2023-2024学年河北省廊坊市安次区八年级（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省廊坊市安次区八年级（下）月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子一定是二次根式的是( )
A. mB. − mC. 3mD. m2
2.下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 13B. 12C. 11D. 0.2
3.在下列各组线段中，能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，5B. 1， 3，2C. 1，2，3D. 1，1，2
4.二次根式 a−1在实数范围内有意义，则实数a的值可以是( )
A. −1B. 0C. 2D. 23
5.化简： (−4)2=( )
A. ±4B. −4C. 16D. 4
6.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm
7.已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为( 3,2 2)，则OA的长为( )
A. 11B. 5C. 2D. 7
8.下列运算正确的是( )
A. 9÷ 3=3B. 2 3×3 3=6 3
C. 4+ 3= 7D. 3 3− 12= 3
9.如图，一块模板材料是分别以一个直角三角形的一条直角边和斜边为一边向外作正方形得到的，两个正方形的面积分别为9cm2和21cm2，则这个直角三角形的面积为( )
A. 12cm2
B. 3 3cm2
C. 6 3cm2
D. 6 3cm2(重复)
10.若a= 3,b= 5，则 15a2b2=( )
A. 15B. 5C. 3D. 5
11.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不与点B，C重合).当△ACD的面积为3 3时，BD的长为( )
A. 6 3
B. 8−3 3
C. 6−2 3
D. 8−2 3
12.若x为实数，在“( 3+1)☐x”的“☐”中添上一种运算符号(在“+”“=”“×”“÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( )
A. 3+1B. 3−1C. 2 3D. 1− 3
13.如图，一个圆柱的底面半径为8π，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为( )
A. 10
B. 12
C. 14
D. 20
14.已知y= x−12+ 12−x+3，则 xy=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
15.四边形ABCD的部分边长如图所示，边BC的长度随四边形形状的改变而变化.当∠D=90°时，四边形ABCD的边BC的长可以是( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 7
16.对于任意的正数a,b,定义运算★，a★b= b− a(b≤a) b+ a(b＞a)，计算（5★4）×（16★20）的结果为（ ）
A. 2 5+4B. 4− 5C. 2D. -2
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.若 16n是整数，写出一个符合条件的整数n的值：______．
18.若3− 2的整数部分为a，小数部分为b，则b= ______，代数式( 2a+2)⋅b的值是______．
19.如图，在数轴上，点A表示的数是2，△OAB是直角三角形，∠OAB=90°，AB=1，现以点O为圆心，线段OB的长为半径画弧，交数轴负半轴于点C，则AC= ______，点C关于点A的对称点C1表示的数为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题9分)
计算下列各题：
(1) 24− 12⋅( 18+ 12)．
(2)(2− 3)2−(2 3+ 5)(2 3− 5)．
21.(本小题9分)
如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接小正方形的三个顶点得到△ABC，小正方形的顶点D在△ABC的边AB上，解答下列问题：
(1)判断△ABC的形状并求出其周长；
(2)求△ACD和△BCD的周长之差．
22.(本小题9分)
已知x=4+2 3,y=4−2 3，分别求下列代数式的值：
(1)x2y−xy2；
(2)x2−2xy+y2．
23.(本小题10分)
“为了安全，请勿超速”.如图，一条公路建成通车，在某路段MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知∠CBN=60°，BC=200米，AC=100 6米.
