2024年山东省济南市济阳区中考数学二模试卷(含解析)
展开1.下列四个几何体中,左视图为圆的是( )
A. B. C. D.
2.据报道,2023年“十一”假期全国国内旅游出游合计826000000人次.数字826000000用科学记数法表示是( )
A. 82.6×107B. 8.26×108C. 0.826×109D. 8.26×109
3.观察下列图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. a2+a2=2a4B. 3a2−2a3=6a6C. (−2ab3)2=4a2b6D. a6÷a2=a3
5.已知有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示,那么( )
A. a>−1B. a>−aC. a2>4D. |a|>a
6.如图,将一个等腰直角三角形放在两条平行线上,若∠1=50°,则∠2的度数为( )
A. 75°
B. 80°
C. 85°
D. 90°
7.“济阳风景独好”.小明、小亮准备采用抽签的方式,各自随机选取澄波湖公园、黄河公园、安澜湖公园和济北公园中的一个景点游玩,若规定其中一人抽完签后,放回,下一个人再抽,小明、小亮抽到同一景点的概率为( )
A. 13B. 14C. 18D. 16
8.函数y=kx和y=−kx−2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.如图,在△ABC中,∠C=87°,分别以点A,B为圆心,以大于12AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M,N,作直线MN交AC于点D;以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点E,F.再分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧,两弧交于点P.若此时射线BP恰好经过点D,则∠A的大小是( )
A. 31°B. 32°C. 33°D. 36°
10.已知二次函数y=x2−2cx−c的图象经过点A(a,c),B(b,c),且满足0A. n=3m−4B. m=3n−4C. n=−m2+mD. m=−n2+n
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分。
11.因式分解:m2−16= ______.
12.若关于x的一元二次方程x2+mx−6=0有一个根为x=2,则该方程的另一个根为x= ______.
13.化简:x−3x÷(1−9x2)= ______.
14.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,估计盒子中小球的个数n=______.
15.用充电器给某手机充电时,其屏幕画面显示目前电量为20%(如图1),经测试,在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时,其电量y(单位:%)与充电时间x(单位:h)的函数图象分别为图2中的线段AB,AC.先用普通充电器充电ah后,再改为快速充电器充满电,若一共用时4h,则a的值为______.
16.如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=10,P是线段BC上一动点,连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE.连接DE,直线DE交BC于F,若△PEF的面积为3.则线段BP的长度为______.
三、解答题:本题共10小题,共86分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算:(π−1)0−2sin60°+ 3−|−3|;
18.(本小题6分)
解不等式组x+5≥4(x−1)4x−53>x−2,并写出它的整数解.
19.(本小题6分)
如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与边BC,AD分别相交于点E和点F.求证:OE=OF.
20.(本小题8分)
如图是某地下商业街的入口的玻璃顶,它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的,它的示意图如下,经过测量,支架的立柱AB与地面AM垂直,AB=3.24米,点A、C、M在同一水平线上,斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB=33°,支撑杆DE⊥BC,垂足为E,该支架的边BD与BC的夹角∠DBE=66°,又测得CE=2.8米.(参考数据:sin33°≈0.54,sin66°≈0.91,cs33°≈0.84,cs66°≈0.40,tan33°≈0.65,tan66°≈2.25)
(1)求该支架的边BC和BD的长;
(2)求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离.(结果精确到1米)
21.(本小题8分)
京剧,是中国五大戏曲剧种之一,被视为中国国粹,分布地以北京为中心,遍及全中国.京剧走遍世界各地,成为介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介,在2010年11月16日,京剧被列入“人类非物质文化遗产代表作名录”.某校为了解七、八年级学生对京剧文化的了解程度,组织了一次京剧文化知识测试,七、八年级各抽取10名学生参加比赛,现对测试成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩用x(分)表示).共分成四个等级(A:80≤x<85,B:85≤x<90,C:90≤x<95,D:95≤x≤100).下面给出了部分信息:
七年级参赛的学生C等级的成绩为:92、92、93、94;
八年级参赛的学生D等级的成绩为:95、95、95、97、100.
