精品解析：四川省成都市新都区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

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1. 2023年全国城市节约用水宣传周活动时间为5月14日至20日，成都市宣传主题为“推进城市节水，建设宜居城市”，如图所示倡导节约用水的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分析即可解决．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是找出对称轴，对称轴两侧折叠后可以重合．
2. 手机处理器工艺制程是指手机处理器内部集成电路的精细程度，工艺制程数字越小，越先进、耗电量也越低，并且发热量也更少．某款国内厂商最近发布的手机处理器拥有顶尖的5nm（）制程和架构设计．用科学记数法表示0.000000005为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：由题意得，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方及完全平方公式分别计算并判断．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方及完全平方公式，熟练掌握各计算法则是解题的关键．
4. 如图，，，平分，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本考查平行线的性质、角平分线的概念．掌握平行线的性质是解题的关键．
5. 三角形的两边长分别是7，15，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A. 7B. 9C. 15D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的取值范围，进行判断即可．
【详解】解：设第三边长为x，
则，
即．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟知：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
6. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式的特点：两数之和与两数之差的乘积，进行判断即可．
【详解】解：A、中不存在互为相同或相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、是相同的项，互为相反项是1与，符合平方差公式的要求，故本选项正确；
C、不存在相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、符合完全平方公式，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
因此A、C、D都不符合平方差公式的要求．
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式，熟记平方差公式：，是解题的关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖
B. 篮球运动员在罚球线投篮一次投中是必然事件
C. 从装有5个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
D. 经过红绿灯路口遇到绿灯是随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率的意义，事件的分类，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、某彩票中奖率是1%，买100张彩票不一定有一张中奖，不符合题意；
B、篮球运动员在罚球线投篮一次投中是随机事件，不符合题意；
C、从装有5个红球袋子中摸出一个白球是不可能事件，不符合题意；
D、经过红绿灯路口遇到绿灯是随机事件，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查概率的意义，事件的分类．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
8. 如图，已知，，在不加辅助线的情况下，增加下列4个条件中的一个：
①，
②，
③，
④，
能使的条件的个数为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由，可知，再加上后，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的邻边．
【详解】解：∵，
∴，即．
又∵，
∴可以添加，此时满足，①正确；
添加条件，此时满足，②正确；
添加条件，此时满足，④正确；
添加条件，不能证明，③不正确．
故能使的条件的个数为3个．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 已知，，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可，同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【详解】解：，，
．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
10. 作为“中国名柚之乡”，2022年新都柚产量达到了1500吨以上，如表是一段时间在集贸市场卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系表：
根据表中数据可知，售价y（元）与重量之间的关系式为 ____________（不考虑x的取值范围）．
【答案】
【解析】
【分析】根据表格求出x、y的对应关系，即可得到答案．
【详解】解：由表可知，当时，，
当时，，
当时，，
所以售价y（元）与重量之间的关系式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的表示方法，正确找出x，y的对应关系是解题关键．
11. 一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的14个黑球，5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为 _____个．
【答案】6
【解析】
【分析】根据摸到白球的频率稳定在0.2，得到摸到白球的概率为0.2，利用概率公式列式计算即可．
【详解】解：∵摸到白球的频率稳定在0.2，
∴摸到白球的概率为0.2，
设红球x个，根据题意可得：
，
解得：，
经检验得：是原方程的根．
故答案为：6．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，已知概率求小球的数量．熟练掌握概率是频率的稳定值，以及概率公式，是解题的关键．
12. 如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则__________度．

