2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-数与式-分式

这是一份2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-数与式-分式，共11页。试卷主要包含了 阅读理解， 通分等内容，欢迎下载使用。


1. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ）
2. 阅读两位同学的探究交流活动过程：
a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．
①
b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
②
③
④
c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）；
d．小亮对第n个等式进行了证明．
解答下列问题：
(1)第⑤个等式是_______；
(2)第n个等式是_______；
(3)请你证明第n个等式成立．
3. 在分式中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时，），则称分式为次分式．例如，为三次分式．
（1）请写出一个只含有字母的二次分式_________；
（2）已知，（其中m，n为常数）．
①若，，则，，，中，化简后是二次分式的为________；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值．
4. 阅读理解：
我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：，（这里我们规定：a≠0时，），又如：．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似．
①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：，所以103用二进制数码表示是1100111，记为；
②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：，所以可以表示成二进制小数，记为．
这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到的二进制小数表示：
由于，，所以，而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：，所以；
③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如：
，由，可知．
问题解决：
(1)将十进制数35化成二进制数为：（______）．二进制小数化为十进制分数是______．
(2)将十进制分数化成二进制小数：；．
(3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式．
设（A） 则（B）．
得：即，于是得到．
同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数．
请二进制循环小数化成十进制分数，保留计算过程．
5. （1）如果，那么m的值是 ，n的值是 ；
（2）如果，
①求的值；
②求的值．
6. 华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅米，这个数用科学记数法表示为（ ）
7. 在数学课上，老师给出了这样一道题：计算．以下是小明同学的计算过程．
解：原式 ①
②
③
(1)以上过程中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________；
(2)以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程．
8. 阅读理解
材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．
如：.
根据上述材料完成下列问题：
(1)当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
(2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当时，求代数式值的范围．
9. 新型冠状病毒最新变异为奥密克戎，它被科学家称为迄今为止“最糟糕的变异毒株”，它的直径虽然只有85纳米左右（1纳米米），但它在空中存活的时间更长，并且致病率更高．科学研究还表明：佩戴口罩可有效阻断奥密克戎的传播．将“85纳米”用科学记数法表示为（ ）
10. （1）通分：，，；
（2）求证：++的值不能为；
（3）求证：的值不可能为．
11. 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中，，均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数的值为_________．
（2）利用欧拉公式计算：_________．
12. 阅读理解：
材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，
发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律，快速计算：．
根据材料，回答问题：
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
……
（2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立．
（3）应用规律：
①计算：；
②如果，那么n＝ ．
13. 小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
(2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
(3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）．
14. 阅读材料：
对于两个实数a，b大小的比较，有如下规律：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若a-b＜0，则a＜b. 反过来也成立．
解决问题：
(1)已知实数x,则 （填“＜”，“=”或“＞”）；
(2)甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲用一半时间以每小时xkm的速度行走，另一半时间以每小时y km的速度行走；乙以每小时x km的速度行走一半路程，另一半路程以每小时y km的速度行走. 若x≠y，判断谁先到达B地，并说明理由．
下面是小明参考上面的规律解决问题的过程，请补充完整：
