3AE=tan60°= 3，求得OA=AE=2，由切线的性质证明∠OAD=90°，则ADOA=AD2=tan60°= 3，求得AD=2 3，即可由S阴影=S△OAD−S扇形AOE求得S阴影=2 3−2π3，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】9 32+6
【解析】解：作AH⊥BC，如图，
当点P到点B处时，y=5，即AB=5，
当点P到点H处时AP最短，y=3，即AH=3，
当点P到点C处时，y=6，即AC=6，
在Rt△ABH中，BH= 52−32=4，
在Rt△ACH中，CH= 62−32=3 3，
∴S△ABC=12BC⋅AH=9 32+6．
分析出当点P到点B处时，y=5，即AB=5，当点P到点H处时AP最短，y=3，即AH=3，当点P到点C处时，y=6，即AC=6，再根据勾股定理分别求出BH和CH，即可求出三角形的面积．
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
16.【答案】m+2023n
【解析】解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m−n，
∴用2024个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度=2024m−2023(m−n)=m+2023n，
故答案为：m+2023n．
用2024个这样的图形(图1)的总长减去拼接时的重叠部分2023个(m−n)，即可得到拼出来的图形的总长度．
本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
17.【答案】二
【解析】解：(1)|−12|+(−2024)0+2−1
=12+1+12
=2；
(2)根据题意，解答第二步出现问题，2漏乘3(x+2)，
2x−13(x+2)=x−1x+2−2
2x−1=3(x−1)−6(x+2)，
2x−1=3x−3−6x−12
5x=−14，
x=−145，
经检验x=−145是原方程的解．
故答案为：二．
(1)根据实数的运算法则运算即可；
(2)根据解分式方程的步骤解答即可．
本题考查了实数的运算和分式方程的解，熟练掌握解分式方程是关键．
18.【答案】解：3x+5≥2(x+1)①x+12<2②，
解①得：x≥−3，
解②得：x<3，
所以此不等式组的解集为−3≤x<3，
将不等式组的解集在数轴上表示如下：
．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示：点Q即为所求．
【解析】【分析】
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)延长AB，交直线DE于点Q，此时|QA−QB|最大．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】200 72° 60
【解析】解：(1)本次被调查的学生有：70÷35%=200(人)，
扇统计图中A(旅游管理)专业所对应的圆心角的度数为：40200×360°=72°，
故答案为：200，72°；
(2)条形统计图中，B(信息技术)专业的人数为：200−40−70−30=60(人)，
故答案为：60；
补全条形统计图如下：
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为212=16．
(1)由选择C专业的人数除以所占百分比即可；
(2)由360°乘以选择D专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中D(汽车维修)专业所对应的圆心角的度数，再求出B专业的人数，补全条形统计图即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】(1)证明：∵点E，F分别是AD，DC的中点，
∴EF是△ADC的中线．
∴EF//AC，则EG//AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，则AE//CG，
∴四边形ACGE是平行四边形．
(2)解：取BC的中点H，连接AH，
∵AC//GE，
∴∠ACB=∠FGC=60°．
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4．
∵AH⊥BC，
在Rt△AHC中，∠AHB=90°，
∴AH= AC2−HC2= AC2−(12BC)2= 42−22=2 3．
∵四边形AEGC是平行四边形，
∴AE=GC=12AD=12BC=2，
∴GH=HC+GC=2+2=4，
在Rt△AGH中，
根据勾股定理得，AG= AH2+HG2= (2 3)2+42=2 7．
【解析】(1)连接AC，根据菱形的性质得出EG//AC，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
(2)过点A作AH⊥BC，根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．
22.【答案】解：(1)设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元．
根据题意，得a+2b=2503a+4b=600，
解得a=100b=75，
∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元．
(2)再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为100×(1+8%)=108(元)，B种茶具每套进价为75×0.8=60(元)．
