辽宁省辽阳市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（学生版+教师版 ）

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满分120分，时间120分钟。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考！下列表示计算机视觉交互应用的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形，据此进行逐一判断即可．
【详解】A. 沿此直线对折，两边能完全重合，是轴对称图形，故此项正确；
选项B、C、 D均找不到一条直线对折，使得直线两边的图形能完全重合，所以都不是轴对称图形，故此三项均错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义是解题的关键．
2. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000065=6.5×10-7．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如图，下列各组条件中，能一定得到a//b的是（ ）
A. ∠1+∠2=180ºB. ∠1=∠3C. ∠2+∠4=180ºD. ∠1=∠4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法结合图形特征依次分析各选项即可作出判断．
【详解】A．∠1+∠2=180º，一定能得到a//b，本选项符合题意，
B．∠1=∠3，能得到c//d，无法证得a//b，故不符合题意，
C．∠2+∠4=180º，能得到c//d，无法证得a//b，故不符合题意，
D．∠1=∠4无法证得a//b，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握．
4. 在ABC中， A： B： C=2：3：5，则ABC是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，然后根据三角形的内角和等于180°列式求出三角形各内角的度数作出判断即；依据是三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形．
【详解】设∠A、∠B、∠C分别为2k、3k、5k，
则2k+3k+5k=180°
解得 k=18°
∴ ∠A=36° ∠B=54° ∠C=90°
所以这个三角形是直角三角形．
故答案为C.
【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于列出方程解答.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
6. 下列实际情境中的变量关系可以用下图近似地刻画的是（ ）

A. 一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）B. 一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）
C. 足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）D. 匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的图象可以得到因变量随着自变量的增大而增大，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：因变量随着自变量的增大而增大，
A、一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系），水温随着时间的增加而下降，不符合题意；
B、一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系），高度随着时间的增加而增大，符合题意；
C、足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系），高度随着时间的增加先增大，后减小，不符合题意；
D、匀速行驶的汽车（速度与时间的关系），速度不随着时间的变化而变化．
故选B．
【点睛】本题考查利用图象表示函数关系．解题的关键是从图象中有效的获取信息．
7. 利用乘法公式计算，下列方法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了应用完全平方公式进行计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
8. 下列结论：①互余且相等的两个角都是；②同角的余角相等；③若，则，，互为补角；④钝角没有补角；⑤锐角的补角比其余角大．其中正确的个数为（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了余角、补角的知识，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键．如果两个锐角的和是一个直角（）,那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和是一个平角（），那么这两个角叫互为补角．根据补角和余角的定义，逐一分别判定，即可获得答案．
【详解】解：设互余且相等的两个角均为，则有，
解得，即互余且相等的两个角都是，
故结论①正确；
同角的余角相等，结论正确，故②正确；
根据补角的定义：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，
∴“若，则，，互为补角”不成立，故结论③错误；
∵钝角为大于，小于的角，而和等于的两个角互为补角，
∴钝角有补角，故结论④错误；
设某一锐角为，则其补角为，其余角为，
∵，
∴该锐角的补角比其余角大，故结论⑤正确．
综上所述，结论正确的是①②⑤，共3个．
故选：B．
9. 如图，已知．小明按如下步骤作图：
（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．
根据上述作图过程，下列结论错误的是（ ）
A. B. 线段垂直平分线段
C. 点和点关于射线对称D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、垂直平分线、轴对称、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的作法是解题关键．根据作图可知，即可判断选项A；由作图可知，，易知垂直平分线线段，即可判断选项B；结合垂直平分线的性质可知点和点关于射线对称，即可判断选项C；证明，易得，即可判断选项D．
【详解】解：由题目中描述可知，，故选项A正确，不符合题意；
如下图，连接，，
由作图可知，，，
∴点、在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线线段，故选项B错误，符合题意；
∵垂直平分线线段，
∴点和点关于射线对称，故选项C正确，不符合题意；
作图可知，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，故选项D正确，不符合题意．
故选：B．
10. 如图，两个正方形边长分别为a，b，如果，，则阴影部分的面积为（ ）

