备战2024年高考数学易错题精选专题08数列(学生版+教师版)

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易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言：(，为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
3、通项公式与前n项和公式
（1）通项公式：．
（2）前项和公式：．
（3）等差数列与函数的关系
①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．
②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.
已知数列是等差数列，是其前项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广：．
（2）若，则．
（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．
（4）若是等差数列，则也是等差数列．
2、等差数列前项和的性质
（1）；
（2）；
（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.
（4）数列，，，…构成等差数列．
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为，则，；
（2）若项数为，则，，，.
最值问题：解决此类问题有两种思路：
一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；
二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可
易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.
例．已知等差数列的前n项和为，且，，求取得最大值时对应的n值.
【详解】在等差数列中，，则，而，
于是公差，因此，
由，得，显然数列是递减等差数列，前5项都是非负数，从第6项起为负数，所以的最大值为，此时或.
变式1．数列是等差数列，，．
(1)从第几项开始有？
(2)求此数列的前项和的最大值．
【详解】（1）因为，， 所以．
令，则．由于，故当时，，
即从第项开始各项均小于；
（2）方法1：．
当取最接近于的自然数，即时，取到最大值．
方法2：因为，，由（1），知，，
所以，且．
所以．
变式2．记为等差数列的前n项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值．
【详解】（1）设公差为，，
∴，解得，
∴．
（2）∵，，
∴＝，
∴当时，最小，最小值为．
变式3．等差数列，，公差．
(1)求通项公式和前项和公式；
(2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少．
【详解】（1）由为等差数列的前项和，则，解得，
，则，
.
（2）由，则数列为递减数列，
由，，则当时，取得最大值，即最大值为.
1．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（ ）
A．20B．17C．19D．21
【答案】C
【分析】可判断数列是递减的等差数列，利用前项和公式和等差数列的性质可得进而可得的最大值．
【详解】因为，所以和异号，
又等差数列的前项和有最大值，
所以数列是递减的等差数列，
所以，，
所以，
，
所以当时，的最大值为19．
故选：C．
2．已知等差数列的前n项和为，，且，则取得最小值时n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】由等差数列的通项公式，求得，，进而得到当当时，，当时，，即可求解.
【详解】由等差数列的通项公式，得，又，
所以
则等差数列中满足，，且，
数列为递增数列，且当时，，当时，，
所以当取得最小值时，n的值为.
故选：B.
3．已知数列中，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（ ）
A．15B．750C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得数列是以首项为25，公差的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前n项和的性质分析运算.
【详解】由，可得，
所以数列是以首项为25，公差的等差数列，且为单调递减数列，
其通项公式为．
当且时，Sn最大，
解得且，则，
即数列{an}的前15项均为非负值，第16项开始为负值，
故S15最大，.
故选：C．
4．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（ ）
A．2021B．2022C．4042D．4043
【答案】C
【分析】根据题意得，，再结合，，求解即可．
【详解】根据,得，，所以，
因为，所以，
所以使前项和成立的最大自然数是4042．
故选：C
5．设是等差数列，是其前n项和，且， ，则下列结论正确的是（ ）.
A．B．
C．D．与均为的最大值
【答案】BD
【分析】对于B：根据题意结合前n项和分析可得；对于A：根据等差数列的定义分析判断；对于C：根据等差数列的性质分析可得，进而可得结果；对于D：根据等差数列的正负性结合前n项和的性质分析判断.
【详解】因为， ，
则，故B正确；
设等差数列的公差为，则，故A错误；
可知数列为递减数列，可得，
可得，
所以，故C错误；
因为为最后一项正数，根据加法的性质可知：为的最大值，
又因为，所以与均为的最大值，故D正确；
故选：BD.
6．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．设的前项和为，则时，的最大值为27
【答案】BC
【分析】由已知求得，，解公差为的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可.
【详解】∵，，∴，，
∴，，∴，A选项错误；
又∵，即，
∴ ，解得，B选项正确；
∵，故C选项正确；
因为等差数列的前n项和为，所以，即，
由，
∴数列为等差数列，设，
因为当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
所以，，
因为，所以可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确．
故选：BC．
7．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是为等差数列的充要条件
B．可能为等比数列
C．若，，则为递增数列
D．若，则中，，最大
【答案】ABD
【分析】计算，当时，，验证知A正确，当时是等比数列，B正确，举反例知C错误，计算得到D正确，得到答案.