七、八年级抽取的学生测试成绩统计表:
请根据相关信息,回答以下问题:
(1)填空:a= ______,b= ______;
(2)七年级参赛学生成绩扇形图中D等级的圆心角是______度;
(3)补全八年级测试成绩条形统计图:
(4)在这次测试中,七年级学生小明与八年级学生小亮的成绩都是93分,于是小明说:“我在七年级参赛小队的名次高于小亮在八年级参赛小队的名次.”你同意小明的说法吗?并说明理由.
22.(本小题8分)
如图,AB为⊙O的直径,D、E是⊙O上的两点,过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C,连接AD,BE,BD.
(1)求证:∠BDC=∠BAD;
(2)若tan∠BED=23,AC=18,求⊙O的半径.
23.(本小题10分)
某商场购进甜橙、脐橙两个品种,已知1箱甜橙价格比1箱脐橙少20元,300元购买甜橙的箱数与400元购买脐橙的箱数相同.
(1)甜橙和脐橙每箱分别是多少元?
(2)商场预计共购买两种橙子150箱,且购买甜橙的数量不少于脐橙的2倍,请你求出购买总费用的最大值.
24.(本小题10分)
综合与实践:
《函数》复习课后,为加深对函数的认识,张老师引导同学们对函数y=x−1x+1的图象与性质进行探究.过程如下,请完成探究过程:
(1)初步感知
函数y=x−1x+1的自变量取值范围是______;
(2)作出图象
①列表:
填空:表中m= ______,n= ______;
②描点,连线:
在平面直角坐标系xOy中,描出以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象;
(3)研究性质
小刚观察图象,发现这个图象为双曲线,进一步研究中,小刚将函数y=x−1x+1转化为y=1−2x+1,他判断该函数图象就是反比例函数y=−2x通过某种平移转化而来,反比例函数y=−2x的图象是中心对称图形,对称中心为(0,0),则函数y=x−1x+1的图象的对称中心为______;反比例函数y=−2x的图象是轴对称图形,对称轴为直线y=x和y=−x,则函数y=x−1x+1的图象的对称轴为直线______;
(4)拓展应用
①若一次函数y=−12x+2的图象与函数y=x−1x+1的图象交于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为______;
②若直线y=kx+1与函数y=x−1x+1的图象有且只有一个交点,则k的值为______.
25.(本小题12分)
如图1,P是正方形ABCD边BC上一动点,线段AE与AD关于直线AP对称,连接EB并延长交直线AP与点F.连接CF,连接AC.
(1)ACAB的值为______;
(2)①在P点从点B运动到点C的过程中,∠PFE是否为定值?若是请求出此定值,若不是,请说明理由;
②求BECF的值;
(3)如图2,若H是AF的中点,正方形ABCD边长为a,若点P从点B运动到点C,直接写出点H的运动路径长.
26.(本小题12分)
如图,已知抛物线C1:y=−x2+bx+c与y轴相交于点C(0,1),对称轴为直线x=2.坐标原点为O点,抛物线C1的对称轴交x轴于A点.
(1)抛物线的关系表达式;
(2)若点P为抛物线上的一动点,连接PO交线段AC于点B,当PB=2BO时,求点P的坐标;
(3)将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2,C2与C1相交于点E,点F为抛物线C1对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点C,E,F,H为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点H的坐标:若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查立体图形的左视图,关键是掌握左视图所看的位置.四个几何体的左视图:圆柱是矩形,圆台是等腰梯形,圆锥是等腰三角形,球是圆,由此可确定答案.
【解答】
解:因为圆柱的左视图是矩形,圆台的左视图是等腰梯形,圆锥的左视图是等腰三角形,球的左视图是圆,
故选D.
2.【答案】B
【解析】解:数字826000000科学记数法可表示为8.26×108.
故选:B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.【答案】B
【解析】解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B.既是轴对称图形又是中心对称图形,故选项符合题意;
C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选:B.
根据轴对称图形和中心对称图形的概念,对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
4.【答案】C
【解析】解:A、∵a2+a2=2a2,∴本选项错误.
B、∵3a2和2a3不是同类项,∴本选项错误.
C、∵(−2ab3)2=4a2b6,∴本选项正确.
D、∵a6÷a2=a4,∴本选项错误.
故选:C.
利用合并同类项法则,单项式乘单项式,积的乘方性质同底数幂乘除法判断即可.
