备战2024年高考数学易错题精选专题02函数及其应用指对幂函数(学生版+教师版)

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易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及解析式的求算）
已知函数的具体解析式求定义域的方法
法1：若是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.
法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.
函数解析式的常见求法
法1：配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换.
法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可.
法3：换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.
法4：解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出．
分段函数
第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
第二步：当出现的形式时，应从内到外依次求值．
第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。
结论：复合函数：
一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中叫做复合函数的外层函数，叫做的内层函数.
抽象函数的定义域的求法：
(1)若已知函数的定义域为，则复合函数的家义域由求出.
(2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域.
易错提醒：函数的概念
①一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合叫做值域，记为.
②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
③函数表示法：函数书写方式为，
④函数三要素：定义域、值域、对应法则.
⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
①分式的分母不为零；
②偶次方根的被开方数大于或等于零：
③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
④零次幂或负指数次幂的底数不为零；
⑤三角函数中的正切的定义域是且；
⑥已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
基本初等函数的值域
①的值域是.
②的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
③的值域是.
④且的值域是.
⑤且的值域是.
分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
例 1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得，解得，则定义域为，
故选：C.
变式1：设，若，则（ ）
A．14B．16C．2D．6
【答案】A
【详解】因为的定义域为，则，解得，
若，则，可得，不合题意；
若，则，可得，解得；
综上所述：.
所以.故选：A.
变式2：已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得，
所以．
故选:C.
变式3：已知函数，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．的值域为
【答案】B
【详解】对选项A，，故A错误；
对选项B，，故B正确．
对选项C，因为，所以，
，故C错误；
对选项D，当时，，函数的值域为，
当时，，
函数的值域为，又因为时，，
所以当时，函数的值域为，
综上，函数的值域为，故D错误．
故选：B
1．已知函数，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【详解】因为函数，则,
令，则，
又因为，
所以，
所以，
故选：B.
2．给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于A，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
对于B，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
对于C，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
对于D，令，则，所以，
令，所以，
所以，
所以，符合.
故选：D.
3．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以.
故选：B.
4．已知函数满足，则可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于A，，则，，不满足；
对于B，，则，，
不满足；
对于C，，则，，不满足；
对于D，，当时，，故；
当时，，故，
即此时满足，D正确，
故选：D
5．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，即，解得，
所以，
由，所以，
所以，
所以．
故选：D．
6．集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得：，，
所以.
故选：B.
易错点二：忽视单调性与单调区间的主次（函数的单调性与最值）
1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。
2.函数在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。
3.函数的单调定义中的、有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。
4.求函数的单调区间必须先求定义域。
5.判断函数单调性常用以下几种方法：
方法1：定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号→得出结论.
方法2：图象法：如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性.
方法3：导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
方法4：性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及增减性质进行判断；
6.求函数最值（值域）的常用方法
方法1：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
方法2：图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
方法3：基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
方法4：导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
结论：
1.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
结论1：若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
结论2：若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
结论3：若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
结论4：若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
易错提醒：1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，符号一致那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，符号相反那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；
③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象上坡路，减函数的图象下坡路．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2．函数的最值
前提：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最大值
（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最小值
例．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设函数，
则函数是由二次函数与指数函数复合而成的.
当时，由于函数单调递减，
而二次函数的图象开口向上，
在区间上不可能单调递减，
则函数在区间上不可能单调递增，故不满足题意；
当时，函数单调递增，
要使函数在区间上单调递增，
则二次函数在区间上单调递增，
又其对称轴为，故，所以.故选：C.
变式1．下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，“对任意的，使得”，则函数在上为减函数.
对于选项A，，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在上递减，符合题意；
对于选项B，，其导数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，在上单调递增，不符合题意.故选：A.
变式2．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有，
所以有，
所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，有，
所以有，
所以为偶函数，所以在上单调递增．
当，即时，有,由，得，
所以，解得，此时无解；
当，即时，由，得，
所以，解得或．
综上所述，不等式的解集为．
故选：C.
变式3．定义在上的函数满足：对，且都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意：当时，
，
当时,
可得函数在单调递增.
则
，
在同一坐标系中画出与图象.
得，则不等式的解集为，
故选：B.