(1)请求出观测点C到公路MN的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由.(参考数据： 2≈1.41, 3≈1.73)
24.(本小题10分)
嘉琪在学习《二次根式》时，发现一些含有根号的式子也可以写成完全平方式的形式，如3+2 2=(1+ 2)2，善于思考的嘉琪进行了如下探索：
设a+b 2=(m+n 2)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a+b 2=m2+2mn 2+2n2．
所以a=m2+2n2，b=2mn.这样，嘉琪找到了把类似a+b 2的式子化为完全平方式的方法请你仿照嘉琪的方法探索并解决问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a+b 3=(m+n 3)2，用含m，n的式子分别表示a和b；
(2)利用所探索的结论，找一组满足(1)中关系式a+b 3=(m+n 3)2的正整数a，b.m.n；
(3)若a+4 3=(m+n 3)2.且a，b，m，n均为正整数，求a的值．
25.(本小题12分)
物体在做自由落体运动时，下落时间t(s)和下落高度h(m)之间满足关系式t= 2hg，其中g≈10m/s2(不考虑空气阻力)．
(1)小球从50m的高空自由下落，需要多长时间到达地面？
(2)小芳认为，小球从100m的高空下落需要的时间是从50m的高空下落需要的时间的2倍，你认为小芳的想法正确吗？如果不正确，请说明理由；
(3)据研究，高空下落物体的动能(单位：J)=10×物体的质量(单位：kg)×高度(单位：m)，将某个质量为0.04kg的皮球从高空抛下，经过5s后落在地上，这个皮球产生的动能是多少？
26.(本小题13分)
有一块长方形纸板，嘉琪用如图1所示的方式，在纸板上截出两块面积分别为27dm2和48dm2的正方形纸板．
(1)求截出的这两块正方形纸板的边长；
(2)嘉琪用截出的两块正方形纸板按如图2所示的方式进行拼接，得到两个直角三角形(阴影部分)，求这两个直角三角形的面积之和；
(3)现有若干完全相同的长方形纸板，每个长方形纸板恰好可以截出两块面积分别为18 dm2和32dm2的正方形，嘉琪打算将截完正方形后剩余的小长方形纸板再次进行裁剪拼接，铺满(2)中得到的两个直角三角形(阴影部分)，那么她至少要用多少块这样的小长方形纸板？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、当m<0时， m无意义，故本选项不符合题意；
B、当m<0时，− m无意义，故本选项不符合题意；
C、3m不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意．
D、 m2是二次根式，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
根据二次根式的定义解答即可．
考查了二次根式的定义，根据一般的，我们把形如“ a(a≥0)”的式子叫二次根式．
2.【答案】C
【解析】解：A． 13=13 3，故不是最简二次根式，不符合题意；
B. 12=2 3，故不是最简二次根式，不符合题意；
C. 11是最简二次根式，符合题意；
D. 0.2= 15=15 5，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、12+22≠52，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、12+( 3)2=22，能构成直角三角形，符合题意；
C、12+22≠32，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、12+12≠22，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形”判定则可．
本题考查了勾股定理的逆定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题意，得a−1≥0，
∴a≥1，
∴实数a的值可以是2．
故选：C．
根据被开方数是非负数列式求解即可．
本题考查了二次根式的定义，形如 a(a≥0)的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5.【答案】D
【解析】解： (−4)2= 16=4．
故选：D．
根据乘方运算法则和算术平方根的性质求解即可．
本题主要考查了有理数乘方运算以及求一个数的算术平方根，理解并掌握算术平方根的性质是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可知AB=8cm，CD=3cm，点C为AB的中点，且CD⊥AB，
∴AC=12AB=4cm．
在Rt△ACD中，AC=4cm，CD=3cm，
根据勾股定理得：AD= AC2+CD2= 32+42=5(cm)．
∵C为AB的中点，CD⊥AB，
∴CD垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴AD+BD−AB=2AD−AB=10−8=2(cm)，即橡皮筋被拉长了2cm，
答：橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
由题意知AB=8，则AC=4，CD=3，且CD⊥AB，根据勾股定理可求出AD的长度，分析题意知橡皮筋被拉的长度=AD+DB−AB，根据CD是AB边上的中垂线，知三角形ADB是等腰三角形，即AD=DB，代入所求出的数值，即可得出橡皮筋被拉的长度．
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵点A的坐标为( 3,2 2)，
∴OA= ( 3)2+(2 2)2= 11．
故选：A．
根据两点间的距离公式求解即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A．B. 9÷ 3= 3，故不正确，不符合题意；
B.2 3×3 3=18，故不正确，不符合题意；
C. 4与 3不是同类二次根式，不能合并，故不正确，不符合题意；