本题主要考查合并同类项,单项式乘单项式,积的乘方运算与幂的乘方运算,同底数幂的运算,掌握运算法则是解决此题的关键.
5.【答案】D
【解析】解:由数轴可知,−2由−2由−2∵−2∴1<|a|<2,
∴|a|>a,故选项D符合题意.
故选:D.
由题意可得−2此题主要考查了有理数大小比较,数轴与绝对值,正确得出a的取值范围是解题关键.
6.【答案】C
【解析】解:如图,∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=45°,
∵∠1=50°,
∴∠4=85°,
∵a//b,
∴∠2=∠4=85°.
故选:C.
先根据等腰直角三角形的性质得出∠A=45°,进而根据三角形的内角和求出∠4,再利用平行线的性质求出∠2即可.
本题考查的是平行线的性质,解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用,平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
7.【答案】B
【解析】解:用A,B,C,D分别表示澄波湖公园、黄河公园、安澜湖公园和济北公园,
画树状图如下:
由树状图可知,共16种等可能的结果,其中小明、小亮抽到同一景点的结果有4种,
∴小明、小亮抽到同一景点的概率为416=14.
故选:B.
画出树状图展示所有16种等可能的结果数,再找出小明、小亮抽到同一景点的结果数,然后根据概率公式求解.
本题考查树状图法求概图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件,解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.
8.【答案】A
【解析】解:对于y=−kx−2(k≠0),当x=0时,y=−2,观察图象可排除B和D;
∵反比例函数y=kx和一次函数y=−kx−2(k≠0)
∴当k>0时,函数y=kx在第一、三象限,一次函数y=−kx−2经过二、三、四象限;
当k<0时,函数y=kx在第二、四象限,一次函数y=−kx−2经过一、三、四象限,
观察A、C选项,选项A符合题意,
故选:A.
根据题目中的函数解析式,利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确,从而可以解答本题.
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象.解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.
9.【答案】A
【解析】解:由作图可得,MN是线段AB的垂直平分线,BD是∠ABC的平分线,
∴AD=BD,∠ABD=∠CBD=12∠ABC,
∴∠A=∠ABD,
∴∠A=∠ABD=∠CBD,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,且∠C=87°,
∴∠A+2∠ABD=180°−∠C,即3∠A=180°−87°=93°,
∴∠A=31°.
故选:A.
由作图可得MN是线段AB的垂直平分线,BD是∠ABC的平分线,根据它们的性质可得∠A=∠ABD=∠CBD,再根据三角形内角和定理即可得解.
本题考查了作图−复杂作图,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法.
10.【答案】C
【解析】解:∵二次函数y=x2−2cx−c的图象与x轴交于A(a,c),B(b,c)两点,
∴图象开口向上,对称轴为直线x=a+b2,
∵对称轴为直线x=−−2c2×1=c,
∴a+b=2c
∵0∴0<2c<2,
∴0
且为n=c2−2c×c−c=−c2−c,
函数的最大值是x=−1时所对应的函数值,
∴m=1+2c−c=1+c,
∴c=m−1,代入n=−c2−c,得n=−m2+m.
故选:C.
判断对称轴在0,1之间、确定函数的最大值是x=c时所对应的函数值,函数的最小值是x=−1时所对应的函数值是解题的关键.由二次函数y=x2−2cx−c的图象经过点A(a,c),B(b,c)两点,得出对称轴为直线x=a+b2,即可得出对称轴在0
11.【答案】(m+4)(m−4)
【解析】解:根据平方差公式:m2−16=(m+4)(m−4),
故答案为:(m+4)(m−4).
根据平方差公式分解因式即可.
本题主要考查了运用公式法因式分解,熟练掌握平方差公式是解题的关键.
12.【答案】−3
【解析】解:设关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的另一个根为t,
则2t=−6,
解得t=−3,
故答案为:−3.
根据两个之积等于−6,即可求得该方程的另一个根.
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,解答本题的关键是明确两个之积等于常数项除以二次项系数.
13.【答案】xx+3
【解析】解:x−3x÷(1−9x2)
=x−3x÷x2−9x2
=x−3x×x2(x−3)(x+3)
=xx+3.
故答案为:xx+3.
