福建省龙岩市非一级达标校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份福建省龙岩市非一级达标校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）＝（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）复数的实部和虚部分别是（ ）
A．1，1B．1，iC．D．
3．（5分）下列结论正确的是（ ）
A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
4．（5分）如图，△O′A′B′是△OAB在斜二测画法下的直观图，其中O′B′＝2O′A′＝4，则△OAB的面积是（ ）
A．B．4C．8D．
5．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝3：4：6，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定的
6．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若m∥α，n∥m，则n∥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
7．（5分）如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定C处，测得AB＝30米，∠ABC＝75°，∠BAC＝45°，则该河流的宽度是（ ）
A．米B．米C．米D．米
8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，点P为棱BB1上的动点（含端点），则AP+PC的最小值是（ ）
A．6B．C．8D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知复数z＝（1+2i）i5，则（ ）
A．B．C．D．
（多选）10．（6分）用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．三棱锥
（多选）11．（6分）对任意两个非零的平面向量和，定义：；．若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为（ ）
A．1B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）一个棱台至少有 个面．
13．（5分）在△ABC中，D，E分别在边BC，AC上，且，若，则x﹣y＝ ，线段AD与BE交于点F，则＝ ．
14．（5分）如图，在扇形OAB中，半径OA＝4，∠AOB＝90°，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知复数z＝a2﹣2a﹣3+（a﹣3）i，a∈R．
（1）若z是纯虚数，求a的值；
（2）若z+i在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围．
16．（15分）如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的．已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面）ABCD是边长为6的正方形．
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积．
17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，sin2A﹣sin2B＝sin2C（csB﹣1）．
（1）求的值；
（2）若a＝3，，求△ABC的面积．
18．（17分）如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝6，E，F分别在棱A1B1，B1C1上，且B1E＝B1F＝1．
（1）证明：AA1∥平面BC1D．
（2）证明：直线AE，BB1，CF交于同一点．
19．（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（10，0），C（11，3），D（10，6）．
（1）①证明：cs∠ABC+cs∠ADC＝0．
②证明存在点P，使得PA＝PB＝PC＝PD，并求出P的坐标．
（2）若点E在四边形ABCD的四条边上运动，且CE将四边形ABCD分成周长相等的两部分，求点E的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：＝＝．
故选：B．
2．（5分）复数的实部和虚部分别是（ ）
A．1，1B．1，iC．D．
【解答】解：z＝＝＝1+i，则实部和虚部分别是1，1．
故选：A．
3．（5分）下列结论正确的是（ ）
A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，各侧面都是全等的等腰三角形，且底面为正多边形的棱锥是正棱锥，A错误；
对于B，绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，B错误；
对于C，若几何体中，有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形，不能保证侧棱的延长线交于一点，该几何体不一定为棱台，C错误；
对于D，由棱台的定义，棱台的所有侧棱所在直线必交于一点，D正确．
故选：D．
4．（5分）如图，△O′A′B′是△OAB在斜二测画法下的直观图，其中O′B′＝2O′A′＝4，则△OAB的面积是（ ）
A．B．4C．8D．
【解答】解：根据题意，直观图△O′A′B′中，O′B′＝2O′A′＝4，∠B′O′A′＝45°，
则其直观图的面积S′＝×O′B′×O′A′×sin45°＝2，
则原图的面积S＝2S′＝2×2＝8．
故选：C．
5．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝3：4：6，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定的
【解答】解：∵sinA：sinB：sinC＝3：4：6，
由正弦定理得a：b：c＝3：4：6，
令a＝3t，b＝4t，c＝6t，t＞0，
则csC＝＝＝﹣＜0，
则∠C为钝角，
则△ABC为钝角三角形．
故选：C．
6．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若m∥α，n∥m，则n∥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
【解答】解：m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，
对于A，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A错误；
对于B，若m∥α，n∥m，则n∥α或n⊂α，故B错误；
对于C，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则由线面平行的性质得m∥n，故D正确．
故选：D．
7．（5分）如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定C处，测得AB＝30米，∠ABC＝75°，∠BAC＝45°，则该河流的宽度是（ ）
A．米B．米C．米D．米
【解答】解：因为AB＝30米，∠ABC＝75°，∠BAC＝45°，所以∠ACB＝60°，
在△ABC中，由正弦定理可得，
则＝＝米，
如图，作CD⊥AB，垂足为D，
因为sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cs45°+cs30°sin45°＝，
所以在Rt△BDC中，CD＝BCsin∠ABC＝米，
所以该河流的宽度是米．
故选：A．
8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，点P为棱BB1上的动点（含端点），则AP+PC的最小值是（ ）
