2023-2024学年陕西省延安市吴起县八年级（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省延安市吴起县八年级（下）月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简 (−2)2的结果是( )
A. −2B. 2C. 2 2D. 16
2.若 x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
3.在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是( )
A. 1， 2, 3B. 9，40，41C. 2，3， 5D. 3, 4, 5
4.下列式子中，运算结果正确的是( )
A. 12+ 3= 15B. 12− 3= 3
C. 12× 3=3 6D. 12÷ 3=4 3
5.如图，数轴上点A表示的数是−2，点B表示的数是0，CB⊥AB于点B，且BC=1，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数是( )
A. 5−2B. 2− 5C. 5D. 52
6.如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为( )
A. 1.8米
B. 2米
C. 2.5米
D. 2.7米
7.黄金分割数为 5−12，下列估算黄金分割正确的是( )
A. 0< 5−12<25B. 25< 5−12<12C. 12< 5−12<1D. 5−12>1
8.如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，且BE=2AE，则正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为( )
A. 2：1
B. 2：1
C. 3： 5
D. 9：5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.请写出一组勾股数______(三个数都要大于10)．
10.若最简二次根式 a能与 28合并，则a= ______．
11.如图，一艘小船以15海里/时的速度从港口A出发，向东北方向航行，另一小船以8海里/时的速度同时从港口A出发，向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距______海里．
12.观察下列各数：0， 3, 6，3，2 3, 15,3 2,⋯.那么第10个数应是______．
13.如图，这是证明勾股定理的另一种方法.梯形ABCD的面积等于两个全等的直角三角形的面积加上一个等腰直角三角形的面积，用等式表示是______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算： 15÷ 5+ 2× 6．
15.(本小题5分)
计算： 8− 18+ 32− 92．
16.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，b= 2，求a的值．
17.(本小题5分)
已知a= 2−1，b= 2+1，求代数式a2+ab+b2的值．
18.(本小题5分)
若a，b，c满足(6−a)2+|b−8|+ 10−c=0．
(1)求a，b，c的值．
(2)以a，b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由．
19.(本小题5分)
一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度.已知动能的计算公式是Ek=12mv2，其中Ek表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒.现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克.若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度(结果保留根号)．
20.(本小题5分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，请按下列要求作图.(不写作法，保留作图痕迹)

(1)在图1中作线段AB，点A，B都在格点上，且AB=5．
(2)在图2中作等腰直角三角形CDE，点C，D，E都在格点上，且S△CDE=5．
21.(本小题6分)
一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示，小敏和小云想测钢索AB的长度.她们测得∠ABD为30°.由于B，D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为60°，点B与点C之间的距离约为20m.已知B，C，D三点共线，AD⊥BD，求钢索AB的长，(结果保留根号)
22.(本小题7分)
如图，A，B两点在数轴上对应的数分别是− 3， 5，C是数轴上一动点，设点C对应的数是x．

(1)若C是线段AB的中点，求x的值．
(2)若AC=2BC，求x的值．
23.(本小题7分)
如图，秋千OA在平衡位置时，下端A距地面0.6m，当秋千荡到OA1的位置时，下端A1距平衡时的水平距离A1B为2.4m，距地面1.4m，求秋千OA的长度．
24.(本小题8分)
如图，在△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，D是边AB上一点(不与点A、B重合)．
(1)求证：AD=BE．
(2)若AC=4 2,AD=3，求DC的长．
25.(本小题8分)
课本再现
如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b(b>a>0)，斜边长为c．