根据相应的运算法则计算即可.
本题考查了分式的混合运算,平方差公式,熟练掌握相关运算法则是关键.
14.【答案】30
【解析】解:根据题意得9n=30%,
解得n=30,
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球.
故答案为:30.
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%,然后根据概率公式计算n的值.
本题考查了利用频率估计概率:大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相等时,一般通过统计频率来估计概率.
15.【答案】3
【解析】解:根据题意得:
100−206a+100−202(4−a)+20=100,
解得a=3.
故答案为:3.
根据一共用时4h,列方程求出a的值.
本题考查一次函数的实际应用,解答本题的关键是找准等量关系,列出一次函数解析式.
16.【答案】3或2
【解析】解:如图,过点E作EH⊥BC于H,设BP=x,
∵AP=PE,∠APE=90°=∠ABP=∠PHE,∠BPA+∠EPH=90°,∠BAP+∠BPA=90°,
∴∠BAP=∠EPH,
∴△ABP≌△PHE(ASA),
∴EH=BP=x,PH=AB=5,
∴CH=BC−BP−PH=10−x−5=5−x,
又∵EH⊥BC,∠C=90°,
∴EH//CD,
∴△FEH∽△FDC,
∴EHDC=FHFC,即x5=FHFH+5−x,
解得:FH=x,
∴PF=5−x,
∴12PF⋅EH=12x(5−x)=−12x2+52x=3,
解得x1=3,x2=2.
故答案为:3或2.
过点E作EH⊥BC于H,设BP=x,先证△ABP≌△PHE,则EH=BP=x,PH=AB=5,再根据△FEH∽△FDC,得到EHDC=FHFC,求出FH长,然后利用12PF⋅EH=3解题即可.
本题考查旋转的性质、矩形的性质,全等三角形的判定和性质,以及相似三角形的判定和性质,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.
17.【答案】解:(π−1)0−2sin60°+ 3−|−3|
=1−2× 32+ 3−3
=1− 3+ 3−3
=−2.
【解析】先计算零次幂、特殊角三角函数值、绝对值,再进行加减运算即可.
本题考查实数的混合运算,掌握实数的混合运算法则是关键.
18.【答案】解:x+5≥4(x−1)①4x−53>x−2②
由①,得x≤3,
由②,得x>−1,
∴不等式组的解集为−1
【解析】分别求出每个不等式的解集再取它们解集的公共部分得到不等式组的解集,再求出它的整数解即可.
本题主要考查解一元一次不等式组,熟练掌握解不等式的方法是关键.
19.【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD//BC,
∴∠OAF=∠OCE,
在△OAF和△OCE中,
∠OAF=∠OCEOA=OC∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴OF=OE.
【解析】由四边形ABCD是平行四边形,可得OA=OC,AD//BC,继而可证得△AOE≌△COF(ASA),则可证得结论.
此题考查平行四边形的性质,关键是根据平行四边形的性质得出OA=OC,AD//BC解答.
20.【答案】解:(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=33°,AB=3.24米,
∴BC=ABsin∠ACB≈(米),
∵CE=2.8米,
∴BE=BC−CE=3.2米,
∵DE⊥BC,
∴∠DEB=90°,
在Rt△DEB中,∠DBE=66°,∠DEB=90°,BE=3.2米,
∴BD=BEcs∠DBE≈(米),
∴该支架的边BC的长为6米,BD的长为8米;
(2)如图,过点D作DH⊥AM于H,过点B作BG⊥DH于G,则四边形ABGH是矩形,
∴GH=AB=3.24米,BG//AH,
∴∠GBC=∠ACB=33°,
∴∠DBG=∠DBE−∠GBC=33°,
在Rt△BDG中,DG=BD⋅sin∠DBG≈8×0.54=4.32(米),
∴DH=DG+GH≈3.24+4.32=7.56≈8(米),
∴支架的边BD的顶端D到地面AM的距离为8米.
【解析】(1)解直角三角形ABC可求出BC,进而得出CE的长,再解直角三角形DEB即可得到BD的长;
(2)过点D作DH⊥AM于H,过点B作BG⊥DH于G,则四边形ABGH是矩形,得GH=AB=3.24米,BG//AH,进而得∠GBC=∠ACB=33°,即得∠DBG=33°,解直角三角形BDG得到DG的长,即可求出BD的顶端D到地面AM的距离;
本题考查了解直角三角形的应用,正确作出辅助线是解题的关键.
