2023-2024学年辽宁省县级重点高中协作体高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省县级重点高中协作体高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−3x−28≤0}，B={x|5−x≤0}，则A∩B=( )
A. [5,7]B. [−4,7]C. [−4,5]D. [4,5]
2.已知向量a,b满足|a|=2,|b|= 3,a⋅b=1，则|a+b|=( )
A. 3B. 6C. 3D. 9
3.已知角α的终边经过点P( 2,7 2)，则cs(π2−α)=( )
A. − 210B. 210C. 7 210D. −7 210
4.要得到函数f(x)=sin(2x−2π7)的图像，只需将函数g(x)=sin2x的图像( )
A. 向左平移2π7个单位长度B. 向左平移π7个单位长度
C. 向右平移2π7个单位长度D. 向右平移π7个单位长度
5.已知单位向量a，b满足|a−b|=2a⋅b，则a在b上的投影向量为( )
A. 22bB. 14bC. 13bD. 12b
6.如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为2，则AE⋅BF=( )
A. 0
B. 4
C. 5
D. 6
7.设a=80.4,b=(12)−1.3,c=lg92，则( )
A. a8.已知函数f(x)=2cs(4x+φ)−1(0<φ<2π)在[0,π4]上单调递增，则φ=( )
A. π8B. π4C. π2D. π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校举办篮球赛，来自甲队的6名队员与来自乙队的4名队员的得分如如图，则下列命题是真命题的是( )
A. 甲队的6名队员得分的中位数是13.5
B. 乙队的4名队员得分的平均数是15.25
C. 这10名队员得分的60%分位数是15
D. 若采用分层随机抽样的方法从甲队和乙队的这10名队员中抽取5名队员参加某项活动，再从这5名队员中抽取2人作为代表，则这2名代表都来自甲队的概率是310
10.已知函数f(x)=sin(x−1x)，则( )
A. f(x)为奇函数B. f(x)的值域为[−1,0)∪(0,1]
C. f(x)在(1,2)上单调递增D. f(x)在(1,20)上有6个零点
11.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⋅BC=0，AD=AB=3，BC>AB，M，N分别为边AB，BC上的动点，且MN=2，则( )
A. DM⋅DN的最小值为18−6 2B. DM⋅DN的最小值为9
C. DM⋅DN的最大值为12D. DM⋅DN的最大值为18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若tanα+tanβ=3−3tanαtanβ，则tan(α+β)= ______．
13.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若∠AOD=2π3,OA=4，且该扇环的周长为4+4π，则该扇环的面积为______．
14.已知函数f(x)=sin2x(csx+1)+cs2xsinx在(0,π)内恰有两个不同的零点x1，x2，则x1+x2= ______，csx1csx2= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
将函数y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)的图象．
(1)求f(x)的解析式与最小正周期；
(2)若f(α)=35，α∈(π2,π)，求sin2α，cs(α−π4)的值．
16.(本小题15分)
已知向量a,b满足|a|=2,|b|=10,〈a,b〉=π3．
(1)证明：(5a−2b)⊥a．
(2)求向量4a−12b与4a−310b夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=cs2x+sinxcsx−12．
(1)将f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,|φ|<π2)的形式；
(2)若对于任意的x∈[0,π4],mf(x)<[f(x)]2−1恒成立，求m的取值范围．
18.(本小题17分)
在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，cs∠BAD=13，AF=FD，DE=λDC，λ∈[0,1]．
(1)若λ=13，AE与BF交于点N，AN=xAB+yAD，求xy的值；
(2)求BE⋅FE的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2ex．
(1)用单调性的定义判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并求f(x)在[1,2]上的值域；