1．已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】易知函数的定义域为，
则，
因为，，
所以，
又因为，所以，即恒成立，
故函数是上的单调递增函数，
因为，所以，即，
当时，左边成立，故符合题意；
当时，有，解得：，
综上所述：的取值范围为：.
故选：D.
2．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为对任意的，都有，此时，则，
所以在单调递减，
因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，，
所以当和时，；当和时，.
由，即，
所以或或或，
所以或或或无解，
所以原不等式解集为
故选：D
3．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数，则，即，解得，
所以的定义域为，且，
所以为奇函数，
又函数在上单调递减，
所以在上单调递减，则在上单调递减，
所以不等式，即，
等价于，解得，即实数的取值范围是.
故选：D
4．已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数，
对任意的，，，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减，
又所以，且，
所以当时，；当时，，
所以由可得或或，
解得或，即不等式的解集为．
故选：C.
5．已知函数，关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得．
因为的定义域为R，，
所以为奇函数，
因此．
又，
所以．
当时，单调递增，而为奇函数，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，解得，
故的取值范围为．
故选：D.
6．为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】对任意的，都有，则，
令，则在上单调递增，
因为为定义在上的偶函数，
所以，即为偶函数，
又，
由，可得，即，
所以，
所以的解集为，
故选：A.
7．函数，其中，则满足的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，当时，，
则，
所以，函数在上单调递减，故，
当时，，显然函数在上为减函数，
此时，.
因为，
令，其中，
则，
所以，函数在上单调递减，故，
综上可知，函数在上为减函数，
令，则函数在上单调递减，
又因为，所以，等价于，
结合函数的单调性可得，故原不等式的解集为.
故选：A.
8．已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当时，，则，
同理，当时，，则，
且，可知函数为奇函数；
当时，，则，
令，则，
所以在单调递增，即，即，
所以在单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增.
则，
即，即，
可得，且，所以，解得，
所以解集为.
故选:A
9．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】A选项，根据可得，在R上单调递增，
因为，所以，A正确；
B选项，因为，，且，总有，
所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率，
显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正，
因为，所以，B正确；
C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.

故选：ABD
10．设函数，则（ ）
A．的一个周期为B．在上单调递增
C．在上有最大值D．图象的一条对称轴为直线
【答案】BD
【详解】对A：，故不是的周期，A错误；
对B：令，则，
则，
∵，则，
∴在上单调递增，且，
又∵在上单调递增，故在上单调递增，B正确；
对C：∵，则，
∴，则，
又∵在上单调递增，且，
∴在上最大值为，
即在上有最大值，C错误；
对D：，故图象的一条对称轴为直线，D正确.
故选：BD.
11．已知函数，则（ ）
A．函数为奇函数
B．当时，或1
C．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为
D．若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于选项，由，可知函数为奇函数，故选项正确；
对于选项，由，解得或，故B选项正确；
对于选项，由，有，当时，函数仅有一个零点0，当时，必有，有，可得，故C选项错误；
对于选项D，由，可知满足题意只需
当时，，有，即，
所以，由，有，
则，可知当时，和恒成立，
，有.故D选项正确.
故选：ABD.
易错点三：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别（函数的奇偶性、周期性、对称性）
1.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
2.周期性技巧
结论1：若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期.
证明：
也可理解为：平移个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的距离为，
结论2：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.
证明：
口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.
结论3：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.
证明：先向左平移个单位得
令如同结论1
结论4：定义在上的函数，对任意的，若有，(或)(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.
证明：，
结论5:定义在上的函数，对任意的，有且，
(其中是常数，)则函数是周期函数，是函数的一个周期.
另一种题干出现的信息：①若的图象关于直线都对称，则等价于且，则为周期函数且.
②若为偶函数且图象关于直线对称，则为周期函数且
证明：向左平移个单位，得
，同理，
利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.秒出周期
结论6:若定义在上的函数对任意实数，恒有成立()，则是周期函数，且是它的一个周期.
证明：由函数
，向右平移个单位得
口诀：内同号，外异号，内部只差需2倍，出现周期很.
结论7:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.
证明：
如同结论4，
结论8:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.
证明：
结论9:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.