【详解】，；
当时，，
当时，，满足通项公式，数列为等差数列；
当为等差数列时，，，故A正确；
当时，，是等比数列，B正确；
，取，则，C错误；
当时，从第二项开始，数列递减，且，故，故，最大，D正确.
故选：ABD
8．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．有最大值
【答案】AB
【分析】由与的关系求出数列的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前项和的函数性质可判断D.
【详解】当时，，
当时，
，符合，
故，
所以，，
所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确；
，B正确；
因为公差，所以数列是递减数列，所以，C错误；
，
易知当或时，有最大值，D错误.
故选：AB
9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．当时，D．当或4时，取得最大值
【答案】CD
【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.
【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；
，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.
故选：CD.
10．等比数列中，，则数列的前项和的最大值为．
【答案】21
【分析】先求得数列的通项公式，由此求得数列的通项公式，可知数列是等差数列，然后根据通项公式的特征求得前项和的最大值．
【详解】由于等比数列中，，，
所以，解得，
所以，所以，
所以数列是首项为6，公差为的等差数列，
当1≤n≤6时，；当n＝7时，；当n＞7时，，
则当n＝6或n＝7时，数列的前n项和取得最大值，最大值为6＋5＋4＋3＋2＋1＝21．
故答案为：21．
11．记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝．
【答案】
【分析】由求出和的关系，结合等差数列前项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，由可得：，
所以，
因为，所以，则是关于的二次函数，开口向下，对称轴，
由二次函数的图象和性质可得：当时，取最大值，
故答案为：.
易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）
1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。
数学语言表达式： (，为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n项和公式
（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：.
（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
已知是等比数列，是数列的前项和．（等比中项）
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.
（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）若，则有
口诀：角标和相等，项的积也相等 推广：
（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。
（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。
易错提醒：若成等比数列，则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中项， “”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。
例 ．已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（ ）
A．5B．10C．15D．20
【详解】解：由等比数列的性质可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，
∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，
又等比数列各项均为正数，∴a3＋a5＝5，选项A正确
变式1．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则( )
A．B．C．D．
【详解】由题意可知，得，解得或，
因为，故，
所以.
故选：A.
变式2．已知，如果，，，，成等比数列，那么（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【详解】因为是和的等比中项，所以，设公比为，则，
所以b与首项-1同号，所以．又a，c必同号，所以．
故选：B
变式3．已知等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．或D．
【详解】解：由等比数列性质可知，所以或，
但，可知，所以，则，
故选：B
1．已知等差数列的前项和为，公差不为0，若满足、、成等比数列，则的值为（ ）
A．2B．3C．D．不存在
【答案】A
【分析】根据题意，利用等比中项公式列出方程求得，结合，即可求解.
【详解】由等差数列的前项和为，公差不为0，若满足，，成等比数列，
可得，即，整理得，
因为，所以，
又由.
故选：A.
2．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（ ）
A．1B．2C．81D．80
【答案】C
【分析】由题知，，进而根据等差数列通项公式解得，再求和即可.
【详解】因为，所以，解得.
又，，成等比数列，所以.设数列的公差为，
则，即，整理得.
因为，所以.
所以.
故选:C.
3．已知，，则使得成等比数列的充要条件的值为（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】B
【分析】根据等比中项的性质求解即可.
【详解】若成等比数列，则，即，
当时，满足，成等比数列，
故使得成等比数列的充要条件的b值为.
故选：B
4．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出公差，根据题干条件列出方程，求出公差，求出通项公式，再利用通项公式和前n项和公式对四个选项一一计算，进行判断.
【详解】设等差数列的公差为d（）.
因为且成等比数列，所以.
解得：，所以.
对于A：.故A正确；
对于B：因为，所以.故B正确；
对于C：.故C错误；
对于D：因为，所以当时，，即.故D正确.
故选：C
5．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【分析】依题意是与的等差中项，可求出公比，进而由求出，根据等比中项求出的值.
【详解】由题意可知，是与的等差中项，
所以，即，
所以，或（舍），
所以，
，
故选：D.
6．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或7
【答案】C
【分析】根据等比中项可求，然后代入曲线方程分别得到曲线为椭圆和双曲线，根据离心率的公式即可求解.