设购进A种茶具x套，则购进B种茶具(80−x)套．
根据题意，得108x+60(80−x)≤6240，
解得x≤30；
设获得的利润为W元，则W=30x+20(80−x)=10x+1600，
∵10>0，
∴W随x的增大而增大，
∵x≤30，
∴当x=30时，W的值最大，W最大=10×30+1600=1900，此时购进B种茶具80−30=50(套)，
购进A种茶具30套、B种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元．
【解析】(1)设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元，根据题意列方程组并求解即可；
(2)计算再次购进A、B两种茶具时，A种茶具和B种茶具每套的价格，根据“A种茶具每套进价×购进A种茶具的套数+B种茶具每套进价×购进B种茶具的套数≤6240”列关于x的一元一次不等式并求解，设获得的利润为W元，根据“获得的利润=每套A种茶具的利润×购进A种茶具的套数+每套B种茶具的利润×购进B种茶具的套数”写出W关于x的关系式，根据该关系式的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时W的值最大，求出其最大值此时(80−x)的值即可．
本题考查一次了函数的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接OD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD．
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD//BE．
∴∠BED+∠ODE=180°．
∵BE⊥DE，
∴∠BED=90°．
∴∠ODE=90°．
∴OD⊥DE．
∵OD是半径，
∴DE与⊙O相切；
(2)解：过D作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH=DE．
∵AD=CD，
∴AD=CD．
∴Rt△ADH≌Rt△CDE(HL)，
∴AH=CE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=10，AD=6，
∴BD= AB2−AD2= 102−62=8．
∵12AB⋅DH=12AD⋅BD，
∴DH=245．
∴DE=245．
∵∠E=∠ADB=90°，∠DCE=∠A，
∴△ABD∽△CDE，
∴ADCE=BDDE，即6CE=8245，
解得CE=185．
【解析】(1)连接OD，由BD为角平分线得到∠OBD=∠CBD，再由OB=OD，利用等边对等角得到∠ODB=∠OBD，从而得出∠ODB=∠CBD，利用内错角相等两直线平行得到OD与BE平行，由DE垂直于BE得到OD垂直于DE，即可得证；
(2)过D作DH⊥AB于H，根据HL得出Rt△ADH≌Rt△CDE，得出AH=CE，再根据勾股定理得出BD= AB2−AD2= 102−62=8，再利用等积法即可得出DE的长，然后证明出△ABD∽△CDE，利用相似三角形的性质求解即可．
此题考查了切线的判定，角平分线的性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)将B(a−4,3)代入y=6x，
得：a=6，
∴B(2,3)，A(6,b)，
将点A(6,b)代入y=6x，
得b=1，
∴A(6,1)，
将点A(6,1)，点B(2,3)代入y=kx+b，
得：k=−12，b=4，
∴y=−12x+4．
(2)设点P(t,−12t+4)，Q(t,6t)，
PQ=−t2+4−6t，
S△OPQ=(−t2+4−6t)×12×t=34，
解得：t1=3，t2=5，
∴P(3,52)或(5,32).
故答案为：P(3,52)或(5,32).
【解析】本题考查反比例函数和一次函数的性质，将点B坐标代入反比例函数表达式求出a的值，从而将点A的坐标求出来，再将点A，点B的坐标代入一次函数表达式，求出k，b的值；第二问设出点P的坐标，将线段PQ表示出来，从而表示出三角形OPQ的面积，从而求得点P的坐标．
本题难度适中，认真审题，掌握一次函数和反比例函数的性质是答题的关键．
25.【答案】解：(1)将原点O(0,0)代入抛物线方程，得0=4a−2，解得a=12，故抛物线表达式为y=y=12(x−2)2−2=y=12x2−2x．
(2)连接AB．
当y=12x2−2x=0时，解得x=0或x=4.故A点坐标为(4,0)．
B点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，将抛物线表达式各系数代入，得B(2,−2)．
根据A、B两点坐标，有AB= (4−2)2+(0+2)2=2 2．
∵S△PBA=S△QAB=3，
∴点P和点Q到AB的距离均相等，设为h，
∵12AB⋅h=3，
∴h=6AB=62 2=3 22．
设AB的直线方程为y=kx+b，将A(4,0)、B(2,−2)代入，得方程组0=4k+b−2=2k+b，
解得k=1，b=−4.故AB的直线方程为y=x−4．
当x=0时，y=−4．
故直线AB与x轴和y轴交点的坐标分别为(4,0)，(0,−4)．
根据点到直线的距离公式：
点P(2,m)到直线AB的距离h=|2−m−4| 12+(−1)2=|m+2| 2=3 22．
当m+2>0时，m+2=3，m=1；
当m+2<0时，−(m+2)=3，m=−5．
∵点P在直线AB的左侧，
∴m=1．
点Q(−1,n)到直线AB的距离h=|−1−n−4| 12+(−1)2=|n+5| 2=3 22．
