广西南宁市第二中学·柳州高级中学2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

这是一份广西南宁市第二中学·柳州高级中学2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题6分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1.已知函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
2.已知双曲线C：（）经过点，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3.已知数列满足，若，，则（ ）
A．B．3C．D．5
4.已知函数（），则“的最小正周期为”是“的图象关于点对称”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，“初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（ ）
A．145B．165C．185D．195
6.已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7.球类运动对学生的身心发展非常重要.现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选3门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有（ ）
A．210种B．78种C．150种D．144种
8.已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直。且母线长为6.则圆锥PO的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）。
9.已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．的子集个数为2
10.已知，，，则（ ）
A．且B．C．D．
11.已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，，则下列结论正确的是（ ）
A．奇函数B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为4D．若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）。
12.已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
13.在平面直角坐标系xOy中，椭圆（）的左焦点为，点P在椭圆上，的中点为Q，若，，则椭圆离心率的值为 .
14.第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
15.（13分）
2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：
（1）根据小概率值的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.
（2）从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为X，试求X的分布列和数学期望.
附：，其中，．
16.（15分）
如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，.
（1）设D为AC中点，证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A；
（2）若点D在线段BC上，且满足，，求△ABC面积的最大值.
18.（17分）
已知抛物线E：（），O是坐标原点，过的直线与E相交于A，B两点，满足．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若在抛物线E上，过的直线交抛物线E于M，N两点，直线PM，PN的斜率都存在，分别记为，，求的值.
19.（17分）
若函数在上有定义，且对于任意不同的，，都有，则称为上的“类函数”
（1）若，判断是否为上的“2类函数”；
（2）若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围.
南宁二中·柳州高中高二下联考数学参考答案
选择题
1.由函数可得，.
2.因为双曲线C：（）经过点，所以，，渐近线方程为.
3.，又，，故数列为等比数列，则，故.
4.由函数（）的最小正周期为可得，，解得，所以，令，代入可得，故的图象关于点对称，当的图象关于点对称，则，
所以，，解得，，不能得到，
所以“的最小正周期为”是“的图象关于点对称”的充分不必要条件.
5.设表示给第n个人给的钱，由题可知，数列为首项3，公差为1的等差数列；
又，故，即，解得.
6.因为，，，观察a，c的式子结构，构造函数，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，所以，即，所以，即，即；又，所以，即；综上，.
7.A
根据题意，分2种情况讨论：
①五门选修课放在2年选完，先将五门课程分为2组，再在三年中选出2年来学习，有种安排方法；②五门选修课放在3年选完，先将五门课程分为3组，再安排在三年中选完，有种安排方法；则有种交排方法。
8.因为PA，PB，PC两两互相垂直且长度均为6，
所以△ABC为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长，
由正弦定理得底面圆的半径，
所以圆锥的高.
如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径r，
轴截面三角形面积为，所以内切球的半径.
内切球的表面积为.
9.对于A项，由题意知，，，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，，故C项正确；
对于D项，因为，所以的子集为、共2个，故D项正确.
10.对于A，，，，则，故，同理可得，A正确；
对于B，，，，∴，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，，，则，则，
当且仅当，即，时取等号，C错误；
对于D，由于，故，当且仅当时取等号，D正确.
11.ACD
对于A中，由的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
所以的图象关于点对称，则是奇函数，且，所以A正确；
对于B中，因为是奇函数，所以，
所以的图象关于直线对称，所以B不正确；
对于C中，因为，所以，
所以，所以的最小正周期为4，所以C正确.
对于D中，因为，，
所以，，
所以，
所以，所以D正确.
填空题
12.13.14.
12.由导数几何意义知：，又因为切点，故曲线在处的切线方程为：，整理得：.
13.取右焦点，∵Q为中点，，则为等腰三角形，，∴为直角三角形，，，，.
14.设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，
则，，，，
所以，
所以.
解答题
15.
（1）零假设：该市市民的春节旅游意愿与年龄层次无关.
所以.
根据小概率值的独立性检验，
推断不成立，即该市市民的春节旅游意愿与年龄层次有关联.
（2）从样本中按比例分配选取10人，抽取到青年人愿意出游的人数为4人，其他情况的人数为6人；
再随机从中抽取4人，青年人愿意出游的人数X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
且，，，，，
则X的分布列为
数学期望为.
16.
（1）证明：因为D为AC中点，且，
所以在△ABC中，有，
又平面平面ABC，且平面平面，平面ABC，
所以平面.
又平面，则，
在等边△ABC中，中线，
在中，，，得，
因为，，，
所以由勾股定理，得，
又，，，平面，
所以平面．
（2）如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
可得，，，
则，，
设平面的法向量为，
由，令，得，，
所以，
由（1）知，平面，
所以平面的一个法向量为，
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17.
（1）由题意得，
即，
∵，
∴，
∴，
又，
∴.
（2）解法一：
令，则，
∵，
∴，
即，
∴①，
又∵，
∴②，
∵联立①②，得.
所以有（当且仅当时取等号），解得，
∴，
∴△ABC面积的最大值为.
解法二：
依题意，
∴，
即，
∵（当且仅当时取等号），
∴，
∴，
∴△ABC面积的最大值为.
18.
（1）设，
因为直线AB的斜率不为0，设AB的直线方程为：.
联立，消去x得，
则恒成立，且.
又，，故，
又，则，
故，解得，
故抛物线E的方程是.
（2）因为，在抛物线上，故，则，
当直线MN的斜率为0时不成立，
设MN的直线为，，，，
联立，消去x得：，
则，，
因为，，
则，
故的值为.
19.
（1）任取两个不同，，
则
由，得，
所以，
所以不是上的“2类函数”。
（2）由题意知，对于任意不同的，，都有，
不妨设，
则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
所以，，
故对任意，都有.
因为，
即，
所以，
令，，
令，在单调递减，
所以，，故在单调递减，
所以，
所以.
令，，
令，在上单调递减，
，，
所以，使，即，
当时，，即，在上单调递增，
当时，，即，在上单调递减，
所以，
所以.
又因为，
所以，
即a的取值范围为.
愿意春节旅游
不愿意春节旅游
合计
青年人
80
20
100
老年人
40
60
100
合计
120
80
200
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
D
C
A
D
B
A
C
BCD
ABD
ACD
X
0
1
2
3
4
P