证明：得
结论10:①若定义在上的函数的图象关于两点都对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
②若奇函数的图象关于点对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
证明：函数满足且，
则
利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.秒出周期
结论11:①若定义在上的函数的图象关于点和直线都对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
②若奇函数的图象关于直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
证明：函数满足且，
则
3.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
结论：
1.(1)如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有.
(2)如果函数是偶函数，那么.
2.函数周期性常用结论
对定义域内任一自变量的值:
(1)若，则.
(2)若，则.
(3)若，则.
3.对称性的三个常用结论
(1)若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称.
(2)若对于上的任意都有或，则的图象关于直线对称.
(3)若函数是奇函数，则函数的图象关于点中心对称.
易错提醒：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别
1．函数的奇偶性
由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
2．函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
例 ．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为是奇函数，所以，则．
又是偶函数，所以，所以．
故选：C.
变式1．已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．是以4为周期的函数D．的图象关于对称
【答案】B
【详解】因为函数是定义域为的偶函数，所以，
因为是奇函数，所以，
将换成，则有，
A：令，所以，因此本选项正确；
B：因为，所以函数关于点对称，
由，可得，的值不确定，
因此不能确定的值，所以本选项不正确；
C：因为，
所以，
所以，因此是以4为周期的函数，因此本选项正确；
D：因为，
所以，
因此有，
所以函数的图象关于对称，
由上可知是以4为周期的函数，
所以的图象也关于对称，因此本选项正确，
故选：B.
变式2．已知函数，下列结论中：①当时，的最小值为3；②函数是奇函数；③函数的图象关于点对称 ；④是图象的一条切线，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】①当时，,,当且仅当即时等号成立，所以最小值是3，正确；
②函数，记，其定义域是，，因此是奇函数，正确；
③的图象关于原点对称，把它向右平移一个单位，再向上平移一个单位得的图象，因此的图象关于点对称，正确；
④，由得或，，，
因此直线和都是函数图象的切线，④正确，
故选：D．
变式3．已知定义域为的函数满足，，当时，，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【详解】因为，，
所以，
所以，所以4为函数的周期，
所以．故选：C．
1．已知函数的定义域为，，当时，，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【详解】由可得函数为奇函数，
又可知，
所以，可得，
即，因此是周期为的奇函数，
则，代入计算可得.
故选：B
2．定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，
又函数是偶函数，则，变形可得，
则有，进而可得，
所以函数是周期为4的周期函数，
则.
故选：C.
3．已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．的周期为4B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】由于为偶函数，图象关于轴对称，
所以图象关于对称，
所以，
所以①，
而②，
两式相加得，则③，
所以，
所以是的一个周期，A选项正确.
由③令得，
由①令得，
由②令得，则，
所以，
所以，C选项正确.
由①令得，
由，
得，
两式相减得，即，
且关于对称，，
所以④，
所以，
所以是周期为的周期函数，所以，所以B选项错误.
由④令得，所以，
所以，所以D选项正确.
故选：ACD.
4．已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A．
B．关于点对称
C．
D．
【答案】BD
【详解】假设，则，都为偶函数，则所设函数符合题意，此时，所以A错误；
因为为偶函数，所以，即，
令，则，所以关于点对称，故B正确；
因为均为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，即，
因为，所以，所以，
所以，，又，，
所以，所以无法确定的值，所以C错误；
又，，所以，又，所以，
由知函数周期为4，则的周期也为4，则

，所以 D正确.
故选：BD
5．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，
若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
则，又，所以，
所以，即，所以，
故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；
对两边同时求导，得，
所以导函数的周期为8，所以，故C正确；
由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，
所以，故D正确.
故选：BCD.
6．已知函数的定义域为，并且对，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．函数为偶函数
C．
D．若时，，则时，
【答案】ACD
【详解】由可知函数关于直线轴对称，故A正确；
由可得，又，
所以，故函数为奇函数，故B错误；
因为，所以，故为函数周期，
又，
所以，故C正确；
由知函数关于成中心对称，
当时，设为函数图象上任意一点，
则在函数图象上，且，
所以，即，故D正确.