(1)请利用图1验证勾股定理；
知识应用
(2)在图1中，若c=15，b=12，求小正方形的面积；
(3)小明按图2的方式把边长为3cm和2cm的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是______．
26.(本小题10分)
特例感知
化简：1 2+1．
解：1 2+1= 2−1( 2+1)×( 2−1)= 2−1( 2)2−12= 2−11= 2−1．
(1)请在横线上直接写出化简的结果：
①1 3+ 2= ______；
②12+ 3= ______．
观察发现
(2)第n个式子是1 n+1+ n(n为正整数)，请求出该式子化简的结果(需要写出推理步骤)．
拓展应用
(3)从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：
①(1 2+ 1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 2024+ 2023)×( 2024+1)；
②12 1+1 2+13 2+2 3+14 3+3 4+⋯+12029 2028+2028 2029．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： (−2)2= 4=2，
故选：B．
根据算术平方根的性质 a2=|a|计算即可．
本题考查二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：由题意得x+2≥0，
解得x≥−2．
故选：D．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、12+( 2)2=( 3)2，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、92+402=412，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、22+( 5)2=32，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、( 3)2+( 4)2≠( 5)2，根据勾股定理，不是直角三角形，故本选符合题意．
故选：D．
利用勾股定理的逆定理判定三角形是否是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，是基础知识，比较简单，熟练掌握勾股定理逆定理是关键．
4.【答案】B
【解析】解：A. 12+ 3=2 3+ 3=3 3，错误，不符合题意；
B. 12− 3= 3，正确，符合题意；
C. 12× 3= 36=6，错误，不符合题意；
D. 12÷ 3= 4=2，错误，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式运算法则计算判断即可，
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，得BA=2，BC=1，
故AC= AB2+BC2= 5，
故点A向右平移 5个单位长度即可得到点D表示的是数，即 5−2，
故选：A．
根据勾股定理，得AC= AB2+BC2= 5，点A向右平移 5个单位长度即可得到点D表示的是数．
本题考查了勾股定理，数轴上点的平移，熟练掌握左减右加是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：如图，由题意可知，AE=2.4米，BE=0.7米，CD=1.5米，AB=BC，
由勾股定理得，AB= AE2+BE2= 2．42+0．72=2.5(米)，
∴BC=2.5米，
∴BD= BC2−CD2= 2．52−1．52=2(米)，
∴DE=BD+DE=2.7米，
即小巷的宽度为2.7米，
故选：D．
根据题意由勾股定理得出AB的长即可得出BC的长，再根据勾股定理求出BD的长即可得出结果．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵ 5> 4=2， 5< 9=3，
∴1< 5−1<2，
∴12< 5−12<1，
故选：C．
先求得 5> 4=2， 5< 9=3，进一步计算即可求得．
本题考查了无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD与正方形EFGH，
∴两个正方形相似，
∴正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为(ABEF)2，
根据BE=2AE，设BE=2x，AE=x，
∴AB=BE+AE=3x,EF= x2+(2x)2= 5x，
∴正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为(3x 5x)2=9：5，
故选：D．
根据BE=2AE，设BE=2x，AE=x，则AB=BE+AE=3x,EF= x2+(2x)2= 5x，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算即可．
本题考查了勾股定理，多边形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
9.【答案】16，12，20(答案不唯一)
【解析】解：∵162+122=202，
∴16，12，20是一组勾股数．
故答案为：16，12，20(答案不唯一)．
根据题意，只要满足a2+b2=c2的三个正整数，即称为勾股数，满足这个条件的三个正整数有很多组，如16，12，20等．
本题考查了勾股数，只要符合a2+b2=c2的三个正整数a、b、c就称为勾股数，比较简单．
10.【答案】7
【解析】解： 28=2 7，
且最简二次根式 a能与 28合并，
故a=7，