当n+5>0时，n+5=3，n=−2；
当n+5<0时，−(n+5)=3，n=−8．
∵点Q在直线AB的左侧，
∴n=−2．
(3)Q点坐标为(−1,−2)，连接BQ．
向下平移抛物线k个单位，抛物线方程为y=12x2−2x−k．
当抛物线与线段BQ只有一个公共点B时，k=0；
当抛物线与线段BQ只有一个公共点Q时，则−2=12+2−k，解得k=92．
故当92≥k≥0时，抛物线与线段BQ都只有一个公共点．
【解析】(1)利用待定系数法，将原点坐标代入抛物线求出a即可得到其表达式；
(2)利用三角形面积公式，先求出三角形底边AB长和对应高，再利用点到直线距离公式求出m和n的值．特别要注意的是，点P和Q均在直线AB左侧这一条件限制，要将不符合这一条件的m、n值舍去；
(3)抛物线与线段(注意：不是直线)BQ都只有一个公共点，先写出向下平移抛物线k个单位后的方程，再计算出交点分别为B点和Q点对应的k值即可求解．
本题主要考查二次函数表达式的求法及二次函数的性质、与x轴的交点等，又结合了三角形的面积和点到直线距离，以及抛物线与直线交点等内容，综合性比较强，计算量也很大，需要一定的计算能力和逻辑推理能力．
26.【答案】等边三角形 2 6+ 32⋅m
【解析】解：(1)在Rt△ACB中，点F是AD的中点，
∴CF=AF=DF，
∴∠CAF=∠ACF，
∴∠CFD=∠CAF+∠ACF=2∠CAF，
同理可得EF=AF=DF，∠DFE=2∠EAF，
∴CF=EF，∠CFE=∠CFD+∠EFD=2(∠CAF+∠EAF)=2∠CAB=60°，
∴△CEF是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
(2)△CEF为等边三角形，理由如下：
如图，以F为圆心，AF为半径画弧，交AC于点G，连接FG，DG，作DH⊥BC于H，
∴AF=FG，∠CHD=90°，
∴∠AGF=∠BAC=30°，
∴∠GFD=2∠BAC=60°，∠CGF=150°，
∵点F是AD的中点，
∴DF=AF，
∴FG=DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴∠FDG=60°，
∴∠AGD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形CGDH是矩形，
∴CG=DH= 32BD，
∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，
∴DE= 32BD，∠FDE=150°，
∴∠CGF=∠FDE，CG=DE，
∴△CFG≌△EFD(SAS)，
∴CF=EF，∠CFG=∠DFE，
∴∠DFE+∠BFC=∠CFG+∠BFC=∠GFD=60°，
∴△CEF是等边三角形．
(3)如图，
在Rt△BDE中，∠BDE=30°，
∴BD=2BE=2m，DE= 3BE= 3m，
∵BDBC=45，
∴BC=52m，
∴AB=2BC=5m，
∴AE= AB2−BE2= (5m)2−m2=2 6m，
∴AD=AE−DE=(2 6− 3)m，
∴AF=DF=2 6− 32⋅m，
∴CF=EF=DF+DE=2 6+ 32⋅m．
故答案为：2 6+ 32⋅m．
(1)可证得CF=EF=DF，∠CFE=∠CFD+∠EFD=2(∠CAF+∠EAF)=2∠CAB=60°，即可解答；
(2)以F为圆心，AF为半径画弧，交AC于点G，连接FG，DG，作DH⊥BC于H，FG=DF，∠CGF=∠FDE=150°，CG=DE，从而得出△CFG≌△EFD，从而CF=EF，∠CFG=∠DFE，即可解答；
(3)可得出BD=2BE=2m，DE= 3BE= 3m，BC=52m，AB=2BC=5m，从而求出AE，即可解答．
本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
1.下列运算正确的是( )
A. (2a2)3=6a6B. 2a2+3a4=5a6
C. (2a)−2=14a2D. a2(a3−2a)=a6−2a3
2.如图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为( )
A. 46×108B. 4.6×108C. 4.6×109D. 4.6×1010
4.2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分.为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训练，现葵城中学七(1)班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6则这组数据的中位数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
5.如图，将一含45°角的直角三角板的直角顶点和一个锐角顶点分别放在一把直尺的两条边上，若∠1=60°，则∠2的度数为( )
A. 75°
B. 85°
C. 95°
D. 105°
6.已知函数y=1x−2+ x−1，自变量x的取值范围是( )
A. x>1B. x≥1且x≠2C. x≥1D. x≠2
7.如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象相交于点P(2,−2)，则关于x的不等式x+b>kx+4的解集是( )
A. x>−2
B. x<−2
C. x<2
D. x>2