故选：ACD
7．已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的图象关于轴对称
C．函数是最小正周期为2的周期函数
D．若函数满足，则
【答案】ABD
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确；
因为，所以，又，
所以，所以，所以，所以为偶函数.故B正确；
因为，所以是最小正周期为4的周期函数，故C错误；
因为，所以，那么，
所以也是周期为4的函数，
，
因为，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
8．已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．直线为函数图象的一条对称轴
C．函数在区间上存在3个零点
D．若在区间上的根为，则
【答案】AB
【详解】对于A，因为，所以周期，故A正确；
对于B，因为为偶函数，所以，又，
所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，若当时，无零点，则根据周期性和对称性可推出无零点，故C错误；
对于D，因为的图象关于直线对称，且的周期，
又在区间上的根为，所以，故D错误.
故选：AB.
易错点四： 遗漏幂函数的特征及二次函数弦长公式（幂函数与二次函数）
1、根据图象高低判断幂指数大小的方法
幂函数的幂指数的大小，大都可通过幂函数的图象与直线的交点纵坐标的大小反映.一般地，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大、图低”)，在区间上，幂函数中指数越大，图象越远离轴(不包括幂函数，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大图低")，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴.
2、对于函数，若是二次函数，就隐含，当题目未说明是二次函数时，就要分和两种情况讨论.在二次函数中，的正负决定抛物线开口的方向的大小决定开口大小)确定抛物线在轴上的截距，与确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).
3、根据二次函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函数在某区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调，则对称轴在该区间内（非端点），
4、二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.
结论：
1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如下所示.
①，
限定条件
②
限定条件
③
限定条件
在区间内没有实根
限定条件
限定条件
限定条件
限定条件
限定条件
在区间内有且只有一个实根
限定条件
限定条件
在区间内有两个不等实根
限定条件
4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
易错提醒：幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
掌握二次函数解析式的三种形式（不能忘记最后一种）
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）两点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
例 1若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设函数，
则函数是由二次函数与指数函数复合而成的.
当时，由于函数单调递减，
而二次函数的图象开口向上，
在区间上不可能单调递减，
则函数在区间上不可能单调递增，故不满足题意；
当时，函数单调递增，
要使函数在区间上单调递增，
则二次函数在区间上单调递增，
又其对称轴为，故，
所以.
故选：C.
变式1．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
又在上单调递减，，解得：.
故选：B.
变式2．已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在上单调递增；
∴，
解得；
所以实数a的取值范围为．
故选：A．
变式3．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题可得，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
联立解得，
又因为对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
(i)若，则对称轴，解得；
(ii) 若，在单调递增，满足题意；
(iii) 若，则对称轴恒成立；
综上，，
故选：B.
1．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即，
解得或，
所以实数的取值范围是。
故选：D
2．若幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2B．C．D．-2
【答案】C
【详解】由幂函数的定义可知，，即，解得或.
当时，，在上单调递增，不合题意;
当时，，在上单调递减，符合题意，故.
故选：C.
3．已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为函数在上为奇函数,
所以，解得，又，
，解得，解得，
所以，，
由与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，
则不等式，即，等价于，
所以，解得，即不等式的解集为.
故选：C
4．已知为奇函数，当时，，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
且，所以在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
则
所以.

故选：A
5．已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．的最小值是
C．若有解，则m的取值范围是或
D．当时，，的值域是，则的取值范围是
【答案】ABD
【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且，
于是得，即，
对于A，不等式化为：，解得，A正确；
对于B，，，
当且仅当，即时取“=”，B正确；
对于C，，令，则在上单调递增，
即有，因有解，则，解得或，C不正确；
对于D，当时，，则，，
依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3，
从而得或，因此，D正确.
故选：ABD
6．已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若有3个不同的零点，则a的取值范围是
B．若有4个不同的零点，则a的取值范围是
C．若有4个不同的零点，则
D．若有4个不同的零点，则的取值范围是
【答案】BCD
【详解】解：令得，即
所以零点个数为函数与图像交点个数，
故，作出函数图像如图，
由图可知，有3个不同的零点，则a的取值范围是，故A选项错误；
有4个不同的零点，则a的取值范围是，故B选项正确；
有4个不同的零点，此时关于直线对称，所以，故C选项正确；
由C选项可知，所以，由于有4个不同的零点，a的取值范围是，故，所以，故D选项正确.
