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内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2023-2024学年高二下学期5月月考（期中）数学试题（含答案）
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这是一份内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2023-2024学年高二下学期5月月考（期中）数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.下列求导运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
2.从4名男生和6名女生中选出3名学生，则恰有1名男生和2名女生的概率为（ ）
A.B.C.D.
3.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
4.椭圆：，：的离心率分别为，，若，则的值为（ ）
A.B.C.D.
5.在等比数列中，，是等数差列，且，则的值是（ ）
A.2B.4C.8D.16
6.中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2名同学各自选两种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（ ）
A.30种B.60种C.120种D.240种
7.有3个工厂生产同一型号的产品，甲工厂生产的产品次品率为0.06，乙工厂和丙工厂生产的产品次品率均为0.05，生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙工厂生产的产品数分别占总数的25%，30%，45%，则任取一件产品是次品的概率（ ）
8.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.若，则（ ）
A.有两个极值点B.有三个零点
C.点是的对称中心D.直线是的切线
10.等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A.B.C.D.
11.一袋中装有10个大小相同的球，其中黑色6个，编号分别为1、2、3、4、5、6，白色有4个，编号分别为7、8、9、10，下列结论中正确的是（ ）
A.若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数服从二项分布
B.若一次性摸取4个球，则取出的球中白球个数服从超几何分布
C.若一次性摸取4个球，则取到2个白球的概率为
D.若一次性摸取4个球，则取到白球数大于黑球数的概率为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.在的展开式中，的系数是________.
13.已知随机变量服从正态分布，若，则为________.（，，）
14.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A、B存在如下关系，.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6，如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去甲餐厅的概率为________第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，已知平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为线段的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正弦值.
16.（本小题满分15分）为了丰富学生的课余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛。比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束。“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分.
已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7.
（1）若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记为博文同学的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由.
17.（本小题满分15分）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列前项和为；
（3）设求数列的前项和.
18.（本小题满分17分）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分.瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录.由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放.为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准.
（1）从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
（2）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率.经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？
19.（本小题满分17分）已知函数，
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）证明对，恒成立；
（3）设，证明：
赤峰四中2023-2024学年第二学期月考试题
高二数学（5.28）
一.单选：
1.D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D
二.多选
9.AC 10.AD 11.ABD
三.填空题：
12.60
四.解答题：
15.以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
（1），，
从而，所以.
（2）依题意，是平面的一个法向量，
，
设为平面的法向量，
则即
不妨设，可得.
则，
∴.
所以，二面角的正弦值为.
16.（1）由题意得，的可能取值为0，4，10，
，
，
，
的分布列为：
（2）
若甲同学先进行“机器人操作”，记为甲同学的累计得分，的可能取值为0、6、10
，
，
，
因为，所以甲同学应该选择先进行“无人机表演”比赛。
17.【解析】解（1）根据题意，因为，，，成等比数列，
所以，
解得，，
（2）因为
所以
（3）∵
∴
①
②
∴①-②得
∴
18.【解析】（1）由题可知，所有可能的情况有：
①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率，
②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率，
③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率，
故所求的概率.
（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：
∵，，，
，
∴，
令，则在上单调递减，
∴.
∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数
∴，故该同学没有希望进入决赛.
19.解：（1）由题知，设切线方程为：
因为，所以
故在处的切线方程为；
（2）要证明，只需证时，
令，只需证
因为，且
所以在时单调递增，则
故在时单调递增，所以
原式得证.
（3）由题知，且
所以
下面证明
令，，则
只需证明
只需证
只需证
令，只需证
因为
所以在上单调递增
故（证明略）
故
由（2）知
所以
此时
令①
则②
又①-②得
解得
此时
故原式得证.
0
4
10
0.2
0.24
0.56
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.下列求导运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
2.从4名男生和6名女生中选出3名学生，则恰有1名男生和2名女生的概率为（ ）
A.B.C.D.
3.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
4.椭圆：，：的离心率分别为，，若，则的值为（ ）
A.B.C.D.
5.在等比数列中，，是等数差列，且，则的值是（ ）
A.2B.4C.8D.16
6.中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2名同学各自选两种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（ ）
A.30种B.60种C.120种D.240种
7.有3个工厂生产同一型号的产品，甲工厂生产的产品次品率为0.06，乙工厂和丙工厂生产的产品次品率均为0.05，生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙工厂生产的产品数分别占总数的25%，30%，45%，则任取一件产品是次品的概率（ ）
8.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.若，则（ ）
A.有两个极值点B.有三个零点
C.点是的对称中心D.直线是的切线
10.等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A.B.C.D.
11.一袋中装有10个大小相同的球，其中黑色6个，编号分别为1、2、3、4、5、6，白色有4个，编号分别为7、8、9、10，下列结论中正确的是（ ）
A.若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数服从二项分布
B.若一次性摸取4个球，则取出的球中白球个数服从超几何分布
C.若一次性摸取4个球，则取到2个白球的概率为
D.若一次性摸取4个球，则取到白球数大于黑球数的概率为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.在的展开式中，的系数是________.
13.已知随机变量服从正态分布，若，则为________.（，，）
14.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A、B存在如下关系，.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6，如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去甲餐厅的概率为________第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，已知平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为线段的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正弦值.
16.（本小题满分15分）为了丰富学生的课余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛。比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束。“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分.
已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7.
（1）若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记为博文同学的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由.
17.（本小题满分15分）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列前项和为；
（3）设求数列的前项和.
18.（本小题满分17分）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分.瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录.由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放.为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准.
（1）从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
（2）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率.经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？
19.（本小题满分17分）已知函数，
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）证明对，恒成立；
（3）设，证明：
赤峰四中2023-2024学年第二学期月考试题
高二数学（5.28）
一.单选：
1.D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D
二.多选
9.AC 10.AD 11.ABD
三.填空题：
12.60
四.解答题：
15.以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
（1），，
从而，所以.
（2）依题意，是平面的一个法向量，
，
设为平面的法向量，
则即
不妨设，可得.
则，
∴.
所以，二面角的正弦值为.
16.（1）由题意得，的可能取值为0，4，10，
，
，
，
的分布列为：
（2）
若甲同学先进行“机器人操作”，记为甲同学的累计得分，的可能取值为0、6、10
，
，
，
因为，所以甲同学应该选择先进行“无人机表演”比赛。
17.【解析】解（1）根据题意，因为，，，成等比数列，
所以，
解得，，
（2）因为
所以
（3）∵
∴
①
②
∴①-②得
∴
18.【解析】（1）由题可知，所有可能的情况有：
①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率，
②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率，
③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率，
故所求的概率.
（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：
∵，，，
，
∴，
令，则在上单调递减，
∴.
∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数
∴，故该同学没有希望进入决赛.
19.解：（1）由题知，设切线方程为：
因为，所以
故在处的切线方程为；
（2）要证明，只需证时，
令，只需证
因为，且
所以在时单调递增，则
故在时单调递增，所以
原式得证.
（3）由题知，且
所以
下面证明
令，，则
只需证明
只需证
只需证
令，只需证
因为
所以在上单调递增
故（证明略）
故
由（2）知
所以
此时
令①
则②
又①-②得
解得
此时
故原式得证.
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