A．6B．C．8D．
【解答】解：如图，把四边形A1ABB1，BB1C1C展开至同一个平面，连接AC，AC1，AB1，
易知AP+PC的最小值就是展开图中AC的长，
在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，
则，
即AP+PC的最小值为．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知复数z＝（1+2i）i5，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：z＝（1+2i）i5＝（1+2i）i＝﹣2+i，
＝﹣2﹣i，故A错误；
|z|＝＝，故B正确；
z+＝﹣2+i+（﹣2﹣i）＝﹣4，故C错误；
z﹣＝﹣2+i﹣（﹣2﹣i）＝2i，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（6分）用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．三棱锥
【解答】解：用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线的一支、三角形，不可能是四边形，故A不满足要求；
用一个平面去截一个圆柱，轴截面是四边形，故B满足要求；
用一个平面去截一个三棱柱，当截面平行于侧棱时，截面是四边形，故C满足要求；
用一个平面去截一个三棱锥，当截面经过两组对棱的中点时，截面是四边形，故D满足要求．
故选：BCD．
（多选）11．（6分）对任意两个非零的平面向量和，定义：；．若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为（ ）
A．1B．C．D．
【解答】解：，设向量和的夹角为，则：，
因为，所以，所以，所以，
故，⊙＝，
当时，，又，所以，符合题意；
当时，，又，所以，符合题意，
所以或．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）一个棱台至少有 5 个面．
【解答】解：易知面数最少的棱台是三棱台，
而三棱台有5个面，
则一个棱台至少有5个面．
故答案为：5．
13．（5分）在△ABC中，D，E分别在边BC，AC上，且，若，则x﹣y＝ ，线段AD与BE交于点F，则＝ 9 ．
【解答】解：因为，所以，
因为，
所以，
则，，
故，
因为B，F，E三点共线，所以＝，
因为＝3，
所以，
所以，
因为A，F，D三点共线，所以，
所以，
所以，解得k＝，
则＝9．
故答案为：，9．
14．（5分）如图，在扇形OAB中，半径OA＝4，∠AOB＝90°，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是 （8，12] ．
【解答】解：连接OE、AB，设∠AOE＝2θ，则∠BOE＝﹣2θ，∠ABE＝θ，所以∠OBE＝θ+；
在△OBE中，由正弦定理得，＝，则BE＝＝＝8cs（θ+）；
在Rt△ODE中，由正弦定理得，＝，则DE＝OEsin2θ＝4sin2θ，
所以平行四边形BCDE的周长为：
2（BE+DE）＝16cs（θ+）+8sin2θ
＝16cs（θ+）﹣8cs（2θ+）
＝﹣16cs2（θ+）+16cs（θ+）+8
＝﹣16+12，
因为0＜2θ＜，所以0＜θ＜，所以＜θ+＜，所以0＜cs（θ+）＜，所以0≤＜，
所以8＜﹣16+12≤12，即平行四边形BCDE的周长取值范围是（8，12]．
故答案为：（8，12]．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知复数z＝a2﹣2a﹣3+（a﹣3）i，a∈R．
（1）若z是纯虚数，求a的值；
（2）若z+i在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，
解得a＝﹣1；
（2）由题意可得z+i＝a2﹣2a﹣3+（a﹣2）i，
因为z+i在复平面内对应的点位于第二象限，
所以，
解得2＜a＜3，
故a的取值范围为（2，3）．
16．（15分）如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的．已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面）ABCD是边长为6的正方形．
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积．
【解答】解：由题意可知半球的半径R＝3，圆柱的底面圆半径r＝3，高h＝6，
（1）由球的表面积公式可得半球的曲面面积，
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积S3＝2πrh＝36π，
故该几何体的表面积S＝S1+S2+S3＝18π+9π+36π＝63π．
（2）由球的体积公式可得半球的体积，
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积，
故该几何体的体积V＝V1+V2＝18π+54π＝72π．
17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，sin2A﹣sin2B＝sin2C（csB﹣1）．
（1）求的值；
（2）若a＝3，，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，由sin2A﹣sin2B＝sin2C（csB﹣1）及正弦定理，得a2﹣b2＝c2（csB﹣1），
整理得a2+c2﹣b2＝c2csB，由余弦定理得a2+c2﹣b2＝2accsB，
于是c2csB＝2accsB，而，即csB≠0，又c＞0，
所以．
（2）由（1）知，c＝2a＝6，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcsC，得，
整理得，而b＞0，解得，
所以△ABC的面积．
18．（17分）如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝6，E，F分别在棱A1B1，B1C1上，且B1E＝B1F＝1．
（1）证明：AA1∥平面BC1D．
（2）证明：直线AE，BB1，CF交于同一点．
【解答】证明：（1）连接A1C1，AC，设AC与BD交于O，
连接OC1，因为AB＝2A1B1，由正四棱台可得A1C1∥AC，且A1C1＝AC＝AO，
所以四边形AOC1A1为平行四边形，
所以AA1∥OC1，而AA1⊄平面BDC1，OC1⊂平面BDC1，
所以AA1∥平面BDC1；
（2）又因为B1E＝B1F＝1，连接EF，所以EF∥A1C1∥AC，且EF≠AC，
所以直线AE，CF相交，设交点为P，
即P∈AE，P∈CF，
因为AE⊂平面AA1B1B，CF⊂平面BCC1B1，
所以P∈平面AA1B1B，P∈平面BCC1B1，
因为平面AA1B1B∩平面BCC1B1＝BB1，
所以P∈BB1，
所以直线AE，BB1，CF交于同一点P．
19．（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（10，0），C（11，3），D（10，6）．
（1）①证明：cs∠ABC+cs∠ADC＝0．
②证明存在点P，使得PA＝PB＝PC＝PD，并求出P的坐标．
（2）若点E在四边形ABCD的四条边上运动，且CE将四边形ABCD分成周长相等的两部分，求点E的坐标．
【解答】解：（1）①因为A（2，0），B（10，0），C（11，3），D（10，6），
所以，，，，
得，
，
所以cs∠ABC+cs∠ADC＝0；
②由PA＝PB＝PC＝PD知，点P为四边形ABCD外接圆的圆心，
因为，，
所以，，
所以AB⊥BD，AC⊥CD，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，
所以点P的坐标为（6，3），得证；
（2）易得AB＝8，，AD＝10，
因为CE将四边形ABCD分成周长相等的两部分，
则点E在AD上，且，
设点E的坐标为（x，y），
则，
所以，则，
故点E的坐标为．