（1） （填“＜”，“=”或“＞”）；
（2）先到达B地的是 ．
说明：设甲从A地到B地用2th，则A，B两地的路程为（x+y）t km，乙从A地到B地用h．
15. （1）若，求的值．
（2）先化简，然后从2，1，中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
（3）已知：，，求．
16. 定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（ ）
17. 请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”．
（1）判断：___________（填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”_____________．
18. 阅读理解：
定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），如：，则称A是B的 “n差分式”．
例如：，我们称是的“3差分式”．
解答下列问题：
（1）分式是分式的“________差分式”；
（2）分式是分式的“2差分式”
①_______（用含x的代数式表示）；
②若A的值为正整数，x为正整数，求A的值．
（3）已知，分式是的“4差分式”（其中x，y为正数），求的值．
19. 对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进行“裂项”转化，
例如：；
参考上面的方法，解决下列问题：
(1)；；
(2)若将裂项变形，则___________；
(3)应用上述变形，化简：．
20. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______．
实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论．
21. 已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种：
例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为．
请根据以上方法，回答下面的问题：
(1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______；
(2)若实数，满足，．
①_______（用含的式子表示）；
②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值．
22. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．
(1)下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）；
(2)写出根分式中x的取值范围______；
(3)已知两个根分式．
①若，求的值；
②若是一个整数，且为整数，请直接写出的值：______．
23. 学习分式运算过程中，老师布置了这样一个任务：依据下面的流程图，计算 ．
（1）依据上面流程图计算时，需要经历的路径是 （只填写序号）；
（2）依据（1）中路径写出正确解答过程．
24. 2022年11月30日神舟十五号飞船载乘3名航天员成功与神舟十四号航天员乘组上演“太空相会”．航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶，是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于，用科学记数法表示为（ ）
25. 2020年是不平凡的一年，面对突如其来的新冠肺炎疫情，我们以人民至上、生命至上诠释了人间大爱，用众志成城、坚韧不拔书写了抗疫的史诗．新冠病毒属于冠状病毒科，形态要比细菌小很多，直径最小约0.00000006米，直径最大约为0.00000014米．将0.00000014用科学记数法表示为（ ）
26. 对于两个非零实数a，b定义一种新运算，记作．
定义：如果，那么（，，x为整数）．
例如：因为，所以；因为，所以．
根据上述运算的定义，回答下列问题：
（1）计算：___________，___________；
（2）如果，那么___________；
（3）如果，，那么___________；
（4）如果，，那么___________．
27. 阅读下列文字，解答问题：
俗话说的好“处处留心皆学问”，生活中处处有数学，小明为了研究在物价波动时如何买东西最合算，做了一个小调研：
某一粮店同一品种粮食在两个不同时段的粮价不同，假设x，y分别表示两个时段粮食的单价（单位：元/千克）
（1）李阿姨分别在两个时段各购买此品种粮食10千克，若用Q1表示李阿姨两次购粮的平均单价，试用含x，y的代数式表示Q1；
（2）王奶奶分别在两个时段各花10元购买此品种粮食，若用Q2表示王奶奶两次购粮的平均单价，试用含x，y的代数式表示Q2；
（3）一般地，“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零”．由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了试判断：谁两次购粮的平均单价低，并说明理由．
28. 阅读理解
欧拉是 18 世纪瑞士著名的数学家， 他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时， 在初等数学中也到处留下了他的足迹． 下面是关于分式的欧拉公式：
这个公式我们可以分情况进行研究， 例如， 当 时的欧拉公式为：
证明如下：
(1)请将材料中 时欧拉公式的证明过程补充完整．
(2)请从下面 两题中任选一题进行解答， 我选择___________题．
A．写出当 时的欧拉公式， 并任选一组 的值， 对该公式当 时的情形进行验证．
B．写出当 时的欧拉公式， 并证明；
(3)利用欧拉公式直接写出 的结果．
29. 2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心发射成功．中国对浩瀚星空的探索又迈入了一个全新的征程．北斗卫星导航系统提供定位和授时任务，其中授时精度为10纳秒，即：秒．将用科学记数法表示为（ ）
30. 当x≠4时，（x﹣4）0＝___．A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
…
﹣0.25
﹣0.
﹣0.5
﹣1
无意义
1
0.5
0.
0.25
…
A．米
B．米
C．米
D．米
方案
编号
第一次过滤
用净水材料的单位量
第一次过滤后
水中杂质含量
第二次过滤
用净水材料的单位量
第二次过滤后
水中杂质含量
A
6a
B
5a
a
C
4a
2a
A．与
B．与
C．与
D．与
A．
B．
C．
D．
A．1.4×107
B．1.4×10﹣7
C．14×10﹣6
D．1.4×10﹣6
A．
B．
C．
D．