21.【答案】92.5 95 108°
【解析】解:∴D组人数为10×30%=3,C组人数为10×40%=4,
∴10人中第5、6人的成绩分别为92,93,故中位数a=92+932=92.5,
∵八年级中成绩出现次数最多的是95,故b=95;
故答案为:92.5,95;
(2)七年级参赛学生成绩扇形图中D等级的圆心角度数是360°×30%=108°
故答案为:108°.
(3)A组:10−1−2−5=2人,
(4)∵七年级的中位数为92.5分,小明的成绩是93分,
∴他在七年级班中是前5名,
而八年级的中位数是94分,小亮的成绩是93分,
∴他在八年级是后5名,
∴同意小明的说法.
(1)利用七年级的百分比求出D组与C组的人数,即可得到中位数a的值;根据次数出现最多的数是众数得到b的值;
(2)求得D组的占比,乘以360°即可求解;
(3)求出A组人数即可补全统计图;
(4)利用中位数分析名次.
此题考查了条形统计图与扇形,求中位数,众数,利用中位数做分析,熟练掌握中位数和众数的计算方法是解答本题的关键.
22.【答案】(1)证明:连接OD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠ABD=90°,
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB,
∴∠BAD+∠ODB=90°
∴CD是⊙O的切线;
∴∠ODC=90°
∴∠BDC+∠ODB=90°,
∴∠BAD=∠BDC;
(2)解:∵∠ADB=90°,tan∠BAD=23,
∴BDAD=23,
∵∠DCB=∠ACD,∠BDC=∠BAD,
∴△BDC∽△DAC,
∴CDAC=BCCD=BDDA=23,
∵AC=18
∴CDAC=23
∴CD=12,
∴BCCD=23
∴BC=8
∴AB=AC−BC=18−8=10
∴⊙O的半径为5.
【解析】(1)连接OD,由圆周角定理得∠A+∠ABD=90°,由切线的性质可得∠BDC+∠ODB=90°,进而可证∠BAD=∠BDC;
(2)由tan∠BAD=23得BDAD=23,证明△BDC∽△DAC得CDAC=BCCD=BDDA=23,求出AC=18,BC=8,即可求出⊙O的半径为5.
本题考查了圆周角定理,切线的性质,解直角三角形,相似三角形的判定与性质,熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
23.【答案】解:(1)(1)设甜橙每箱x元,则脐橙每箱(x+20)元,
300x=400x+20,
解得,x=60,
经检验,x=60是原分式方程的解,且符合题意,
∴x+20=80,
答:甜橙每箱60元,脐橙每箱80元;
(2)设购买甜橙a箱,则购买脐橙(150−a)箱,所需费用为w元,
则w=60a+80(150−a)=−20a+12000,
∵a≥2(150−a),
∴a≥100,
∵−20<0,
∴w随a的增大而减小,
∴当a=100时,w取得最大值,此时w=−20×100+12000=10000,
答:购买总费用的最大值为10000元.
【解析】(1)根据甜橙与脐橙的箱数相同建立分式方程,解分式方程即可.
(2)设购买甜橙a箱,则购买脐橙(150−a)箱,然后写出购买总费用的一次函数表达式,再根据函数的增减性与自变量a的取值范围即可求得总费用的最大值.
本题考查了分式方程的应用、求一次函数的最大值,解题的关键是审清题意,正确列出方程或一次函数的表达式.
24.【答案】x≠−1 5 −12 (−1,1) y=−x,y=x+2 5 8
【解析】解:(1)∵x+1≠0,
∴x≠−1,
故函数y=x−1x+1的自变量取值范围是是x≠−1.
故答案为:x≠−1;
(2)①x=−32时,y=−32−1−32+1=5,
∴m=5.