故答案为：7．
先化简 28=2 7，根据最简二次根式的定义计算即可．
本题考查了同类二次根式，熟练化简是解题的关键．
11.【答案】34
【解析】解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接BC，如图所示：
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了15×2=30(海里)，8×2=16(海里)，
根据勾股定理得： 302+162=34(海里)，
即离开港口2小时后，两船相距34海里．
故答案为：34．
根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了30海里和16海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是关键．
12.【答案】3 3
【解析】解：根据题意，0， 3, 6，3，2 3, 15,3 2,⋯
故第n个为 3(n−1)，
当n=10时， 3(n−1)= 27=3 3，
故答案为：3 3．
仔细观察被开方数，其规律为 3(n−1)，故当n=10时，计算即可．
本题考查了二次根式的规律，正确找到规律是解题的关键．
13.【答案】12(a+b)2=2×12ab+12c2
【解析】解：根据题意，得12(a+b)2=2×12ab+12c2，
故答案为：12(a+b)2=2×12ab+12c2．
利用两种方法计算梯形的面积可得结论．
本题考查梯形，三角形的面积，全等图形等知识，正确计算是解题的关键．
14.【答案】解：原式= 3+2 3=3 3．
【解析】根据二次根式的运算法则解答即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握法则是解题的关键．
15.【答案】解：原式=2 2−3 2+4 2−3 22
=3 22．
【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的化简法则是解题的关键．
16.【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴c=2b=2 2，
a= c2−b2= (2 2)2−( 2)2= 6，
∴a= 6．
【解析】由∠C=90°，∠A=60°可得∠B=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得c=2b=2 2，再根据勾股定理即可求出a的值，
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
17.【答案】解：∵a= 2−1，b= 2+1，
∴a+b=2 2，ab=1，
∴a2+ab+b2=(a+b)2−ab=(2 2)2−1=8−1=7．
【解析】利用整体代入的思想计算即可．
本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握完全平方式的应用是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)∵(6−a)2+|b−8|+ 10−c=0，
∴6−a=0，b−8=0，10−c=0，
∴a=6，b=8，c=10．
(2)能构成直角三角形．
理由：∵a2+b2=62+82=100，c2=102=100，
∴a2+b2=c2，
∴以a，b，c为边长能构成直角三角形．
【解析】(1)根据实数的非负性解答即可．
(2)根据勾股定理的逆定理解答即可．
本题考查了实数的非负性，勾股定理的逆定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
19.【答案】解：由题意可知Ek=12mv2，
∴1000=12×60v2，
∴v= 1003=10 33(米/秒)．
答：该运员的跑步速度是10 33米/秒．
【解析】根据题目所给公式建立方程求解即可．
本题主要考查了二次根式的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
20.【答案】解：(1)如图，取格点A，B，F，连接AB，AF，BF，
∵在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，
∴∠AFB=90°，AF=4，BF=3，
∴AB= AF2+BF2= 42+32=5，
则线段AB即为所作(画法不唯一)；

(2)如图，取格点C，D，E，连接CD，DE，CE，
∵在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，
∴AE= 42+22= 20=2 5，
CD= 32+12= 10，
DE= 32+12= 10，
∴CD=DE，
∴△CDE是等腰三角形，
∵AE2=(2 5)2=20，CD2=DE2=( 10)2=10，
∴CD2+DE2=10+10=20=AE2，
∴∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
又S△CDE=12× 10× 10=12×10=5，
则△CDE即为所作(画法不唯一)．

【解析】(1)如图，取格点A，B，连接AB即可；
(2)如图，取格点C，D，E，连接CD，DE，CE即可．
本题考查作图—应用与设计作图，考查了网格线的特点，勾股定理，等腰直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识点．掌握等腰直角三角形的定义、勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．
21.【答案】解：∵∠ABD=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABD=30°，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC=20m．