8.“乌鸦喝水”的故事耳熟能详.如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为a，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水.设乌鸦衔来的石子个数为x，水位高度为y，假设石子的体积一样，下列图象中最符合故事情境的大致图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.因式分解：−m2n+2mn−n= ______．
10.从3、5、6、9四个数中随机取一个数，不放回，再随机取一个数，把第一个数作为十位数字，第二个数作为个位数字，组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率是 ．
11.计算aa2−1+1a−1的结果是______．
12.关于x的一元二次方程(m−4)x2+2mx+m+3=0有实根，则m取值范围是______．
13.(2 2)2−|−4|+3−1×6+20= ______．
14.如图，DA与⊙O相切于点A，点B，C是圆上的点，且∠ABC=60°，CO的延长线交DA于点D，交圆于点E，若AC=2 3，由图中阴影部分的面积为______．
15.如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿着A→B→C的方向运动，到达点C后停止.设P点的运动时间为x，AP的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是______．
16.如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是______.(结果用m，n表示)
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
(1)计算：|−12|+(−2024)0+2−1；
(2)下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：2x−13x+6=x−1x+2−2
解：2x−13(x+2)=x−1x+2−2第一步，
2x−1=3(x−1)−2第二步，
2x−1=3x−3−2第三步，
−x=−4第四步，
x=4第五步，
检验：当x=4时，3(x+2)≠0.第六步，
所以，x=4是原方程的根第七步．
任务一：以上解方程步骤中，第______是错误的；
任务二：请直接写出该分式方程的正确结果．
18.(本小题6分)
解不等式组：3x+5≥2(x+1)x+12<2，并把解集在数轴上表示出来．
19.(本小题6分)
如图，每一个小正方形的边长为m．
(1)画出格点△ABC关于直线DE对称的△A′B′C′；
(2)在DE上画出点Q，使|QA−QB|的值最大．
20.(本小题6分)
我国大力发展职业教育，促进劳动力就业.某职业教育培训中心开设：A(旅游管理)、B(信息技术)、C(酒店管理)、D(汽车维修)四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______人；扇统计图中A(旅游管理)专业所对应的圆心角的度数为______；
(2)请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人；
(3)从选择D(汽车维修)专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
21.(本小题6分)
如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AD，DC的中点，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，连接AC．
(1)求证：四边形ACGE是平行四边形；
(2)连接AG，若∠FGC=60°，AB=4，求AG的长．
22.(本小题8分)
茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具.若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元.且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元．
(1)A、B两种茶具每套进价分别为多少元？
(2)由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？
23.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB=10，AD=6，求EC的长．
24.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=6x(x>0)的图象交于点A(a,b)和点B(a−4,3)，P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线，交反比例函数y=6x的图象于点Q．
(1)求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)当△OPQ的面积为34时，求P点的坐标．
25.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=a(x−2)2−2(a≠0)与x轴交于原点O与点A，点B为顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在坐标平面内(直线AB的左侧)存在点P(2,m)，Q(−1,n)，使得S△PBA=S△QAB=3，求m，n的值．
(3)在(2)的条件下，若向下平移抛物线k个单位，抛物线与线段BQ都只有一个公共点，点k的取值范围．