【答案】60
【解析】
【分析】先求解，再证明，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∴．
故答案为：60．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质的应用，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．
13. 学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现：
；
；
；
．
请你利用发现的规律计算： ____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题干给出的规律，构造，利用规律解题即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式规律探究．解题的关键是构造．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）计算：；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）1
（2）
【解析】
【分析】（1）结合乘方和幂的运算法则求解即可；
（2）结合完全平方公式和平方差公式化简原式，再代入和的值求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
，
把，代入，得：
原式
．
【点睛】本题主要考查了乘方运算、零指数幂和负指数幂，以及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则和平方公式是解题的关键．
15. 如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称；
（2）求ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可；
（2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算ABC的面积；
（3）连接A1B交直线l于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【详解】解：（1）如图，A1B1C1为所作；
（2）ABC的面积＝3×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×2×3＝4；
（3）如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
16. 第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，新都区某中学开展“爱成都，迎大运”系列宣传活动，其中采取网络问卷的方式随机调查了本校部分学生对“A足球，B篮球，C乒乓球，D羽毛球”四种球类运动的喜爱程度，让学生投票选出自己最喜爱的一个运动，并对调查结果进行了整理，绘制出如所示两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）这次活动共调查了 人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中D区域的圆心角的度数；
（3）根据调查结果，估计该校1200名学生中喜欢蓝球的共有多少人？
【答案】（1）200，图见解析
（2）

（3）估计该校1200名学生中喜欢蓝球的共有480人
【解析】
【分析】（1）根据选的学生人数除以所占的百分比，求出总数，进而求出选的学生的人数，补全条形图即可；
（2）利用乘以选的学生所占的比例，进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【小问1详解】
解：参加问卷调查的同学的人数为（人）．
喜爱乒乓球的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示：

故答案为：200；
【小问2详解】
D区域的圆心角的度数；
【小问3详解】
（人），
答：估计该校1200名学生中喜欢蓝球的共有480人．
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
17. 学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．

（1）若为等腰直角三角形，且；
①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么 度；
②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；
（2）若为等腰三角形，已知．
丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程．
【答案】（1）①105；②75°
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据三角形的内角和定理和外角的性质进行求解即可；②过点P作，利用平行线的判定和性质，进行求解即可；
（2）利用等边对等角，平行线的性质，以及三角形的外角的性质，进行求解即可．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：105；
②∵，
∴，
如图2，过点P作，

∵，
∴，
∴，
∴；
小问2详解】
由②得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和外角的性质，平行线的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键．
18. 如图1，是等腰直角三角形，，先将边沿过点B的直线l对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接，．

（1）求证：；
（2）如图2，当点D在的斜边上时，请直接写出用表示的关系式；
（3）如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且的面积为10，求的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）15
【解析】
【分析】（1）折叠得到，进而得到，推出，利用证明，即可；
（2）全等三角形的性质，得到，进而得到，再根据，即可得出结论；
（3）设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，得到，进而得到，推出，再根据，得到，进而推出，得到，根据全等三角形的面积相等，三角形的中线平分面积，求出，即可得解．
【小问1详解】
证明：∵边沿过点B的直线l对折得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图，

设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例．本题的综合性强，难度较大，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 已知，则________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
20. 汽车的刹车距离米与汽车行驶速度千米/小时和路面的摩擦系数有关，它们之间满足经验公式．经测试，某型小客车在行驶速度千米/小时的情况下，紧急刹车直至停止，刹车距离为16米，则路面的摩擦系数为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目中函数的关系式，将和的值代入，即可求出值．
【详解】解：由题意得，，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的的函数关系的运用，解题的关键在于理解题意，正确代入相应数值．
21. 如图，中，线段平分，交边于点，过点作于点，若，则_______度．

【答案】
【解析】
【分析】由三角形内角和定理结合已知条件得出，由角平分线的定义得出，进而得出，得出，由垂线的定义求出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数．
详解】解：，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义是解决问题的关键．
22. 将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ________；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】把变为，整理成，利用完全平方公式进行因式分解得到即可得到答案；把变为，整理成，利用完全平方公式进行因式分解得到，即可得到答案．
【详解】解：
；
，
∵，
∴，
故答案为：；．
【点睛】此题考查了整式的乘法、利用完全平方公式进行因式分解等知识，准确计算和变形是解题的关键．
23. 如图，将两个正方形拼在一起，A，B，E在同一直线上，连接，当时，的面积记为，当时，的面积记为，，以此类推，当时，的面积记为，则____________．