【详解】实数4，，9构成一个等比数列，可得，
当时，圆锥曲线为椭圆,则其离心率为：．
当时，圆锥曲线为双曲线,其离心率为：．
故选：C．
7．数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.
【详解】因为数列为等比数列，且，，若，则，
则是、的等比中项，即；
若是、的等比中项，设的公比为，则，
因为，故，即.
因此，是的充要条件.
故选：A.
8．在数列中，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由等比数列定义可知数列为等比数列，结合等比数列性质可知数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列求和公式可求得结果.
【详解】，，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，，，…，，
又数列是以为首项，为公比的等比数列，
.
故选：D.
9．已知是等差数列，公差，前项和为，若，，成等比数列，则
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】首先由，，成等比数列可得，然后计算得出，再由可得，最后由等差数列的前项和公式即可得出的表达式，进而得出所求的答案．
【详解】因为，，成等比数列，所以，
即，即，
因为，所以；
而，
故选：．
10．数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】利用等差、等比中项的性质求对应中项即可.
【详解】若等差中项为m，则，可得；
若等比中项为n，则，可得；
故选：B
11．已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（ ）
A．398B．388
C．189D．199
【答案】C
【分析】数列是等差数列，，其中公差，由 是和的等比中项，可得，解得即可得出．
【详解】解：数列是等差数列，，其中公差， 是和的等比中项，
，
化为，．
所以，
则．
故选：C．
易错点三：忽略等比数列求和时对讨论（等比数列求和）
等比数列前项和的性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；
（2）对，有；
（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）
易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论..
例 ．设等比数列的前n项和为.已知，，则.
【详解】当的公比为1时，由可知显然不成立，故公比不为1，
由得，
所以时，，相减可得，故公比，又，
故，故答案为：
变式1．记为等比数列的前n项和，若，，则．
【详解】等比数列中，，，显然公比，
设首项为，则①，②，
化简②得，解得或（不合题意，舍去），
代入①得，
所以．
故答案为：
变式2．在等比数列中，，，令，求数列的前n项和．
【详解】设等比数列的公比为，，，
所以，解得：，
所以，
又，所以.
变式3．数列前项和满足，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列前项和．
【详解】（1），①，当时，，
当时，②，
两式①-②得，即，
其中，也满足上式，
故是以为首项，为公比的等比数列，
故；
；
（2），
令，解得，又，
故，则，
故，所以为等比数列，首项为，公比为3，
所以.
1．已知为等比数列，其公比，前7项的和为1016，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】C
【分析】根据等比数列的前项和公式求出首项，进而可得，再结合对数运算即可得答案.
【详解】依题意，，，解得，因此，
所以.
故选：C
2．已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等比数列的前项和公式直接计算即可.
【详解】设等比数列的公比为，
当时，，不符合题意，（注意对情况的讨论），
所以，由得，得，（注意等比数列为正项数列，故），
因此.
故选：C．
3．已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用递推关系构造得是一个以3为首项，2为公比的等比数列，再赋值，结合等比数列的前n项和公式求答案.
【详解】由（，）可得，
已知，，所以，
即是一个以3为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
，，，，，
，
故选B.
4．在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为4B．的前20项和为170
C．的前10项积为D．的前n项和为
【答案】ABC
【分析】利用等比数列的性质、等差数列、等比数列的求和公式计算即可.
【详解】由题意可知，所以，
所以，，A对；
由上可知：，所以，
B对；
而，C对；
记的前n项和为，则
的前n项和，
D错，
故选：ABC.
5．已知正项等比数列的前n和为，若，且，则满足的n的最大值为.
【答案】5
【分析】利用等比数列的性质与求和公式求解基本量，再由解关于的不等式.
【详解】设等比数列公比为q，因为，
所以，解得，或.
由数列为正项等比数列，则，所以.
又由，即，解得，
因为，
所以，得，解得，
因为，
即，又，
所以的最大值为.
故答案为：.
6．已知等比数列的前n项和为，，且－3，，成等差数列，则数列的通项．
【答案】
【分析】根据条件求和，从而可得数列的通项公式.
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，解得，
又－3，，成等差数列，得，即，
，解得，
所以.
故答案为：.