26.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°．
【问题提出】
(1)如图1，点D为边BC上一点，过D作DE⊥AB于E点，连接AD，F为AD的中点，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是______；
【问题探究】
(2)如图2，将图1中的△DEB绕点B按逆时针方向旋转，使点D落在AB边上，F为AD的中点，试判断△CEF的形状并说明理由；
【拓展延伸】
(3)在(2)的条件下，若BE=m，BDBC=45，将△DEB绕点B按逆时针方向旋转，当点D在线段AE上时，直接写出线段CF的长______(用含m的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
利用合并同类项的法则，单项式乘多项式的法则，负整数指数幂的性质，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，单项式乘多项式，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【解答】
解：A、(2a2)3=8a6，故A不符合题意；
B、2a2与3a4不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、(2a)−2=14a2，故C符合题意；
D、a2(a3−2a)=a5−2a3，故D不符合题意；
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：从上面看易得上层有2个正方形，下层最右边有一个正方形．
故选：C．
根据从上面看是俯视图，可得答案．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】C
【解析】解：4600000000=4.6×109．
故选：C．
绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，n为正整数，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n是正整数，正确确定a的值和n的值是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：将该组数据按从小到大依次排列为6，7，9，10，12，
则这组数据的中位数是9．
故选：D．
根据中位数的定义直接求解即可．
本题中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠1=60°，
∴∠3=90°−60°=30°，
∵AB//CD，
∴∠4=∠3=30°，
∴∠2=180°−30°−45°=105°．
故选：D．
求出∠3=90°−60°=30°，由平行线的性质推出∠4=∠3=30°，由平角定义即可求出∠2的度数．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4=∠3=30°．
6.【答案】B
【解析】解：由题意得：x−1≥0且x−2≠0，
解得：x≥1且x≠2，
故选：B．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
结合函数图象，写出一次函数y1=x+b图象在一次函数y2=kx+4的图象上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【解答】
解：∵一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象相交于点P(2,−2)，
∴当x>2时，x+b>kx+4，
即关于x的不等式x+b>kx+4的解集是x>2．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】解：∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面，
∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快，
∴A符合题意，B，C，D不符合题意．
故选：A．
分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断．
本题考查函数图象问题，理解题意是关键．
9.【答案】−n(m−1)2
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．此多项式有公因式，应先提取公因式，再用完全平方公式继续分解．
【解答】
解：−m2n+2mn−n
=−n(m2−2m+1)
=−n(m−1)2．
故答案为：−n(m−1)2．
10.【答案】34
【解析】【分析】
画树状图，共有12种等可能的结果，其中组成的两位数是奇数的结果有9种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中组成的两位数是奇数的结果有9种，
∴这个两位数是奇数的概率为912=34，
故答案为：34．
11.【答案】2a+1a2−1
【解析】解：原式=a(a+1)(a−1)+a+1(a+1)(a−1)
=2a+1(a+1)(a−1)
=2a+1a2−1．
先把分母是多项式的分解因式，然后再通分，最后按照同分母的分式相加即可．
本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和几种常见的分解因式的方法．
12.【答案】m≥−12且m≠4