D.3 3− 12=3 3−2 3= 3，正确，符合题意；
故选：D．
根据二次根式的乘法、除法、加法和减法法则计算即可．
本题考查了二次根式的乘法和除法，以及二次根式的加法和减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵两个正方形的面积分别为9cm2和21cm2，
∴AC= 9=3(cm)，AB= 21cm，
∵△ABC为直角三角形，
∴BC= AB2−AC2= 21−9=2 3(cm)，
∴这个直角三角形的面积为：
S△ABC=12AC×BC=12×3×2 3=3 3(cm2)．
故选：B．
根据勾股定理求出另一条直角边的长，再根据直角三角形的面积公式求出直角三角形的面积．
本题考查了勾股定理、算术平方根以及直角三角形面积的求法，理解直角三角形的面积等于其两直角边长乘积的一半是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：将a= 3,b= 5代入 15a2b2═ 15×( 3)2( 5)2= 15×35=3，
故选：C．
将a= 3,b= 5代入 15a2b2，根据二次根式的性质即可求解．
本题考查了二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：过A作AH⊥BC交BC于H，
∵AB=AC，
∴H为BC中点，
∵BH=CH=12BC=4，
在Rt△ABH中，
AH2=AB2−BH2=25−16=9，
∴AH=3，
∵S△ACD=12×CD×AH=3 3，
∴CD=2 3，
∴BD=BC−CD=8−2 3，
故选：D．
过A作AH⊥BC交BC于H，先由AB=AC=5，BC=8，可求出AH=3，再表示出Rt△ACH面积即可求出BD的长．
本题考查等腰三角形性质，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：当x= 3+1时，“☐”中添上“−”，
则( 3+1)−( 3+1)=0，其运算的结果为有理数，
∴A选项不符合题意；
当x= 3−1时，“☐”中添上“−”，
则( 3+1)−( 3−1)=2，其运算的结果为有理数，
∴B选项不符合题意；
当x=2 3时，“☐”中添上“+”，
则( 3+1)+2 3=3 3+1，其运算的结果为无理数，
当x=2 3时，“☐”中添上“−”，
则( 3+1)−2 3=− 3+1，其运算的结果为无理数，
当x=2 3时，“☐”中添上“×”，
则( 3+1)×2 3=6+2 3，其运算的结果为无理数，
当x=2 3时，“☐”中添上“÷”，
则( 3+1)÷2 3=3+ 36，其运算的结果为无理数，
∴C选项符合题意；
当x=1− 3时，“☐”中添上“+”，
则( 3+1)+(1− 3)=2，其运算的结果为有理数，
∴D选项不符合题意，
故选：C．
依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．
13.【答案】A
【解析】解：如图所示，
∵在圆柱中，底面半径为8π，BC=12，
∴展开图中，AB=12×2×8π×π=8，BS=12BC=6，
∴AS= 82+62=10．
故选：A．
先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．
本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
14.【答案】C
【解析】解：∵x−12≥012−x≥0，
∴x=12，
∴y= 12−12+ 12−x12+3=3，
∴ xy= 123=2．
故选：C．
先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代入 xy计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，根据二次根式有意义的条件求出x的值是解答本题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：∵∠D=90°，AD=DC= 2，
∴AC=2，
∵AB=5，
∴5−2观察四个选项边BC的长可以是4，
故选：C．
利用勾股定理求得AC=2，再根据三角形的三边关系列不等式求解即可．
本题考查了勾股定理，三角形的三边关系，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
16.【答案】D
【解析】解：根据题意，可得
（5★4）×（16★20）
=( 4− 5)×( 20+ 16)
=(2− 5)×(2 5+4)
=2×(2− 5)×(2+ 5)
=2×[(22−( 5)2]
=2×（4-5）
=-2．
故选：D．
根据新定义的运算，结合二次根式运算法则和平方差公式进行求解即可．
本题主要考查了新定义下的实数运算、二次根式混合运算、运用平方差公式进行运算等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题关键．
17.【答案】1(答案不唯一)
【解析】解：∵ 16n是整数，
∴16n可以为1或4或16，
则整数n的值对应为16或4或1，
故答案为：1( 答案不唯一)．
根据题意完全平方数即可求解．
本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
18.【答案】2− 2 2
【解析】解：由题意知，1< 2<2，
∴−2<− 2<−1，1<3− 2<2，
∴a=1，b=3− 2−1=2− 2，
∴( 2a+2)⋅b=( 2+2)⋅(2− 2)=2，
故答案为：2− 2，2．
由题意知，1< 2<2，则1<3− 2<2，a=1，b=3− 2−1，然后代入求解即可．
本题考查了无理数的估算，无理数的整数部分，平方差公式等知识．熟练掌握无理数的估算，无理数的整数部分，平方差公式是解题的关键．
19.【答案】2+ 5 4+ 5
【解析】解：∵点A表示的数是2，
∴OA=2，
在Rt△OAB中，∠OAB=90°，AB=1，OA=2，则由勾股定理可得OB= OA2+AB2= 22+12= 5，
∴CO=OB= 5，
∴AC=CO+OA=2+ 5；
∵点C1与点C关于点A对称，
∴C1A=AC，