7．设为等比数列的前项和，若，，则
【答案】
【分析】结合等比数列通项公式可求得公比，代入等比数列求和公式中可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，
.
故答案为：.
8．已知正项等比数列的前项和为，若，且，则．
【答案】
【分析】根据条件求等比数列的基本量及等比数列求和公式计算即可.
【详解】设公比为，则，
由，，
解之得或（舍去），
故.
故答案为：
9．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则．
【答案】
【分析】设等比数列的公比为q，则，显然，根据题意求出，的值，再根据等比数列的通项公式求解即可.
【详解】解：设等比数列的公比为q，则，显然，
因为，，
所以，
即，解得,
所以．
故答案为：
10．数列的前n项和为，且，，则满足的最小的自然数n的值为．
【答案】
【分析】对递推公式进行变形构造等比数列，根据等比数列前n项和公式、比较法进行求解即可.
【详解】，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
因此，
所以，设
，
所以数列是单调递增数列，
因此有，即，
所以数列是单调递增数列，
而，
，
因此满足的最小的自然数n的值为，
故答案为：
11．在正项等比数列中，已知，，则公比．
【答案】3
【分析】利用等比数列的前n项和公式求解.
【详解】解：因为在正项等比数列中，，，
所以 ，即，
即 ，
解得 或（舍去），
故答案为：3
易错点四： 由求时忽略对“”检验（求通项公式）
类型1 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型2 公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型3 累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型4 累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型5 构造数列法：
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型6 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型7 倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型8 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
易错提醒：在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验.
例 ．已知数列和，其中的前项和为，且，.
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)记，求证：.
【详解】（1）当时，，所以，
时，①，②，
①-②得，
即，，
所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以；
（2），即③，
④，
④-③，得
，因为，，所以.
变式1．数列 的前n项和，已知，，k为常数.
(1)求常数k和数列的通项公式；
(2)数列 的前n项和为，证明：
【详解】（1）由得，，
两式相减的，整理得，
当时，得，，
当时，，
，，，
相加得，
所以，，
当，2时符合，
所以，
则，，
则，即.
（2）由（1）得，
所以，
因为，，
所以，
综上可得，.
变式2．设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为.证明：对一切正整数，.
【详解】（1）因为，即，
当时，解得或（舍去），
当时，
所以，
即，即，
则，因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式是
（2）由（1）可得，所以，
，所以
，所以，
因为，所以.
变式3．已知数列的前项和为，且（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【详解】（1）当时，，
当时，，故，
故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故.
（2）由（1）得，
所以由题意，
故，
则，
故，
则.
1．已知数列的前项和为，且.
(1)当时，求；
(2)若为等比数列，求的值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）利用与之间的关系将已知等式转化为之间的关系式
，然后利用之间的关系求的值，进而求的值；
（2）利用（1）得之间的关系式，分和讨论，利用等比数列性质列式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
又，所以，解得，
故，所以，解得；
（2）由（1）知，．
①当时，，此时，这与矛盾，所以不成立，即；
②当时，，所以，所以，
，
因为为等比数列，所以，即，解得.
综上，的值为5.
2．已知数列的前项和为，且与的等差中项为.
(1)求数列的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差中项，构造数列，等比数列的知识得出；
（2）采用裂项相消法，注意分为奇数偶数.
【详解】（1）因为与的等差中项为，所以，即.
当时，，则.
当时，，
所以，所以，可变形为，
所以，且也符合，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
即数列的通项公式为.
（2）方法一
当为奇数时，
.
当为偶数时，
.
所以数列的前项和为.
方法二.
.
3．已知数列的前n项和为，且，.
(1)求；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系可得是等差数列，即可求解，进而可得，
（2）根据错位相减法即可求解.
【详解】（1），
，又
.
数列是公差为2，首项为的等差数列.
,即.
当时，，
故.
（2）时，
时，.
设的前n项和为，则
，
.
.
（）
当时，也符合，
所以
4．已知数列的前项和为，且满足，，当时，是4的常数列.
(1)求的通项公式；
(2)当时，设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题目条件得到，故数列，均为公比为4的等比数列，从而得到通项公式；
（2）裂项相消得到，从而求和，得到不等式.
【详解】（1）当时，为等比数列，即是4的常数列，
故，
当时，，当时，，
∴数列，均为公比为4的等比数列，
，，
.