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−4)x2+2mx+m+3=0有实数根，
∴(2m)2−4(m−4)(m+3)≥0m−4≠0，
解得m≥−12且m≠4．
故答案为：m≥−12且m≠4．
直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得．
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和根的关系是解答本题的关键．
13.【答案】7
【解析】解(2 2)2−|−4|+3−1×6+20
=8−4+13×6+1
=8−4+2+1
=7．
故答案为：7．
首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
14.【答案】2 3−2π3
【解析】解：连接OA、AE，则OA=OE，
∵CE是⊙O的直径，AC=2 3，
∴∠CAE=90°，
∵∠AEC=∠ABC=60°，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∵ACAE=2 3AE=tan60°= 3，
∴OA=AE=2，
∵DA与⊙O相切于点A，
∴DA⊥OA，
∴∠OAD=90°，
∴ADOA=AD2=tan60°= 3，
∴AD=2 3，
∴S阴影=S△OAD−S扇形AOE=12×2×2 3−60π×22360=2 3−2π3，
故答案为：2 3−2π3．
连接OA、AE，则OA=OE，因为∠AEC=∠ABC=60°，所以△AOE是等边三角形，则∠AOE=60°，由ACAE=2 3AE=tan60°= 3，求得OA=AE=2，由切线的性质证明∠OAD=90°，则ADOA=AD2=tan60°= 3，求得AD=2 3，即可由S阴影=S△OAD−S扇形AOE求得S阴影=2 3−2π3，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】9 32+6
【解析】解：作AH⊥BC，如图，
当点P到点B处时，y=5，即AB=5，
当点P到点H处时AP最短，y=3，即AH=3，
当点P到点C处时，y=6，即AC=6，
在Rt△ABH中，BH= 52−32=4，
在Rt△ACH中，CH= 62−32=3 3，
∴S△ABC=12BC⋅AH=9 32+6．
分析出当点P到点B处时，y=5，即AB=5，当点P到点H处时AP最短，y=3，即AH=3，当点P到点C处时，y=6，即AC=6，再根据勾股定理分别求出BH和CH，即可求出三角形的面积．
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
16.【答案】m+2023n
【解析】解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m−n，
∴用2024个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度=2024m−2023(m−n)=m+2023n，
故答案为：m+2023n．
用2024个这样的图形(图1)的总长减去拼接时的重叠部分2023个(m−n)，即可得到拼出来的图形的总长度．
本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
17.【答案】二
【解析】解：(1)|−12|+(−2024)0+2−1
=12+1+12
=2；
(2)根据题意，解答第二步出现问题，2漏乘3(x+2)，
2x−13(x+2)=x−1x+2−2
2x−1=3(x−1)−6(x+2)，
2x−1=3x−3−6x−12
5x=−14，
x=−145，
经检验x=−145是原方程的解．
故答案为：二．
(1)根据实数的运算法则运算即可；
(2)根据解分式方程的步骤解答即可．
本题考查了实数的运算和分式方程的解，熟练掌握解分式方程是关键．
18.【答案】解：3x+5≥2(x+1)①x+12<2②，
解①得：x≥−3，
解②得：x<3，
所以此不等式组的解集为−3≤x<3，
将不等式组的解集在数轴上表示如下：
．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示：点Q即为所求．
【解析】【分析】
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)延长AB，交直线DE于点Q，此时|QA−QB|最大．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】200 72° 60
【解析】解：(1)本次被调查的学生有：70÷35%=200(人)，
扇统计图中A(旅游管理)专业所对应的圆心角的度数为：40200×360°=72°，
故答案为：200，72°；
(2)条形统计图中，B(信息技术)专业的人数为：200−40−70−30=60(人)，
故答案为：60；
补全条形统计图如下：
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为212=16．
(1)由选择C专业的人数除以所占百分比即可；
(2)由360°乘以选择D专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中D(汽车维修)专业所对应的圆心角的度数，再求出B专业的人数，补全条形统计图即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】(1)证明：∵点E，F分别是AD，DC的中点，
∴EF是△ADC的中线．