(2)若函数g(x)=f(x)−2lnx的最小作为m，且x2eex+2−2lnx+ln(t3+t+e)>m+lga对x∈(0,+∞)，t∈[0,+∞)恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由x2−3x−28≤0可得，−4≤x≤7，则A=[−4,7]，
由5−x≤0可得，x≥5，则B=[5,+∞)，
故A∩B=[5,7]．
故选：A．
分别求解一元二次不等式和一元一次不等式，得集合A和B，求交集即得．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为|a|=2,|b|= 3,a⋅b=1，
所以|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=4+2+3=9，
所以|a+b|=3．
故选：C．
利用向量的模长公式计算即得．
本题考查了平面向量的模长计算问题，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得sinα=yr=7 2 2+98=7 210，
则cs(π2−α)=sinα=7 210．
故选：C．
根据三角函数的定义和诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：f(x)=sin(2x−2π7)=sin2(x−π7)，
故将g(x)=sin2x的图象向右平移π7个单位长度，
得到f(x)=sin(2x−2π7)的图象，故D正确．
经检验，ABC错误．
故选：D．
根据三角函数图象的平移变换即可求解．
本题考查三角函数的平移的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设a⋅b=k，
由题意可知，k≥0，
|a−b|=2a⋅b，
两边同时平方可得，a2+b2−2a⋅b=4(a⋅b)2，即2k2+k−1=0，解得k=12(负值舍去)，
故a在b上的投影向量为：a⋅b|b|×b|b|=12b．
故选：D．
根据已知条件，推得a⋅b，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：如图，
由已知可得，AD=BC=2，DG=CH= 2，GE=HF=1．
AE⋅BF=(AD+DG+GE)⋅(BC+CH+HF)
=AD⋅BC+AD⋅CH+AD⋅HF+DG⋅BC+DG⋅CH+DG⋅HF+GE⋅BC+GE⋅CH+GE⋅HF
=2×2×cs0°+2× 2×cs45°+2×1×cs90°+2× 2×cs45°+ 2× 2×cs90°
+ 2×1×cs135°+2×1×cs90°+1× 2×cs135°+1×1×cs180°=5．
故选：C．
根据平面向量的线性运算和数量积运算即可求解．
本题考查平面向量数量积的应用，注意把握已知条件中的规律，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：因为函数y=2x在R上单调递增，
所以(12)−1.3=21.3>21.2=80.4>2，即b>a>2．
又因为函数y=lgx在(0,+∞)上单调递增，
所以lg92故选：D．
分别利用指数函数y=2x和对数函数y=lgx的单调性进行比较，借助于中间值“2”即可判断三个值的大小．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=2cs(4x+φ)−1(0<φ<2π)在[0,π4]上单调递增，
所以π−φ4≤02π−φ4≥π4，
解得φ=π．
故选：D．
由已知结合余弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了余弦函数单调性的应用，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A项，由茎叶图可得甲队的6名队员得分的中位数是12+152=13.5，故A正确；
对于B项，乙队的4名队员得分的平均数是4+14+16+274=15.25，故B正确；
对于C项，将这10名队员的得分从低到高排列为4，11，11，12，14，15，16，21，24，27，
因为10×60%=6，所以这10名队员得分的60%分位数是15+162=15.5，故C错误；
对于D项，若采用分层随机抽样的方法抽取5名队员参加某项活动，
则抽取甲队的队员人数为3，设为A，B，C，抽取乙队的队员人数为2，设为a，b，
若从这5名队员中抽取2人作为代表，则所有情况有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，
其中这2名代表都来自甲队的情况有3种，故所求概率为310，故D正确．
故选：ABD．
根据一组数据的中位数，平均数和百分位数的规定，依次求解数字特征即可判断A，B，C选项，运用古典概型概率公式可以判断D选项．
本题主要考查统计的相关知识，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A项，f(x)=sin(x−1x)的定义域为{x|x≠0}，显然关于原点对称，
由f(−x)=sin(−x+1x)=−sin(x−1x)=−f(x)可知，f(x)为奇函数，故A项正确；