（2），
∴当时，数列的前项和为
.
5．在数列中，，是的前n项和，且数列是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先应用等差数列求，再应用计算通项公式；
（2）应用错位相减法求和即可．
【详解】（1）由已知得，，
所以，①
当时，，②
，得，
也符合该式，
所以．
（2）由（1）得，
所以，③
，④
，得
．
故．
6．已知数列的前项和是，且.
(1)证明：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）先对进行化简构造出，并结合等比数列定义可求解；
（2）根据（1）求出，然后构造关于的方程组并利用错位相减法可求解.
【详解】（1）证明：当时，，得：；
当时，得：，
将两式相减得：，得：，
所以得：当时，是等比数列，通项公式为：，
当，也符合，
故可证：数列为等比数列.
（2）由（1）得：，则得：，
则：①
②
①-②得：，
化简得：.
所以：数列的前项和：.
7．已知首项为4的数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据，得出与的关系，进一步变形得出等比数列；
（2）利用分组求和法及等比数列求和公式可求得结果.
【详解】（1）由题意，即，故，
即，又，故数列是以-1为首项，-1为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，即．
数列的前n项和为，
数列的前n项和为，
故．
8．设数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合探讨数列的特征，再求出通项公式即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性推理即得.
【详解】（1）依题意，当时，，解得，
当时，，
整理得，即有，两式相减得，
因此数列为等差数列，由，，得公差，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
因此
，
则，显然数列是递增数列，即有，而，
所以．
9．设各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．
(1)求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求时，n的最小值．
【答案】(1).
(2)n的最小值为20.
【分析】（1）利用求通项公式；
（2）先写出数列的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式求出，最后解不等式得出答案.
【详解】（1），
当时，有，解得
当时，有，因为，所以，化简可得.
数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
数列的通项公式为.
（2），
，即数列是以3为首项，4为公差的等差数列.
，解得或.
n为正整数
n的最小值为20.
10．已知为数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：根据得到，从而得到，可得的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；
法二：变形得到，结合，得到，利用求出答案；
（2）变形得到，当为奇数时，，当为偶数时，，分为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.
【详解】（1）法一: 当时，，即，由，得，
由，得，
两式相减得：．又，满足上式．
所以当时，，
又当时，，
两式相减得：，
所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为奇数），
数列的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为偶数），
所以，即的通项公式是．
法二：因为，
所以，
同理可得，
故，
因为，所以，即，
当时，，
当时，适合上式，所以的通项公式是.
（2）因为，
故当时，①，
当时，②，
①、②两式相减得：，
因为，，所以，
因为，所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，
所以；
当n为偶数时，
,
当n为奇数时，
，
综上，.
11．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用（）化简题中条件，可得列是以1为首项，1为公差的等差数列，求得，再根据（），即可求解；（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，，
即，解得．
因为（），
所以（），
又（，），，
所以（），
又，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以．
当时，，
当时，，满足上式，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
所以．
易错点五：裂项求和留项出错（数列求和）
常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），设，易得，
于是
（7）
积累裂项模型4：对数型
积累裂项模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
则
积累裂项模型6：阶乘
（1）
（2）
常见放缩公式：
（1）；（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
易错提醒：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。
例 ．已知数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：.
【详解】（1）因为，
当时，，，，，
当时，由得，
两式相减得，
，，，所以有，
从而，
所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
，
所以.
（2）由，且，
所以.
变式1．记为数列的前n项和，满足，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【详解】（1）因为，∴当时，，
所以，
整理得：，即，
∴
显然对于也成立，∴的通项公式
（2）
∴
由于，所以，故得证.
变式2．已知首项为1的数列，其前项利为，且数列是公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【详解】（1）数列是公差为1的等差数列，且，即，，
当时，，
当时，，满足，
综上，的通项公式为．
（2）由题意
，
所以
，
因此，数列的前项和.
变式3．已知数列为非零数列，且满足.
(1)求及数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，且满足，证明：.
【详解】（1）因为①
所以当时，，解得，
当时，②，
由①②得，即，又满足上式，所以.
（2）证明：因为，
所以.
1．已知是数列的前项和，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知等比中项列等式，结合与的关系可得的递推公式，然后利用构造法求，再根据与的关系求通项；
（2）根据裂项相消法求，然后可证明.
