辽宁省2024届高三重点高中协作校联考模拟预测数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省2024届高三重点高中协作校联考模拟预测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数为实数，则实数等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】，若复数为实数，
则，即.故选：D.
2. 已知集合..若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】集合..
，
.故选：C
3. 下表为某地春节假期某日游客抽取的100人样本的出行方式统计数据
某实验点从这批游客中抽取25人，当中选择飞机出行的人数大约为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 4
【答案】B
【解析】由题意可知：每人被抽到乘飞机的可能性均为，
所以选择飞机出行的人数大约为.故选：B.
4. 在矩形中，，为中点，为平面内一点，.则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，建立平面直角坐标系，

则，
因为，可设，
则，
可得，
其中，
因为，所以.
故选：A.
5. 数列中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】因为，，，
令，可得；令，可得；
令，可得；令，可得；
令，可得；令，可得；
可知数列是以6为周期的周期数列，
所以.
故选：A
6. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：B.
7. 某同学笔袋里有10支笔，其中8支黑色，2支红色.被甲同学借走2支.已知甲借走的有一支是红色，则另一支也是红色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】记“甲借走的有一支是红色”为事件A，“甲借走的两支都是红色”为事件B，
则，，
所以所求的概率为.
故选：D.
8. 已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可设：，
则
，
令，则，
注意到，则，
可知的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，可知在内的最小值为，
则，
整理得，解得，不合题意；
当，即时，可知在内的最小值为，符合题意；
综上所述：.可得椭圆的离心率，
所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：D.
二、选择题
9. 已知，下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于选项A：因为，可得，故A正确；
对于选项B：例如满足，但，故B错误；
对于选项C：因为在上单调递增，且，所以，故C正确；
对于选项D：例如满足，
但，即，故D错误；故选：AC.
10. 若的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理项（项中是整数）可以是（ ）
A. 第2项B. 第3项C. 第4项D. 第5项
【答案】ACD
【解析】由题意可知：的展开式通项为，
因为中第4项的二项式系数最大，
当为偶数，则，即，此时，
令为整数，可得，
即第1项，第4项，第7项为有理项，故C正确；
当为奇数，则或，
即或，
且，可得，此时，
令为整数，可得，
即第2项，第5项，第8项为有理项，故AD正确；
故选：ACD.
11. 已知正四棱台的各个顶点都在球的表面上，，，，是线段上一点，且，下列选项正确的（ ）
A. 当时，过点作球的截面的最小面积
B. 当时，多面体
C. 到平面距离是2
D. 与平面夹角正弦值是
【答案】ABC
【解析】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，圆心为，连接，，
过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，
可得，,即，
且正四棱台的高,
设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，
可得，，故或，
即或，解得,
故，即为球心.
易得，两两垂直，故以为原点，建如图所示空间直角坐标系，
则
故，
对于A，当时，，故，
故，
过点作球的截面，当垂直截面时，截面面积最小，
此时截面半径为,
最小面积，故A正确；
对于B，当时，，
故,
故B正确；
对于C，到平面距离即到平面的距离，
易知垂直平面，
故到平面的距离为，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，
则令，解得.
设与平面的夹角正弦值是，
则，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
12. 过点且与圆相切的直线的方程是______．
【答案】或
【解析】当直线l的斜率不存在时，因为过点，
所以直线，
此时圆心到直线的距离为1=r，
此时直线与圆相切，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，
所以，即，
因为直线l与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以直线l的方程为.
综上：直线的方程为或，故答案为：或
13. 已知公比大于1的等比数列满足，.设，则当时，数列的前项和________.
【答案】
【解析】由题意可得：，解得或，
注意到，则，可得，
则，
当时，则
，
即当时，.
故答案为：.
14. 若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列”________.
【答案】960
【解析】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，

则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法，
剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法；
所以“有序子集列”共有个.故答案为：960.
四、解答题
15. 在中，角所对的边分别为，，，已知，.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
解：（1）由题意可知：，可得，
因为，由正弦定理可得，
即，所以.
（2）因为，即，
由余弦定理可得，
即，整理得，解得或，
若，可得的面积；
若，可得的面积；
所以的面积为或.
16. 如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若是等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：设，连接，
因为为正方形，则为的中点，
又因为是的中点，则∥，
且平面，平面，所以∥平面，
由题意可知：四边形是平行四边形，∥，
且平面，平面，所以∥平面，
且，平面，可得平面∥平面，
由平面，可得∥平面.
（2）解：由题意可知：，且，
平面，可得平面，
取的中点，连接，
可知分别为的中点，可得∥，所以平面，
由平面，可得，
又因为是等边三角形，可得，
且，平面，可得平面，
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
可得，
且，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数，
（1）求的最小值；
（2）证明：.
（1）解：令，由可知，
构建，
则在内恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以的最小值为1.
（2）证明：由（1）可知：，即，
又因为，则，
可得，则，
构建，，则在内恒成立，
可知在内单调递增，则，
即，可得，
注意到，则，
所以.
18. （1）利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线，记为曲线；
（2）设点在曲线上，在曲线上，且满足，求方程；
（3）点在上，过点的直线与的渐近线交于，两点，且满足，求（为坐标原点）的面积.
（1）证明：设，显然直线上，
则
，
同理可得，
若，则，当且仅当，即时等号成立，
则，，
可得；
若，则，当且仅当，即时等号成立，
可得，
则，，
可得；
综上所述：，
所以方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线；
（2）解：因为点在曲线上，则，
又因为，可得，
所以方程为；
（3）解：令，可得，即曲线的渐近线为，
由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，设，

联立方程，解得，即，
同理可得：，
因为，可知为线段的中点，
则，即，
又因为在曲线上，则，
整理得，
且，即，可得，
注意到直线与x轴的交点坐标为，
则的面积.
19. 某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立.
（1）求的分布列；
（2）记随机变量.已知，
（i）证明：，；
（ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.
（已知随机变量服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则）
（1）解：依题意，均服从完全相同的超几何分布，
且，均大于100，
故的分布列为.
（2）（i）证明：均服从完全相同的超几何分布，故
，
，
故，
（ii）解：由（ⅰ）可知的均值
利用公式计算的方差，
所以
依题意有
解得，．
所以可以估计，．
出行方式
高铁
自驾
飞机
客车
频数
27
16
28
29
0
1
99
100