∴EF//AC，则EG//AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，则AE//CG，
∴四边形ACGE是平行四边形．
(2)解：取BC的中点H，连接AH，
∵AC//GE，
∴∠ACB=∠FGC=60°．
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4．
∵AH⊥BC，
在Rt△AHC中，∠AHB=90°，
∴AH= AC2−HC2= AC2−(12BC)2= 42−22=2 3．
∵四边形AEGC是平行四边形，
∴AE=GC=12AD=12BC=2，
∴GH=HC+GC=2+2=4，
在Rt△AGH中，
根据勾股定理得，AG= AH2+HG2= (2 3)2+42=2 7．
【解析】(1)连接AC，根据菱形的性质得出EG//AC，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
(2)过点A作AH⊥BC，根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．
22.【答案】解：(1)设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元．
根据题意，得a+2b=2503a+4b=600，
解得a=100b=75，
∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元．
(2)再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为100×(1+8%)=108(元)，B种茶具每套进价为75×0.8=60(元)．
设购进A种茶具x套，则购进B种茶具(80−x)套．
根据题意，得108x+60(80−x)≤6240，
解得x≤30；
设获得的利润为W元，则W=30x+20(80−x)=10x+1600，
∵10>0，
∴W随x的增大而增大，
∵x≤30，
∴当x=30时，W的值最大，W最大=10×30+1600=1900，此时购进B种茶具80−30=50(套)，
购进A种茶具30套、B种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元．
【解析】(1)设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元，根据题意列方程组并求解即可；
(2)计算再次购进A、B两种茶具时，A种茶具和B种茶具每套的价格，根据“A种茶具每套进价×购进A种茶具的套数+B种茶具每套进价×购进B种茶具的套数≤6240”列关于x的一元一次不等式并求解，设获得的利润为W元，根据“获得的利润=每套A种茶具的利润×购进A种茶具的套数+每套B种茶具的利润×购进B种茶具的套数”写出W关于x的关系式，根据该关系式的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时W的值最大，求出其最大值此时(80−x)的值即可．
本题考查一次了函数的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接OD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD．
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD//BE．
∴∠BED+∠ODE=180°．
∵BE⊥DE，
∴∠BED=90°．
∴∠ODE=90°．
∴OD⊥DE．
∵OD是半径，
∴DE与⊙O相切；
(2)解：过D作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH=DE．
∵AD=CD，
∴AD=CD．
∴Rt△ADH≌Rt△CDE(HL)，
∴AH=CE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=10，AD=6，
∴BD= AB2−AD2= 102−62=8．
∵12AB⋅DH=12AD⋅BD，
∴DH=245．
∴DE=245．
∵∠E=∠ADB=90°，∠DCE=∠A，
∴△ABD∽△CDE，
∴ADCE=BDDE，即6CE=8245，
解得CE=185．
【解析】(1)连接OD，由BD为角平分线得到∠OBD=∠CBD，再由OB=OD，利用等边对等角得到∠ODB=∠OBD，从而得出∠ODB=∠CBD，利用内错角相等两直线平行得到OD与BE平行，由DE垂直于BE得到OD垂直于DE，即可得证；
(2)过D作DH⊥AB于H，根据HL得出Rt△ADH≌Rt△CDE，得出AH=CE，再根据勾股定理得出BD= AB2−AD2= 102−62=8，再利用等积法即可得出DE的长，然后证明出△ABD∽△CDE，利用相似三角形的性质求解即可．
此题考查了切线的判定，角平分线的性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)将B(a−4,3)代入y=6x，
得：a=6，
∴B(2,3)，A(6,b)，
将点A(6,b)代入y=6x，
得b=1，
∴A(6,1)，
将点A(6,1)，点B(2,3)代入y=kx+b，
得：k=−12，b=4，
∴y=−12x+4．
(2)设点P(t,−12t+4)，Q(t,6t)，
PQ=−t2+4−6t，
S△OPQ=(−t2+4−6t)×12×t=34，
解得：t1=3，t2=5，
∴P(3,52)或(5,32).
故答案为：P(3,52)或(5,32).
