备战2024年高考数学易错题精选专题11圆锥曲线(学生版+教师版)

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易错点一：求轨迹方程时忽略变量的取值范围（求动点轨迹方程）
求轨迹方程共有四大类，具体方法如下：
第一类：直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
第一步：建系：建立适当的坐标系
第二步：设点：设轨迹上的任一点
第三步：列式：列出有限制关系的几何等式
第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
第二类：定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
第三类：相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
第四类：交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
例．已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.
求曲线的方程；
变式1．在平面直角坐标系中中，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，的轨迹为. 求曲线的方程；
变式2．已知y轴右侧一动圆Q与圆P：相外切，与y轴相切.
求动圆圆心Q的轨迹M的方程；
变式3．已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．
求的轨迹的方程；
1．已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切．
求动圆圆心的轨迹的方程．
2．在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
3．设抛物线的方程为，其中常数，F是抛物线的焦点．
(1)若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；
(2)设是点关于顶点O的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；
(3)设是两条互相垂直，且均经过点F的直线，与抛物线交于点,与抛物线交于点，若点G满足，求点G的轨迹方程．
4．已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.记的轨迹为曲线.
说明是什么曲线，并求的方程；
5．已知为圆：上任一点，，，，且满足.
求动点的轨迹的方程；
6．已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．
求点的轨迹的方程；
7．已知圆，一动圆与直线相切且与圆C外切．
(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；
(2)若经过定点的直线l与曲线相交于两点，M是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
8．圆，圆心为，点，作圆上任意一点与点连线的中垂线，交于.
求的轨迹的方程；
9．已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且.
求点Р的轨迹C的方程；
10．在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.
求C的方程；
易错点二：忽略了给定条件对e范围的限定（离心率的求算）
求离心率范围的方法
建立不等式法：
技巧1：建立关于和的一次或二次方程与不等式．
技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
技巧5：涉及的关系式利用基本不等式，建立不等关系．
易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意.
例．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
变式1．已知分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
变式2．已知双曲线的上焦点为，点P在双曲线的下支上，若，且的最小值为7，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2或B．3或C．2D．3
变式3．过双曲线：的右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．或C．D．
1．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知直线过双曲线的右焦点，且与双曲线右支交于，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．双曲线的左、右焦点分别为，，点是其右支上一点．若，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线与双曲线交于两点，点是双曲线上与不同的一点，直线的斜率分别为，则当取得最小值时，该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足与双曲线左支的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的部分交于点，若双曲线上的点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
易错点三：易忽略判别式自身参数范围（求最值问题）
知识点一、直线和圆锥曲线联立（设点设线联立化解韦达判别）
（1）椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
（2）抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
知识点二、根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：
1.如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
2.直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
易错提醒：求最值问题时一般转化为函数最值问题，自变量范围一般容易忽略判别式的前提（判别式也存在隐含自变量的范围）
例．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是 ．
变式1．已知椭圆的左焦点为是C上的动点，点，若的最大值为6，则C的离心率为 ．
变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为
变式3．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为 .
1．已知直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为椭圆上一个动点，则的最大值与最小值之和为 ．
2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为 ．
3．已知椭圆离心率为，为椭圆的右焦点，，是椭圆上的两点，且.若，则实数的取值范围是 .
4．已知椭圆是椭圆上两点，线段的垂直平分线与轴交于，则的取值范围是 .
5．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，点A关于x轴，y轴，原点的对称点分别为B，C，D，记四边形ABDC的面积为S，则的取值范围为 ．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上异于左、右顶点的一点，外接圆的圆心为M，O为坐标原点，则的最小值为 .
7．椭圆的左､右焦点分别为，离心率为为椭圆的左顶点，且，过原点的直线交椭圆于两点，则的取值范围为 .
8．已知为函数图象上第一象限内的一个动点，为坐标原点，则四边形的面积最大值为 .
9．过椭圆左焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴及y轴各有唯一公共点M，N，则的取值范围是 .
10．如图，在直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为 .
易错点四：意义不明导致定点问题错误（有关直线与圆锥曲线的定点与定值问题）
1、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
2、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
易错提醒：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明．
例．椭圆的离心率，过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为，求直线与直线的斜率之积.
变式1．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)经过点和的圆与直线：交于，，已知点，且、分别与交于、.试探究直线是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.
变式2．在平面直角坐标系中，已知定点 ，定直线，动点在上的射影为，且满足.
(1)记点的运动轨迹为，求的方程；
(2)过点作斜率不为0 的直线与交于 两点，与轴的交点为，记直线和直线的斜率分别为，求证：.
变式3．已知点，在椭圆 上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.
1．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C上是否存在点Q，使得直线与直线分别交于点A，B，且点A，B关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知过右焦点的直线与交于两点，在轴上是否存在一个定点，使？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
3．已知椭圆，其离心率为，直线被椭圆截得的弦长为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)圆的切线交椭圆于，两点，切点为，求证：是定值．
4．已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.记的轨迹为曲线.
(1)说明是什么曲线，并求的方程；
(2)设是上关于轴对称的不同两点，点在上，且异于两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值?若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
5．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.
6．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆经过点，
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上不同于点的两个动点，直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，证明：直线的斜率为定值．
7．已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．
9．已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.
10．已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．
(1)求实数和的值；
(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线与直线相交于点．且点在椭圆上，证明直线恒过定点．