【详解】（1）由成等比数列，
得，
所以．
整理，得，则．
又，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以，即．
当时，，
所以．
当时，不符合上式．
故.
（2）由（1）可知，，
所以
，
所以，
故．
2．已知数列的前项和为，且满足，，当时，是4的常数列.
(1)求的通项公式；
(2)当时，设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题目条件得到，故数列，均为公比为4的等比数列，从而得到通项公式；
（2）裂项相消得到，从而求和，得到不等式.
【详解】（1）当时，为等比数列，即是4的常数列，
故，
当时，，当时，，
∴数列，均为公比为4的等比数列，
，，
.
（2），
∴当时，数列的前项和为
.
3．在数列中，为数列的前项和，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若.求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由前n项和求递推关系，应用等比数列定义证明等比求通项公式；
（2）应用裂项相消法计算即可.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，
即，易知，所以.
所以是以为首项，以2为公比的等比数列.
故.
（2），
4．设数列前n项和为，，.
(1)求，及的通项公式；
(2)若，证明：.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义进行求解即可.
（2）运用裂项相消法，结合对数的运算性质和换底公式进行求解证明即可.
【详解】（1）因为，，
所以可得：，
当时，由，得
， 因此数列从第三项起，每项与前一项的比为定值2，
所以；
（2）因为，
所以，
当时，，
所以
，
即.
5．已知等差数列的前n项和为，且，数列的前n项之积为，，且．
(1)求；
(2)令，求正整数n，使得“”与“是，的等差中项”同时成立；
(3)设，，求数列的前2n项和．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）先求出，再由等差数列求出公差，代入求出即可；
（2）先由递推公式求出，再求出，再根据条件求出满足，验证此时是否为，的等差中项即可；
（3）先求出，代入求出并进行裂项，最后求和即可.
【详解】（1）由，
令，得，即，
设等差数列的公差为，
由，解得，
所以，
所以，
所以，即．
（2）存在，理由如下：
由（1）可得，
所以当时，则，
可得；
当时，也满足上式，所以．
所以，
若成立，即，则，
此时，，，满足：，
即为，的等差中项，
所以存在符合题意．
（3），
则，
所以
.
6．设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.
(1)求，的通项公式
(2)设，求 ；
(3)设，数列的前项和为，求.
【答案】(1),
(2)
(3)
【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式求解；
（2）利用错位相减法求和；
（3）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设的公比为，
因为，所以，即，解得或（舍），
所以，
设的公差为，
因为，，所以，，
所以，解得，所以.
（2）由（1）可得，，
所以，
，
所以，
所以.
（3），
所以
.
7．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式
(2)若，数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用求出（），求出通项公式，检验也满足；
（2）裂项相消法求和后得到答案.
【详解】（1）∵①，
当时，，故，
时，②
①②得（），而也满足上式，
∴.
（2），
∴.
8．设为数列的前项和，
(1)求的通项公式；
(2)若数列的最小项为第项，求；
(3)设数的前项和为，证明：
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，由求出，再验证符合；
（2）将，代入，结合基本不等式，即可得出答案；
（3）当求出，对进行放缩，由裂项相消法即可证明.
【详解】（1）由题意知，当时，
当时，符合上式，
所以；
（2）由（1）知，，，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
所以数列的最小项为第一项，故；
（3）由（1）知
时，
记，
设为数列的前项和，则时，
时，，
因为所以
综上，
9．已知正项数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先根据，，变形证明数列是等差数列，即可求通项公式；
（2）首先根据（1）的结果，，再利用放缩法得，最后再求和，即可证明不等式.
【详解】（1）当时，，
即，
由数列为正项数列可知，，又，
即数列是首项为1，公差为1的等差数列，
即，则，
当时，，当时，成立，
所以
（2）由（1）可知，，则，
当时，
，成立，，成立，
当时，
，
即.
综上可知，，得证.
10．已知数列满足，且.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)已知数列满足，求的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据结合等比数列的定义即可得证；再利用构造法求的通项即可；
（2）利用分组求和法和裂项相消法计算即可.
【详解】（1）由，得，
，，，
，则是首项为4，公比为2的等比数列，
由是首项为4，公比为2的等比数列，
则，
，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，
，
则；
（2），
则
.