故选：BCD
7．已知函数(即，)则（ ）
A．当时，是偶函数B．在区间上是增函数
C．设最小值为，则D．方程可能有2个解
【答案】ABD
【详解】：当时，，即，
所以，所以是偶函数，故正确；
：当时，，的对称轴为，开口向上，
此时在上是增函数，
当时，，的对称轴为，开口向上，
此时在上是增函数，
综上，在上是增函数，故正确；
：当时，，
当时，，
因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；
：令，
当时，，有2个解，故正确.
故选：ABD
8．已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】BCD
【详解】当,，
当且仅当时,等号成立，
当时,为二次函数，要想在处取最小，
则对称轴要满足,且,
即，解得,
故选：BCD.
9．设，函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】由题意，函数，令，
可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为，
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，且
可得在递减，在上递增，且；
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性，可得在递减，在上递增，且，
此时选项B符合题意；
当当时，即时，此时函数有两个零点，
不妨设另个零点分别为且，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
可得在递减，在上递增，且，
则在递减，在上递增，且，
此时选项D符合题意.
综上可得，函数的图象可能是选项BD.
故选：BD.
10．关于的方程，下列命题正确的有（ ）
A．存在实数，使得方程无实根
B．存在实数，使得方程恰有2个不同的实根
C．存在实数，使得方程恰有3个不同的实根
D．存在实数，使得方程恰有4个不同的实根
【答案】AB
方程化为关于的二次方程.
当时，方程无实根，故原方程无实根.
当时，可得，则，原方程有两个相等的实根.
当时，方程有两个实根，由可知，，.
因为，所以无实根，有两个不同的实根.
综上可知：A，B项正确，C，D项错误.
故选：AB
易错点五： 根式奇偶讨论（指对数函数考点）
指数
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
4.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；
7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
对数：
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.|
3.，且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
4.识别对数函数图象时，要注意底数以1为分界：当时，是增函数；当时，是减函数.注意对数函数图象恒过定点，且以轴为渐近线.
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
6.比较对数值的大小
(1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
(2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
(3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
解决对数函数的综合应用有以下三个步骤:
第一步：求出函数的定义域；
第二步：判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
结论：
1.画指数函数，且的图象，应抓住三个关键点:
2.在第一象限内，指数函数且的图象越高，底数越大.
3.有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域与值域
形如的函数的定义域就是的定义域.
求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域.若的范围不确定，则需对进行讨论.
求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域.
(2)判断复合函数的单调性
令，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在上是减函数.
换底公式的两个重要结论
(1)(2).其中，且，且.
对数函数，且的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限.
易错提醒：根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
例 ．设函数的定义域为，其图象关于直线对称，且.当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数B．
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递减
【答案】AC
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
又因函数的图象关于直线对称，
所以，即，
又，所以，
所以，
所以为偶函数，故A正确；
当时，，
，故B错误；
因为为偶函数且的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
因为当时，，
而函数在都是减函数，
所以函数在是减函数，
又因为偶函数，
所以在区间上单调递增，故D错误.
故选：AC.
变式1、设偶函数在上单调递增，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】因为函数为偶函数，所以；
又因为偶函数在上单调递增，则，
所以，，
且由函数为偶函数知在上单调递减，故
对于选项A和B，∵，在上单调递减，
∴，故A错误，B正确；
对于选项C和D，∵，，函数为偶函数，
在上单调递减，
∴，故C正确，D错误.
故选：BC.
变式2、已知函数，则（ ）
A．的最小值为1B．，
C．D．
【答案】ACD
【详解】，当且仅当时，取得最小值1，A正确．
因为当且仅当时，取得最小值，且最小值为1，所以，所以，B错误．
因为，所以，又，且在上单调递减，在上单调递增，所以，C正确．
因为，所以，所以，D正确．
故选：ACD
变式3、已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】由可知，若，则，则不成立，
又时，，故，
又，则可看作的图象与直线交点的横坐标，
作出与的图象如图，

结合图象可知，故A错误，B正确；
由，，得，
故，C正确；
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
由于，故，即，
故，D正确，
故选：BCD
1．下列说法正确的是（ ）
A．函数的图像恒过定点
B．“”的必要不充分条件是“”
C．函数的最小正周期为2
D．函数的最小值为2
【答案】AB
【详解】对于A，令，则，即，
所以函数的图像恒过定点，故A正确；
对于B，不能推出，而能推出，
所以“”的必要不充分条件是“”，故B正确；
对于C，因为，令等价于，
所以①，令等价于，
所以②，由①②可得：，
所以函数的最小正周期为4，故C错误；
对于D，函数，令，
则，由双勾函数的性质知在上单调递增，
故，故函数的最小值为2错误，故D错误.