【答案】1024650
【解析】
【分析】连接，易得，进而得到，推出，再进行计算即可．
【详解】解：连接，则，，

∴的边上的高与的边上的高相等，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查数字类规律探究，解题的关键是得到．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．

（1）图中所表示的数学等式为 ；
（2）利用（1）中得到结论，解决问题：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）
（2）①2；②-12
【解析】
【分析】第1问运用等面积理解完成平方公式的几何意义，第2问变形出完全平方公式解题
【小问1详解】
解：（1）由图形可得大正方形的面积为，还可以表示为
，
故答案为：
【小问2详解】
解：①已知，则．

②，
故答案为：①2，②-12
【点睛】本题主要考查完全平方公式几何理解及应用，掌握等面积法及完全平方公式是解题的关键．
25. 甲和乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距450千米的B地，已知甲的速度大于乙的速度，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速度返回A地取物品，返回途中与乙相遇，在第2小时时取到物品后立即提速20%继续前往B地（所有掉头时间和取物品的时间忽略不计），在第5小时时再次遇到乙，并超过乙．已知甲和乙之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的部分关系如图所示．根据图象解答下列问题．

（1）乙的速度为 千米/小时；
（2）甲提速后的速度为多少千米/小时；
（3）当甲到达B地时，乙离B地的距离为多少千米．
【答案】（1）60 （2）甲提速后的速度为100千米/小时
（3）当甲到达B地时，乙离B地的距离为60（千米）
【解析】
【分析】（1）由图知，甲返回A地的时刻为2小时，乙距离A地为120千米，故速度为（千米/小时），
（2）设甲原来的速度为x千米/小时，建立方程，解得 ，进而求得提速后速度100千米/小时；
（3）由图知，甲取回物品后从A地驶往B地所需时间为（小时），故知甲至B地时乙行驶的时间为（小时），进而乙行驶路程（千米），求得乙离B地的距离为（千米）．
【小问1详解】
解：∵甲出发1小时后，按原速度返回A地取物品，
∴当甲返回A地的时刻为2小时，
此时，甲和乙之间的距离为120千米，即乙出发2小时行驶了120千米，
∴乙的速度为（千米/小时），
故答案为：60；
【小问2详解】
解：设甲原来的速度为x千米/小时，则甲提速后的速度为千米/小时，
∵在第5小时时，甲、乙再次相遇，
∴，
解得： ，
∴，
∴甲提速后的速度为100千米/小时；
【小问3详解】
解：甲取回物品后从A地驶往B地所需时间为（小时），
∴当甲到达终点时，乙行驶的时间为（小时），
∴乙行驶的路程为（千米），
∴当甲到达B地时，乙离B地的距离为（千米）．
【点睛】本题考查函数图象中的行程问题，一元一次方程的应用，由函数图象分析出甲、乙的行程、时间信息是解题的关键．
26. 在中，，D，E分别为平面内两点，连接，使且．

（1）如图1，
①与有怎样的数量关系，请说明理由；
②与有怎样的位置关系，请说明理由；
（2）如图2，若延长与相交于H，且过的中点N，的角平分线交于F，过点A作于M，已知，，．设，请用含x的代数式表示y．
【答案】（1）①，理由见解析；②，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①证明，即可得出结论；②延长交的延长线于点P，根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，求出，即可得出结论；
（2）证明，得出，求出，根据是的角平分线，，得出垂直平分，，求出，根据， 得出即可得出结果．
【小问1详解】
解：①，理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
②，理由如下：
延长交的延长线于点P，

由①知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，，

∵点N是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
整理得．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，证明三角形全等．
重量
1
2
3
…
售价y/元
…