当y=−3时,则−3=x−1x+1,解得x=−12,
∴n=−12,
故答案为:5,−12;
②函数图象如图所示:
(3)该函数图象就是反比例函数y=−2x通过某种平移转化而来,反比例函数y=−2x是中心对称图形,对称中心为(0,0),则函数y=x−1x+1的对称中心为 (−1,1);函数y=x−1x+1的图象的对称轴为直线y=−x,y=x+2
故答案为:(−1,1);y=−x,y=x+2
(4)①如图,
联立y=−12x+2y=x−1x+1,
解得,x1=−2y1=3,x2=3y2=12
∴A(−2,3),B(3,12),
S△AOB=12(12+3)×5−12×2×3−12×3×12=5;
故答案为:5;
②联立方程得kx+1=x−1x+1,
整理得,kx2+kx+2=0,
∵直线y=kx+1与函数y=x−1x+1的图象有且只有一个交点,
∴Δ=k2−4k×2=k2−8k=0,
解得,k=8或k=0(不符合题意,舍去)
∴k=8,
故答案为:8.
(1)根据分母不能为0,即可解决问题;
(2)①求出x=−32的函数值,求得y=−3时的x的值即可;②利用描点法画出函数图象即可;
(3)根据平移的性质,可得结论;
(4)①联立方程组求出点A,B的坐标,运用分割法可求出△AOB的面积;②联立方程,得Δ=0求解即可.
本题考查了反比例函数的图象与性质,反比例函数图象上点的坐标特征,坐标与图形变化−平移,正确记忆修改知识点是解题关键.
25.【答案】 2
【解析】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=90°,
∴AC= AB2+BC2= 2AB2= 2AB,
∴ACAB= 2ABAB= 2,
故答案为: 2;
(2)①∠PFE是定值,∠PFE=45°,理由如下:
设∠FAB=α,则∠DAF=90°−α,
由条件可知,∠FAE=90°−α,
∴∠BAE=∠EAF−∠FAB=90°−α−α=90°−2α,
∵AE=AD,AD=AB,
∴AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB=(180°−∠BAE)÷2=(180°−90°+2α)÷2=45°+α,
∴∠AFE=∠ABE−∠FAB=45°+α−α=45°;
②过点A作AM⊥EF于点M,如图1,
∵AB=AE,
∴BE=2BM,
∵∠PFE=45°,
∴AF:AM= 2:1,
∵AC:AB= 2:1,
∴AF:AM=AC:AB,
∵∠CAF+∠BAF=45°,∠BAM+∠BAF=45°,
∴∠CAF=∠BAM,
∴△CAF∽△BAM,
∴BMFC=ABAC=1 2,
∴BEFC=2BMFC=2 2= 2;
(3)连接BD交AC于点O,连接OH,如图2,
∴点O是AC的中点,
∵H是AF的中点,
∴OH=12CF,
∴点H以O为圆心,12CF为半径的圆上,
当点P与C重合时,H与AC中点重合,当点P与B重合时,H与BA中点重合,
点H运动的路径是以12AC= 22a为半径,圆心角为45°的弧长,
路径长为:45π× 22a180= 28πa.
(1)根据正方形的性质得到AB=BC=CD=AD,∠ABC=90°,利用勾股定理得到AC= AB2+BC2= 2AB2= 2AB,即可得到答案;
(2)设∠FAB=α,则∠DAF=90°−α,证明AE=AB,则∠ABE=∠AEB=45°+α,得到∠AFE=∠ABE−∠FAB=45°+α−α=45°;
②过点A作AM⊥EF于点M,证明△CAF∽△BAM,得到BMFC=ABAC=1 2,即可得到答案;
(3)判断出点H运动的路径是以12AC= 22a为半径,圆心角为45°的弧长,利用弧长公式即可求解.
本题考查了相似三角形的判定与性质,正方形的性质,弧长公式等知识,解题关键是恰当的作辅助线,构造相似三角形,通过线段成比例解决问题.