A. 20B. 21C. 22D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】运用大正方形面积减去空白图形的面积，算出影阴面积，再转换成，的形式，计算出结果．
【详解】解：阴影面积大正方形大三角形面积小三角形面积
．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，关键对代数式进行变形，转换成或的形式．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】17
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂运算和负整数指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据零指数幂运算法则和负整数指数幂运算法则进行运算，然后求和即可．
【详解】解：．
故答案为：17．
12. 如图，，分别是的高和角平分线，，，则的度数为______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形内角和定理可得的值，结合角平分线的性质可得，再根据是的高解得的值，然后根据求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
又∵是的高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
13. 一直以来，人们力图探寻地球内部的奥秘，科学家做了大量的模拟实验后发现：地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可近似的表示为．当岩层的温度达到时，根据上述关系式，求该岩层所处的深度为 _______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，根据一级的函数解析式解答．将代入中，即可得到x的值．
【详解】解：当时，，
解得；
故答案为：20．
14. 如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为______．
【答案】3或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键．
分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可．
【详解】解：设点运动的时间为，
由题意知：，，则，
当时，，即，
解得；
当时，，，
即，，
解得，
则，
解得，
综上，的值为3或．
故答案：3或．
15. 如图，线段及过点的直线．如果线段与线段关于直线对称，连接交直线于点，以为边作等边，使得点在的下方，作射线交直线于点．若，则的度数为______（用含的代数式表示）．