对于B项，当x=1时，f(1)=0∉[−1,0)∪(0,1]，故B项错误；
对于C项，令函数g(x)=x−1x，易得g(x)在(1,2)上单调递增，且当x∈(1,2)时，g(x)的值域为(0,32)．
因为函数y=sinx在(0,32)上单调递增，由复合函数的“同增异减”原则，可得f(x)在(1,2)上单调递增，故C项正确；
对于D项，由C项可知，当x∈(1,20)时，g(x)的值域为(0,19.95)，而6π<19.95<7π，
则函数y=sinx在(0,19.95)上有6个零点，所以f(x)在(1,20)上有6个零点，故D项正确．
故选：ACD．
利用奇函数定义可判断A项；
利用特值代入求值可排除B项；
利用复合函数的单调性“同增异减”原则可判断C项；
利用g(x)=x−1x的单调性求出其值域，结合正弦函数的图象即可判断D项．
本题考查了正弦函数的性质、复合函数的单调性及函数的零点，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则D(3,3)，设M(0,y)，N(x,0)，
其中x∈[0,2]，y∈[0,2]，且x2+y2=4，
则DM=(−3,y−3),DN=(x−3,−3)，
故DM⋅DN=−3x+9−3y+9=−3(x+y)+18，
因为x2+y2=(x+y)2−2xy≥(x+y)2−(x+y)22=(x+y)22，
所以(x+y)2≤8，即x+y≤2 2，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
故x+y=BM+BN≥MN=2，
当且仅当点M或点N与点B重合时，等号成立，
则18−6 2≤−3(x+y)+18≤12，
所以DM⋅DN的最大值为12，最小值为18−6 2．
故选：AC．
首先以点B为原点建立平面直角坐标系，并利用坐标表示DM⋅DN，再根据基本不等式，即可求解．
本题考查平面向量数量积运算及基本不等式的应用，属中档题．
12.【答案】3
【解析】解：∵tanα+tanβ=3−3tanαtanβ，
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=3．
故答案为：3．
根据两角和的正切公式即可得解．
本题考查了两角和的正切公式，是基础题．
13.【答案】4π
【解析】解：设OB=r，依题意可得，2π3×r+2π3×4+2(4−r)=4+4π，
解得r=2，
故该扇环的面积为12×2π3×42−12×2π3×22=4π．
故答案为：4π．
利用扇形弧长公式结合题设条件列出方程，求出小扇型的半径，利用扇形面积公式计算大小扇形面积，作差即得扇环面积．
本题考查扇形面积的求法，属于基础题．
14.【答案】6π5 −14
【解析】解：由题意可得f(x)=sin2xcsx+sin2x+cs2xsinx=sin3x+sin2x，
令f(x)=0，得sin3x=−sin2x=sin(2x+π)，
则3x=2x+(2k+1)π(k∈Z)或3x+2x+π=π+2kπ(k∈Z)，
解得x=(2k+1)π(k∈Z)或x=2kπ5(k∈Z)，
由x∈(0,π)，得x=2π5或4π5，
所以x1+x2=6π5，
不妨取x1=2π5,x2=4π5，
则cs2π5cs4π5=2sin2π5cs2π5cs4π52sin2π5=sin4π5cs4π52sin2π5=sin8π54sin2π5=sin(2π−2π5)4sin2π5=−sin2π54sin2π5=−14．
故答案为：6π5，−14．
由题意，根据两角和的正弦公式可得f(x)=sin3x+sin2x，令f(x)=0得x=2π5或4π5，设x1=2π5,x2=4π5，结合二倍角的正弦公式化简计算cs2π5cs4π5即可．
本题主要考查三角恒等变换的化简问题，属于中档题．
15.【答案】解：(1)将函数y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)=sinx的图象，
可得f(x)=sinx的最小正周期为T=2π；
(2)若f(α)=sinα=35，α∈(π2,π)，
可得csα=− 1−sin2α=−45，
所以sin2α=2sinαcsα=2×35×(−45)=−2425，
cs(α−π4)= 22csα+ 22sinα= 22×(−45)+ 22×35=− 210．
【解析】(1)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求解函数解析式，利用周期公式可求函数周期；
(2)由题意利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，利用二倍角公式可求sin2α的值，利用两角差的余弦公式可求cs(α−π4)的值．
本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，正弦函数的周期公式以及三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．
16.【答案】(1)证明：因为|a|=2,|b|=10,〈a,b〉=π3，
所以a⋅b=2×10×csπ3=10，
