湖南省岳阳市平江县2022-2023学年高一下学期期末数学试卷（解析版）

这是一份湖南省岳阳市平江县2022-2023学年高一下学期期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，解得，故，
故.
故选：D.
2. 棱长为1的正方体的外接球的表面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为，
则，故，所以．
故选：B．
3. 甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】甲、乙、丙三人排队，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），
（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}，共个基本事件；
其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）}，共个基本事件；
甲排在末位的概率.
故选：B.
4. 已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】依题意，，即，又，因此，
解得，则有，所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
5. 在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：
则两个班所有学生的数学成绩的方差为（ ）．
A. 6.5B. 13C. 30.8D. 31.8
【答案】C
【解析】因为甲班平均分数为，乙班平均分数为，
所以两个班所有学生的数学平均分数为，
所以两个班所有学生的数学成绩的方差为：
.
故选：C.
6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. ，，则
B. ，，，，则
C. ，，，则
D. ，，，则
【答案】D
【解析】对于A，，，则或，A错误；
对于B，若，，，，则或相交，
只有加上条件相交，结论才成立，B错误；
对于C，，，无法得到，
只有加上条件才能得出结论，C错误；
对于D，，，则，又因为，所以，D正确.
故选：D.
7. 著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（ ）
A. 17天B. 19天C. 23天D. 25天
【答案】C
【解析】经过x天后，“进步”与“落后”的比，所以，
两边取以为底的对数得，又，，
所以，
解得，
所以大约经过天后，“进步”是“落后”的倍.
故选：C.
8. 已知M是内一点，且，，，则的最小值是（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】C
【解析】∵，，∴，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是8.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9. 一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件发生的概率为B. 事件与事件互斥
C. 事件发生概率为D. 事件与事件相互独立
【答案】AD
【解析】抛掷该正四面体两次，基本事件有种，
依题意：事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，
所以，A选项正确；
若两次投掷向下的数字都为，，则事件同时发生，所以与不互斥，
B选项错误；
事件表示：“第一次向下的数字为或，且两次向下的数字之和为奇数”，
包含的事件为：，共种，
所以事件发生的概率为，
事件表示：“第一次向下的数字为或，且两次向下的数字之和为偶数”，
包含的事件为：，共种，
所以事件发生的概率为，
事件包含的事件为，，共种，
所以，
所以，即事件与事件相互独立，所以D选项正确.
故选：AD.
10. 已知复数，，则（ ）
A.
B. 若，则的最大值为3
C.
D. 是纯虚数
【答案】AB
【解析】对于A：复数，，
，，
又，∴，A正确；
对于B：设，则，
即，且，
，
即的最大值为3，B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，不是纯虚数，D错误.
故选：AB.
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】AD
【解析】由图象可得的最大值为，即，
，即，所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，所以，
对于A，因为，所以函数的图象关于点对称，故正确；
对于B，因为，所以错误；
对于C，当时，，
所以函数在上不单调，故错误；
对于D，该图象向右平移个单位可得的图象，
故正确.
故选：AD.
12. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 在棱上存在点，使平面
B. 异面直线与所成的角为90°
C. 二面角的大小为45°
D. 平面
【答案】ABC
【解析】A选项：如图，取的中点，连接，
∵侧面为正三角形，，
又底面是菱形，，是等边三角形，
又为的中点，
又，，在平面内，且相交于点，
平面，故选项A正确；
B选项：由选项A知，平面，又平面，，
即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；
C选项：∵平面， ，
平面，，，
又平面平面，是二面角的平面角，
设，则，，
在直角中，，即，
故二面角大小为，故选项C正确；
D选项：因为平面平面，，
所以平面，又平面，所以，
假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，
所以平面，又平面，所以，
而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，第16题第1空2分、第2空3分，共20分.
13. 若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】根据题意可知，但，
故是的真子集，故.
故答案为：.