∵AD⊥BD，∠ACD=60°，
∴∠CAD=90°−60°=30°，
∴CD=12AC=10m，
根据勾股定理，得AD= AC2−CD2=10 3m，
在△ABD中，AD⊥BD，∠ABD=30°，
∴AB=2AD=20 3m．
答：钢索AB的长度是20 3m．
【解析】先根据三角形外角性质求出∠BAC=∠ACD−∠ABD=30°，得出∠BAC=∠ABC，根据等腰三角形的判定得出AC=BC=20m，再根据勾股定理求出AD= AC2−CD2=10 3m，最后根据直角三角形的性质求出结果即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
22.【答案】解：(1)由题意得：
x=12×( 5− 3)= 5− 32，
∴x的值为 5− 32．
(2)根据题意可知AC=2BC，
即可列x−(− 3)=2|x− 5|，
解得：x=2 5+ 3或x=2 5− 33，
∴点C对应的数是x=2 5+ 3或2 5− 33．
【解析】(1)用中点公式可得x的值；
(2)由AC=2BC，得x−(− 3)=2|x− 5|，即可解得C对应的数x．
本题考查的是一元一次方程的应用，实数与数轴，解题的关键是根据题意列方程并正确求出结果．
23.【答案】解：设OA=xm，则OA1=xm，OB=x−(1.4−0.6)=(x−0.8)m．
在Rt△OBA1中，由勾股定理得OB2+A1B2=OA12，
即(x−0.8)2+2.42=x2，
解得x=4．
答：秋千OA的长度为4m．
【解析】设OA=xm，则OA1=xm，OB=x−(1.4−0.6)=(x−0.8)m根据勾股定理计算即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
∵AC=BC，DC=EC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE．
(2)解：∵∠ACB=90°,AC=BC=4 2，
∴AB= AC2+BC2= (4 2)2+(4 2)2= 32+32=8，
又∵△ACD≌△BCE，AD=3，
∴∠CBE=∠A=45°，BE=3，DB=8−3=5，
∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°，
在Rt△DBE中，DE= DB2+BE2= 52+32= 34，
∵∠DCE=90°，DC=EC，
∴根据勾股定理有DC2+EC2=DE2，2DC2=34，
∴DC= 17．
【解析】(1)利用三角形全等证明即可．
(2)根据全等三角形的性质，结合勾股定理计算即可．
本题考查了三角形全等的证明，勾股定理，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定定理是解题的关键．
25.【答案】 13cm
【解析】(1)证明：∵大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，
∴c2=(b−a)2+4×12ab
=b2−2ab+a2+2ab
=b2+a2，
∴a2+b2=c2．
(2)解：由勾股定理得a= c2−b2= 152−122=9，
∴小正方形的面积S=(12−9)2=9．
(3)解：∵大正方形的面积为：32+22=9+4=13(cm2)，
∴大正方形的边长： 13cm．
(1)根据大正方形的面积的两种表示方法=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，列式证明即可；
(2)先根据勾股定理求出a=9，然后根据正方形的面积公式求解即可；
(3)根据两个图形的面积相等，求出图3中大正方形的面积，然后再求出边长即可．
本题主要考查了勾股定理的几何证明，利用勾股定理进行计算，算术平方根的应用，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题．
26.【答案】 3− 2 2− 3
【解析】解：(1)①1 3+ 2= ( 3− 2)( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2；
故答案为： 3− 2；
②12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3，
故答案为：2− 3．
(2)1 n+1+ n= n+1− n( n+1+ n)( n+1− n)
= n+1− n( n+1)2−( n)2
= n+1− nn+1−n
= n+1− n．
(3)①原式=( 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋯+ 2024− 2023)×( 2024+1)
=( 2024−1)×( 2024+1)
=2023．
②12 1+1 2=2 1−1 22=1− 22；
13 2+2 3=3 2−2 36= 22− 33；
14 3+3 4=4 3−3 412= 33− 44；
…
12029 2028+2028 2029= 20282028− 20292029．
∴原式=1− 22+ 22− 33+ 33− 44+⋯+ 20282028− 20292029
=1− 20292029．
(1)①利用题干中反映的规律解答即可，②利用题干中反映的规律解答即可；
(2)利用(1)中的方法解答即可；
(3)①利用(2)中的规律将式子中的每一项变成两数之差即可得出结论；②先把原式分母有理化为=1− 22+ 22− 33+ 33− 44+⋯+ 20282028− 20292029，再利用(2)中的规律计算，即可求解．
本题考查了数字的变化规律，分母有理化，二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．