故选：AB.
2．某数学课外兴趣小组对函数的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．函数的图象关于轴对称
B．当时，是增函数，当时，是减函数
C．函数的最小值是
D．函数与有四个交点
【答案】AC
【详解】的定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；
当时，，由的性质可知其在上是减函数，
在上是增函数，所以由复合函数单调性可知，在上是减函数，
在上是增函数，又是偶函数，图像关于轴对称，故B不正确；
当时，（当且仅当时取等号），又是偶函数，
所以函数的最小值是，故C正确；
由函数定义可得，函数与不可能有四个交点，故D不正确.
故选：AC.
3．给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数在定义域上为奇函数，则
B．已知的值域为，则的取值范围是
C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D．已知函数，则函数的值域为
【答案】ABD
【详解】选项A：函数在定义域上为奇函数，
则，即，即，
即，整理得，即，
所以，解得，
当时，，该函数定义域为，满足，符合题意，
当时，，由可得，此时函数定义域为，满足，符合题意，
综上所述，选项A说法错误；
选项B：因为的值域为，
所以函数的值域满足，
所以，解得，所以B说法错误；
选项C：由得，所以的定义域为，选项C说法正确；
选项D：因为函数，
所以，，
当时，，
令，，则，
即函数的值域为，选项D说法错误；
故选：ABD
4．给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数在定义域上为奇函数，则
B．已知的值域为，则a的取值范围是
C．已知函数满足，且，则
D．已知函数，则函数的值域为
【答案】ABD
【详解】对于A，函数为奇函数，
所以，，即，即，
即，整理可得，即，
所以，，解得，
当时，，该函数的定义域为，满足，合乎题意，
当时，，
由可得，此时函数的定义域为，满足，合乎题意.
综上所述，，故A错误；
对于B，因为的值域为，
则函数的值域满足，
则，解得，故B错误；
对于C，函数满足，则，
故的周期为，因为，则，故C正确；
对于D，因为，，
由，得，解得，
即函数的定义域为．则，
又
，
故函数的值域为，故D错误：
故选：ABD.
5．已知定义域为的函数满足，的部分解析式为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．若函数在内满足恒成立，则
C．存在实数，使得的图象与直线有7个交点
D．已知方程的解为，则
【答案】BCD
【详解】因为，所以函数为奇函数，
函数的图象如图所示，

对于选项A，函数在上不单调，故A错误；
对于选项B，，结合图象可知，故B正确：
对于选项C，令，即，
由，解得或，
将代入中，得到，
分析可得，当时，的图象与直线有7个交点，故C正确；
对于选项D，当方程的解为4个时，，不妨设，根据对称性可得.
分析图象可知，当时，方程的解为3个，，
又因为，，所以，故D正确.
故选：BCD.
6．下列选项正确的是（ ）
A．
B．若正实数a，b满足，则
C．的最小值为
D．已知正实数a、b，若，则的最小值为9
【答案】BD
【详解】当时，,A选项错误;
,,,B选项正确;
,当即,C选项错误;
正实数a、b，若，则,,
即时取等号，D选项正确.
故选:BD.
7．已知函数，实数，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】∵，∴，
∴或，
又∵，∴，∴，故A不正确，B正确；
又由有意义知，从而，
于是.
所以.
从而.
又，所以，
故.
解得或（舍去）.
把代入解得.
所以，，故C正确，D不正确.
故选：BC.
8．已知函数，则（ ）
A．当时，的定义域为R
B．一定存在最小值
C．的图象关于直线对称
D．当时，的值域为R
【答案】AC
【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，
即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；
对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；
对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，
此时对称轴为直线，故C正确；
对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.