所以(5a−2b)⋅a=5a2−2a⋅b=5×22−2×10=0，
所以(5a−2b)⊥a．
(2)解：因为(4a−12b)2=16a2−4a⋅b+14b2=16×4−4×10+14×100=49，所以|4a−12b|=7，
同理(4a−310b)2=16a2−125a⋅b+9100b2=16×4−125×10+9100×100=49，|4a−310b|=7，
(4a−12b)⋅(4a−310b)=16a2−65a⋅b−2a⋅b+320b2=47，
所以cs〈4a−12b,4a−310b〉=(4a−12b)⋅(4a−310b)|4a−12b||4a−310b|=477×7=4749，
即向量4a−12b与4a−310b夹角的余弦值为4749．
【解析】(1)首先求a⋅b，再根据数量积表示向量的垂直关系，即可证明；
(2)根据数量积和向量模的公式，表示向量夹角的余弦值．
本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=cs2x+sinxcsx−12=12cs2x+12sin2x= 22sin(2x+π4)，
所以f(x)= 22sin(2x+π4)．
(2)由(1)知f(x)= 22sin(2x+π4)，
因为x∈[0,π4]，
所以2x+π4∈[π4,3π4]，
得到f(x)∈[12, 22]，
因为mf(x)<[f(x)]2−1，
所以m因为函数y=t−1t在(0,+∞)上单调递增，
所以[f(x)−1f(x)]min=12−112=−32，
所以m<−32．
故m的取值范围为(−∞,−32)．
【解析】(1)根据条件，利用降幂升角及辅助角公式，即可求出结果；
(2)利用题设条件得到f(x)∈[12, 22]，根据条件，通过变形得到m本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设FN=tFB，则AN=AF+FN=AF+tFB=AF+t(AB−AF)=(1−t)AF+tAB=1−t2AD+tAB．
设AN=μAE=μ(AD+13AB)=μAD+μ3AB，根据平面向量基本定理，可得μ=1−t2,13μ=t,，解得t=17，
所以AN=17AB+37AD，则x=17，y=37，所以xy=349．
(2)根据题意，可得AB⋅AD=2×3×13=2，
因为BE=BA+AD+DE=(λ−1)AB+AD，FE=FD+DE=λAB+12AD，
所以BE⋅FE=(λ2−λ)AB2+12AD2+(32λ−12)AB⋅AD=4(λ2−λ)+92+3λ−1=4λ2−λ+72．
因为λ∈[0,1]，所以当λ=−−12×4=18时，BE⋅FE取得最小值，且最小值为5516，
当λ=1时，BE⋅FE取得最大值，且最大值为132．
综上所述，5516≤BE⋅FE≤132，即BE⋅FE的取值范围为[5516,132]．
【解析】(1)以向量AB,AD为基底表示出向量AN，然后利用平面向量基本定理，建立关于μ、t的方程组，解出t=17，进而算出xy的值；
(2)根据平面向量数量积的定义与运算性质，建立BE⋅FE关于λ的二次函数表达式，进而利用二次函数的性质算出BE⋅FE的取值范围．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量数量积的定义与运算性质、二次函数的最值求法等知识，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设x1，x2是(0,+∞)上的任意两个实数，且x1(方法一)f(x1)−f(x2)=x12ex1−x22ex2=x12ex1−x22ex1+x22ex1−x22ex2
=ex1(x1−x2)(x1+x2)+x22(ex1−ex2)，
因为0所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)(方法二)f(x1)f(x2)=x12ex1x22ex2=(x1x2)2ex1−x2，
因为0所以00,x22ex2>0，
所以f(x1)故f(x)在[1,2]上的值域为[f(1),f(2)]，即[e,4e2].
(2)因为g(x)=x2ex−2lnx的定义域为(0,+∞)，
所以g(ex)=(ex)2eex−2ln(ex)的定义域也为(0,+∞)．
因为g(x)的最小值为m，所以g(ex)=x2eex+2−2(1+lnx)的最小值也为m．
因为y=t3+t+e为关于t的增函数，所以h(t)=ln(t3+t+e)为增函数，
又t∈[0,+∞)，所以h(t)min=h(0)=1．
由x2eex+2−2lnx+ln(t3+t+e)>m+lga，
得x2eex+2−2(1+lnx)+ln(t3+t+e)>m−2+lga，
依题意可得m+1>m−2+lga，
解得0【解析】(1)设x1，x2是(0,+∞)上的任意两个实数，且x1(2)由题意g(ex)=x2eex+2−2(1+lnx)的最小值为m，再根据y=t3+t+e为关于t的增函数，可得m+1>m−2+lga，进而可得a的取值范围．
本题主要考查了函数单调性的判断及应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．