【答案】
【解析】
【分析】根据轴对称图形的性质可知，再利用等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质可知，最后利用三角形的内角和及补角的定义即可解答．
【详解】解：如图，
∵线段与线段关于直线对称，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
故答案为．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的内角和，补角的定义，掌握轴对称的性质及等边三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）首先根据单项式和单项式运算法则、积的乘方运算法则和单项式除以单项式运算法则进行运算，然后合并同类项即可；
（2）首先根据完全平方公式、多项式乘以多项式运算法则进行计算，然后相加减即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 已知：如图，在中，D为的中点，E是上一点，．
（1）过点D作交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可；
（2）先证明，得到，再由平行线的性质得到，由线段中点的定义得到，则可证明，即可证明．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴．
18. 甲水果店进行葡萄优惠促销活动，葡萄的标价为15元/千克，如果一次购买3千克以上的葡萄，超过3千克的部分按标价6折售卖．
（1）购买2千克葡萄需付款______元，购买4千克葡萄需付款______元；
（2）求付款金额y（元）与购买葡萄的重量x（千克）的关系式；
（3）隔壁的乙水果店也在进行葡萄优惠促销活动，同样品质葡萄的标价也为15元/千克，且全部按标价的8折售卖．张阿姨和李阿姨分别在甲、乙两个水果店购买，结果付款金额与购买葡萄的重量都一样，问她们各自花了多少钱？买了多少千克葡萄？
【答案】（1）30，54
（2）当时，；当时，
（3）她们各自花了72元，购买了6千克葡萄
【解析】
【分析】本题考查列函数解析式，一元一次方程解决实际问题．
（1）根据题意直接计算即可；
（2）分和分别列出关系式；
（3）购买了a千克，根据“结果付款金额与购买葡萄的重量都一样”，列出方程，求解即可．
【小问1详解】
解：购买2千克葡萄时，付款（元），
购买4千克葡萄时，付款（元）；
故答案为：30，54
【小问2详解】
解：当时，，
当时，；
【小问3详解】
解：设购买了a千克，
当时，甲水果店需付款元，乙水果店需付款元，
显然，不合题意，
∴，
∴由题意可得，，
解得：，
∴（元）．
答：她们各自花了72元，购买了6千克葡萄．
19. 如图，数学实践小组想要测量某公园人工湖两端，之间的距离，由于条件限制无法直接测得．请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．
（1）画出测量示意图；
（2）写出测量的步骤；（测量数据用字母表示）
（3）计算，之间的距离．（写出求解或推理过程，结果用字母表示）
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）设，，之间的距离为
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是构造两个全等的三角形．
（1）由于无法直接测得，故间接构造两个涉及边的全等三角形，如解析所示；
（2）在湖岸上找可以直接到达，的一点，构造，，即可；
（3）利用证明，由全等三角形的性质可得，则的长度就是的长度．
【小问1详解】
解：测量示意图如下图所示；
【小问2详解】
在湖岸上找可以直接到达，的一点，连接并延长到使得，连接并延长到点使得，连接，则，测量的长度，即的长度为；
【小问3详解】
设，
由测量方案可知，，
在和中，
，
∴，
∴．
20. 如图1，，，三地依次在同一条直线上，甲、乙两车同时分别从，两地出发，匀速驶向地，甲、乙两车与地的距离（千米）与行驶时间（时）之间的关系如图2所示．
（1）在图中表示的自变量是______，因变量是______；
（2）甲车的速度为______千米/时，乙车的速度为______千米/时；
（3）图中点表示的意义是______；
（4）两车均在行驶过程中时，甲、乙两车距离为30千米的时间为______时．
【答案】（1）行驶时间，甲、乙两车与地的距离
（2）80，40 （3）行驶1小时，甲、乙两车相遇，此时距离地40千米
（4）或
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图像、一元一次方程的应用等知识，解题关键是理解题意，通过函数图像获得所需信息．
（1）根据题意，即可获得答案；
（2）根据“速度路程时间”，即可求得答案；
（3）设两车相遇时的行驶时间为时，根据题意列出一元一次方程，求得的值，并计算此时两车距离地的距离，即可获得图中点表示的意义；
（4）设两车均在行驶过程中时，行驶时间为时，分相遇前两车相距30千米和相遇后两车相距30千米，分别列方程并求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，在图中表示的自变量是行驶时间，因变量是甲、乙两车与地的距离．
故答案为：行驶时间，甲、乙两车与地的距离；
【小问2详解】
甲车的速度为千米/时，
乙车的速度为千米/时．
故答案为：80，40；
【小问3详解】
图中点时，两车相遇，
设此时的行驶时间为时，
则有，解得时，
点时，两车距离地千米，
∴图中点表示的意义是：行驶1小时，甲、乙两车相遇，此时距离地40千米．
故答案为：行驶1小时，甲、乙两车相遇，此时距离地40千米；
【小问4详解】
设两车均在行驶过程中时，行驶时间为时，
若在相遇前两车相距30千米，
则有，解得时；
若在相遇后两车相距30千米，
则有，解得时．
∴两车均在行驶过程中时，甲、乙两车距离为30千米的时间为或时．
故答案为：或．
21. 如图，在四边形中，，，，设，长分别为，，且．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度匀速向终点运动，同时动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连接，，．设动点运动的时间为秒（）．
（1）填空： ______， ______；
（2）在，两点运动中，若时，求动点运动时间的值；
（3）当时，求与的数量关系．
【答案】（1）3，8 （2）秒
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，可得，，求解即可获得答案；
（2）根据题意可知，，易得，结合可得关于的方程，求解即可获得答案；
（3）首先求得当时的值，易得，即为等腰直角三角形，可得，利用三角形外角的定义和性质，即可获得答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
解得，．
故答案为：3，8；
【小问2详解】
根据题意，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，
可有，
∴，
解得秒，
∴动点的运动时间的值为秒；
【小问3详解】
根据题意，，，
则，
当时，即，解得，
此时，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了整式运算、平行线的性质、三角形面积公式、一元一次方程的应用、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
22. 教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．

请解答下列问题：
（1）填空：______；
（2）若的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
（3）求的值，其中；
（4）如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）24
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式：
（1）根据新定义计算求解即可；
（2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可；
（3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可；
（4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，；
【小问2详解】
解：
∵代数式中不含x的一次项，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：
∵，
∴原式；
【小问4详解】
解：根据题意得：，
整理得：，
∴
．
23. 数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且．
①求证：；
②求的度数；
【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数．
【答案】（1）①见解析；②；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等：
（1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明；②由全等三角形的性质得到，则可推出 ，即可得到；
（2）如图所示，过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到．
（3）如图所示，在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：由①可知，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点C作于点M，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接．
∵，,
∴，
∴，
∴
当的值最小时，即的值最小，
∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．