26.【答案】解】(1)已知抛物线C1:y=−x2+bx+c与y轴相交于点C(0,1),对称轴为直线x=2.将C(0,1),代入抛物线解析式得:1=c,
∴c=1;
∴−b2×(−1)=2,
∴b=4,
∴抛物线的解析式为:y=−x2+4x+1;
(2)抛物线C1的对称轴交x轴于A点,且抛物线的对称轴为直线x=2,
∴点A的坐标为(2,0),
设直线AC的解析式为y=kx+b1,把A(2,0),C(0,1)代入得:
2k+b1=0b1=1,
解得k=−12b1=1,
∴直线AC的解析式为y=−12x+1,
∵PB=2BO,PO=BO+PB,
∴PO=3BO,
设P(m,−m2+4m+1),过点B作BE⊥x轴于点E,过点P作PF⊥x轴于点F,则OF=m,PF=m2+4m+1,
∴BE//PF,
∴△OBE∽△OPF,
∴OEOF=BEPF=BOPO=13,
∴OE=13OF=13m,
∴BE=−12×13m+1=−16m+1,
∴−16m+1−m2+4m+1=13,
解得m=4,m=12,
当m=4时,−m2+4m+1=1;
当m=12时,−m2+4m+1=114;
∴点P的坐标为(4,1),(12,114);
(3)在平面直角坐标系中存在点H,使以点C,E,F,H为顶点的四边形为菱形;理由如下:
∵y=−x2+4x+1=−(x−2)2+5,
将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2,C2与C1相交于点E,点F为抛物线C1对称轴上的一点,
∴向左平移两个单位后抛物线的解析式为y=−(x−2+2)2+5=−x2+5,
联立y=−x2+5y=−x2+4x+1,
解得x=1y=4,
∴E(1,4),
∵抛物线y=−x2+4x+1的对称轴为直线x=2,
∴可设F(2,t),H(a,b),
①CF,EF为邻边,CE,FP为对角线时;
CF2=(2−0)2+(t−1)2=t2−2t+5;EF2=(2−1)2+(t−4)2=t2−8t+17,
又C F2=E F2,
∴t2−2t+5=t−8t+17,
解得t=2,
∴F(2,2),
又CE的中点坐标为(1+02,1+42),即(12,52),
∴a+22=12,b+22=52,
∴a=−1,b=3,
∴H(−1,3);
②CE,CF为邻边,EF,CP为对角线时,
EC2=(1−0)2+(4−1)2=10,CF2=(2−0)2+(t−1)2=t2−2t+5,
又CE2=CF2,
∴t2−2t+5=10,
解得t=1± 6,
当t=1+ 6,时,F(2,1+ 6),
EF的中点坐标为(32,5+ 62),
∴a2=32,b+12=5+ 62,
∴a=3,b=4+ 6,
∴H(3,4+ 6);
当t=1− 6,时,F(2,1− 6),
EF的中点坐标为(32,5− 62),
∴a2=32,b+12=5− 62,
∴a=3,b=4− 6,
∴H(3,4− 6);
③CE,EF为邻边,CF,EP为对角线,
EC2=(1−0)2+(4−1)2=10,EF2=(2−1)2+(t−4)2=t2−8t+17,
又EC2=EF2,
∴t2−8t+17=10,
解得t=1,t=7(C、E、F三点共线,不符合题意舍去),
∵F(2,1),
∴CF的中点坐标为(1,1),
∴a+12=1,b+42=1,
解得a=1,b=−2,
∴H(1,−2),
综上,点H 的坐标为(−1,3)或(1,−2)或(3,4+ 6)或(3,4− 6).
【解析】(1)由对称轴方程可求出b=4,由点C(0,1)代入可求出c=1,从而可得抛物线的解析式为y=−x2+4x+1;
(2)运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=−12x+1,设P(m,−m2+4m+1),过点B作BE⊥x轴于点E,过点P作PF⊥x轴于点F,得OF=m,证明△OBE∽△OPF,可求出OE=13m,BE=−16m+1,再列式得−16m+1−m2+4m+1=13,求出m=4,m=12,从而可得结论;
(3)求出点E坐标,设H(a,b),F(2,t)分CF,EF为邻边,CE,FP为对角线;CE,CF为邻边,EF,CP为对角线;CE,EF为邻边,CF,EP为对角线三种情况,以邻边相等求出t,根据中点坐标公式求出a,b的值即可解决问题.
本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力,同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力.班级
平均分
中位数
众数
七年级
92
a
92
八年级
92
94
b
x
…
−6
−5
−4
−3
−2
−53
−32
−75
n
−13
0
1
2
3
4
…
y
…
75
32
53
2
3
4
m
6
−3
−2
−1
0
13
12
35
…
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