【解析】本题考查反比例函数和一次函数的性质，将点B坐标代入反比例函数表达式求出a的值，从而将点A的坐标求出来，再将点A，点B的坐标代入一次函数表达式，求出k，b的值；第二问设出点P的坐标，将线段PQ表示出来，从而表示出三角形OPQ的面积，从而求得点P的坐标．
本题难度适中，认真审题，掌握一次函数和反比例函数的性质是答题的关键．
25.【答案】解：(1)将原点O(0,0)代入抛物线方程，得0=4a−2，解得a=12，故抛物线表达式为y=y=12(x−2)2−2=y=12x2−2x．
(2)连接AB．
当y=12x2−2x=0时，解得x=0或x=4.故A点坐标为(4,0)．
B点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，将抛物线表达式各系数代入，得B(2,−2)．
根据A、B两点坐标，有AB= (4−2)2+(0+2)2=2 2．
∵S△PBA=S△QAB=3，
∴点P和点Q到AB的距离均相等，设为h，
∵12AB⋅h=3，
∴h=6AB=62 2=3 22．
设AB的直线方程为y=kx+b，将A(4,0)、B(2,−2)代入，得方程组0=4k+b−2=2k+b，
解得k=1，b=−4.故AB的直线方程为y=x−4．
当x=0时，y=−4．
故直线AB与x轴和y轴交点的坐标分别为(4,0)，(0,−4)．
根据点到直线的距离公式：
点P(2,m)到直线AB的距离h=|2−m−4| 12+(−1)2=|m+2| 2=3 22．
当m+2>0时，m+2=3，m=1；
当m+2<0时，−(m+2)=3，m=−5．
∵点P在直线AB的左侧，
∴m=1．
点Q(−1,n)到直线AB的距离h=|−1−n−4| 12+(−1)2=|n+5| 2=3 22．
当n+5>0时，n+5=3，n=−2；
当n+5<0时，−(n+5)=3，n=−8．
∵点Q在直线AB的左侧，
∴n=−2．
(3)Q点坐标为(−1,−2)，连接BQ．
向下平移抛物线k个单位，抛物线方程为y=12x2−2x−k．
当抛物线与线段BQ只有一个公共点B时，k=0；
当抛物线与线段BQ只有一个公共点Q时，则−2=12+2−k，解得k=92．
故当92≥k≥0时，抛物线与线段BQ都只有一个公共点．
【解析】(1)利用待定系数法，将原点坐标代入抛物线求出a即可得到其表达式；
(2)利用三角形面积公式，先求出三角形底边AB长和对应高，再利用点到直线距离公式求出m和n的值．特别要注意的是，点P和Q均在直线AB左侧这一条件限制，要将不符合这一条件的m、n值舍去；
(3)抛物线与线段(注意：不是直线)BQ都只有一个公共点，先写出向下平移抛物线k个单位后的方程，再计算出交点分别为B点和Q点对应的k值即可求解．
本题主要考查二次函数表达式的求法及二次函数的性质、与x轴的交点等，又结合了三角形的面积和点到直线距离，以及抛物线与直线交点等内容，综合性比较强，计算量也很大，需要一定的计算能力和逻辑推理能力．
26.【答案】等边三角形 2 6+ 32⋅m
【解析】解：(1)在Rt△ACB中，点F是AD的中点，
∴CF=AF=DF，
∴∠CAF=∠ACF，
∴∠CFD=∠CAF+∠ACF=2∠CAF，
同理可得EF=AF=DF，∠DFE=2∠EAF，
∴CF=EF，∠CFE=∠CFD+∠EFD=2(∠CAF+∠EAF)=2∠CAB=60°，
∴△CEF是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
(2)△CEF为等边三角形，理由如下：
如图，以F为圆心，AF为半径画弧，交AC于点G，连接FG，DG，作DH⊥BC于H，
∴AF=FG，∠CHD=90°，
∴∠AGF=∠BAC=30°，
∴∠GFD=2∠BAC=60°，∠CGF=150°，
∵点F是AD的中点，
∴DF=AF，
∴FG=DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴∠FDG=60°，
∴∠AGD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形CGDH是矩形，
∴CG=DH= 32BD，
∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，
∴DE= 32BD，∠FDE=150°，
∴∠CGF=∠FDE，CG=DE，
∴△CFG≌△EFD(SAS)，
∴CF=EF，∠CFG=∠DFE，
∴∠DFE+∠BFC=∠CFG+∠BFC=∠GFD=60°，
∴△CEF是等边三角形．
(3)如图，
在Rt△BDE中，∠BDE=30°，
∴BD=2BE=2m，DE= 3BE= 3m，
∵BDBC=45，
∴BC=52m，
∴AB=2BC=5m，
∴AE= AB2−BE2= (5m)2−m2=2 6m，
∴AD=AE−DE=(2 6− 3)m，
∴AF=DF=2 6− 32⋅m，
∴CF=EF=DF+DE=2 6+ 32⋅m．
故答案为：2 6+ 32⋅m．
(1)可证得CF=EF=DF，∠CFE=∠CFD+∠EFD=2(∠CAF+∠EAF)=2∠CAB=60°，即可解答；
(2)以F为圆心，AF为半径画弧，交AC于点G，连接FG，DG，作DH⊥BC于H，FG=DF，∠CGF=∠FDE=150°，CG=DE，从而得出△CFG≌△EFD，从而CF=EF，∠CFG=∠DFE，即可解答；
(3)可得出BD=2BE=2m，DE= 3BE= 3m，BC=52m，AB=2BC=5m，从而求出AE，即可解答．
本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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