设点C1表示的数为a，则a−2=2+ 5，
解得a=4+ 5；
故答案为：2+ 5；4+ 5．
先由勾股定理得到OB长，由题意，结合图形即可得到C对应的数，由数轴上两点之间距离的表示方法即可得到AC长；再根据数轴上点的对称即可求出点C1表示的数，
本题考查数轴上求点对应的数，涉及勾股定理、点的对称、数轴上两点之间距离的表示等知识，熟记数轴性质，数形结合是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1) 24− 12⋅( 18+ 12)
=2 6−( 116+ 12×12)
=2 6−14− 6
= 6−14；
(2)(2− 3)2−(2 3+ 5)(2 3− 5)
=4−4 3+3−(12−5)
=7−4 3−7
=−4 3．
【解析】(1)根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
(2)根据完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行计算即可．
本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
21.【答案】解：(1)∵AB= 32+32=3 2,BC= 12+42= 17,AC= 12+42= 17,BC=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴C△ABC=AB+BC+AC=3 2+ 17+ 17=3 2+2 17；
(2)∵C△ACD=AC+CD+AD，C△BCD=BC+CD+BD，BC=AC，
∴C△ACD−C△BCD=AD−BD；
∵AD= 22+22=2 2,BD= 12+12= 2，
∴AD−BD=2 2− 2= 2，即△ACD与△BCD的周长之差为 2．
【解析】在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
(1)根据勾股定理分别求出AB，BC，AC的值即可求解；
(2)根据勾股定理分别求出AD，BD的值即可求解．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵x=4+2 3,y=4−2 3，
∴x−y=4 3,xy=16−12=4，
∴x2y−xy2=xy(x−y)=4×4 3=16 3；
(2)由(1)知x−y=4 3，
∴x2−2xy+y2=(x−y)2=(4 3)2=48．
【解析】(1)先求出x−y和xy的值，把x2y−xy2因式分解后代入计算即可；
(2)因式分解后把x−y=4 3代入计算即可．
本题考查了因式分解的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)过点C作CH⊥MN于H，
在Rt△BCH中，
∵∠CBN=60°，
∴∠BCH=30°．
∵BC=200米
∴BH=12BC=100米，
∴CH= BC2−BH2=100 3米，
即观测点C到公路MN的距离为100 3米．

(2)∵AC=100 6米，∠CHA=90°，
∴AH= CA2−CH2=100 3米，
∴AB=AH−BH=100 3−100≈73(米)，
∴车速为73÷5=735(米/秒)，
∵60千米/小时=503米秒，735<503，
∴此车没有超速．
【解析】(1)过点C作CH⊥MN于H，先求出BH的长，再用勾股定理求解即可；
(2)先求出AH的长，再求出AB的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)∵a+b 3=(m+n 3)2，
∴a+b 3=m2+2 3mn+3n2，
∴a=m2+3n2，b=2mn；
(2)由(1)可得a=13，b=4，m=1，n=2；
(3)由b=2mn可得4=2mn，即mn=2，
∵a，m，n均为正整数，
∴m=1，n=2或m=2，n=1，
当m=1，n=2时，a=m2+3n2=13；
当m=2，n=1时，a=m2+3n2=7，
综上，a的值为13或7．
【解析】(1)根据上面的例子，将(m+n 3)2按完全平方公式展开，可得出答案；
(2)由(1)可写出一组答案，不唯一；
(3)由b=2mn可得mn=2，再由a，m，n均为正整数，得到m=1，n=2或m=2，n=1，据此求解即可．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确记忆相关知识点是解题关键．
25.【答案】解：(1)将h=50，g≈10代入t= 2hg，得t≈ 2×5010≈ 10s；
(2)小芳的想法不正确，
∵将h=100，g≈10代入t= 2hg，
得t≈ 2×10010≈ 20s, 20÷ 10= 2，
即小球从100m的高空下落需要的时间是从50m的高空下落需要的时间的 2倍，
∴小芳的想法不正确；
(3)∵t= 2hg=5,g≈10，
∴2h10≈25，
解得h≈125m，
∴这个皮球落地产生的动能≈10×0.04×125≈50J．
【解析】(1)把h=50m代入t= 2hg计算即可；
(2)把h=100m代入t= 2hg求出t的值，再除以(1)中结果即可；
(3)先把把t=5s代入t= 2hg求出h的值，然后根据动能的计算方法求解即可．
本题考查了求函数或自变量的值，以及二次根式的运算，正确计算是解答本题的关键．
26.【答案】解：(1)∵ 27=3 3，
∴面积为27dm2的正方形边长为3 3dm，
同理，面积为48dm2的正方形边长为4 3dm；
(2)∵得到的这两个直角三角形的直角边长分别为3 3dm和4 3dm，
∴这两个直角三角形的面积之和为12×3 3×4 3×2=36dm2；
(3)18dm2的正方形边长为3 2dm，32dm2的正方形边长为4 2dm
∴剩余小长方形纸板的边长分别为3 2dm和 2dm
∴剩余小长方形的面积为6dm2，36÷6=6
∴至少要用6块剩余小长方形纸板就可以将两个直角三角形(阴影部分)铺满．
【解析】(1)利用算术平方根的含义，结合二次根式的化简可得答案；
(2)先列式，再利用二次根式的乘法运算计算即可；
(3)先得到剩余小长方形纸板的边长分别为3 2dm和 2dm，可得剩余小长方形的面积为6dm2，从而可得答案．
本题考查的是二次根式的实际应用，理解题意是关键．