14. 某轨道交通1号线在10个车站上车人数统计如下：70，60，60，50，60，40，10，30，30，40，则这组数据的第50百分位数与第75百分位数的和为___________.
【答案】105
【解析】将数据从小到大排序：10，30，30，40，40，50，60，60，60，70，因为，所以第50百分位数是第5项与第6项的平均数，即，
因为，所以第75百分位数是第8项，即60，
则这组数据的第50百分位数与第75百分位数的和为：45+60=105.
故答案为：105.
15. 如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点，，．从点测得，从点测得，，从点测得．若测得，（单位：百米），则，两点的距离为 ____________.
【答案】3（百米）
【解析】根据题意，在中，，，，
则，则，
在中，，，，
则，
则有，变形可得，
在中，，，，
则，则.
故答案为：3（百米）.
16. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，、为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则
①平面DEF截得球的截面面积最小值为_______________；
②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为_______________．
【答案】
【解析】过点在平面内作，垂足为点，如下图所示：
易知，，，
由勾股定理可得，
则由题可得，
设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，
因为平面，当平面时，取最大值，即，
所以，，
所以平面截得球的截面面积最小值为；
由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，
则，，，
由勾股定理可得，令，则，其中，
所以，，
所以，，
因此，.
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.
（1）求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率；
（2）求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率.
解：（1）设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件，，，
则，，，
∴.
（2）甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试，等价于恰有1人未通过测试，
∴
.
18. （1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；
（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.
解：（1）设，由，可得，
由题意可得，解得或，
因此，或.
（2），，
化简得，
即，解得.
19. 如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的大小．
解：（1）证明：连接，在中，
和分别是和的中点，，
又平面，平面，
平面．
（2）证明：，为中点，，
平面，，平面，
，又，平面，平面.
（3）取中点和中点，连接，，，
和分别为和的中点，且，
且，四边形是平行四边形，
且，
又平面，平面，
即为直线与平面所成角，
在中，可得，，
，，且，
又由，，
在中，，
在中，，
，即直线与平面所成角的大小为．
20. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．”天宫课堂”是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中国航天员担任“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展．2022年10月12日15时40分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．学校针对这次直播课，举办了”天宫课堂”知识竞赛，有100名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这100名学生的成绩（满分100分）进行统计，将数据分为［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]这4组，画出如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中m的值；
（2）估计这100名学生竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（3）若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的40%的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的分数不低于多少？
解：（1）由图可得，解得.
（2）估计这100名学生竞赛成绩的平均数
．
（3）设被嘉奖的学生的分数不低于，
因为第四组的频率为，第三组的频率为，
所以，所以，得．
21. 在中，角所对的边分别，且.
（1）求角A的值；
（2）已知在边上，且，求的面积的最大值.
解：（1）在中因为，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，故，
又是的内角，所以．从而，
而A为的内角，所以.
（2）因为，所以，所以，
从而，
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
故的面积的最大值为.
22. 已知函数f(x)=x2+ax+b，a，b∈R，f(1)=0.
（1）若函数y=在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）设，若函数有三个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在整数m，n，使得m≤f(x)≤n的解集恰好是[m，n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由，可知，
所以，对称轴为，
则，
因为在上是减函数，
当，即时，在上是减函数，符合题意，
当a>−2，即时，在上是减函数，，
综上可知，实数a的取值范围为．
（2）函数F(x)有三个零点，则方程有三个不同根，
设其图象如下图：
由题意，关于t的方程：，
即有两根，且这两根有三种情况：
，
若，则，此时方程为或，
符合题意，
若，则，此时方程为舍去，
若，则不存在，
综上得：.
（3）因为是开口向上抛物线，所以，且，
由作差可得，所以，
由f(n)=n可得，所以，所以，
因为m，n为整数且，所以，即，
此时符合题意，
所以存在m=−1，n=2，使得的解集恰好是.班级
人数
平均分数
方差
甲
40
70
5
乙
60
80
8