洮南市第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中阶段性考试数学试卷(含答案)

这是一份洮南市第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中阶段性考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.-1B.1C.D.i
2．下列说法不正确的是( )
A.若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线
B.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线
C.若,,,,则
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
3．已知向量,,且,则( )
A.B.5C.D.
4．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,的面积为,则( )
A.B.4C.2D.
5．已知两条不同的直线m,n和平面,且,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．设,为两个平面,则的充要条件是( )
A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行
C.,平行于同一条直线D.以上答案都不对
7．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c向量向量,且满足则角( )
A.B.C.D.
8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且，则此棱锥的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数,为z的共轭复数,则下列结论正确的是( )
A.的虚部为B.z在复平面内对应的点在第一象限
C.D.
10．如图,已知正方体,点E、F、G分别为棱、、的中点,下列结论正确的有( )
A.与共面B.平面平面
C.D.平面
11．在中,角A,B,C的边分别为a,b,c,已知,,则下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.周长的最大值为D.面积的最大值12
三、填空题
12．已知非零向量,满足,,则向量,夹角的余弦值为___________.
13．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____________.
14．已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,且该圆锥的母线是底面半径的倍,若的面积为,则该圆锥的侧面积为_____________．
四、解答题
15．回答下列问题
（1）若复数．若复数z为纯虚数,求实数m的值,
（2）已知平面内的三个向量,,,若,求实数k的值
16．在中,,,,以AB所在直线为轴,三角形面旋转一周形成一旋转体,求此旋转体的表面积和体积．
17．如图,在正方体中,E是的中点．
（1）求证：平面ACE;
（2）设正方体的棱长为1,求三棱锥的体积．
18．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足．
（1）求角A;
（2）若点D在线段上,且满足,,求面积的最大值．
19．如图,A,B是单位圆上的相异两定点（O为圆心）,（）,点C为单位圆上的动点,线段AC交线段于点M（点M异于点O、B）,记的面积为S．
（1）记,求的表达式;
（2）若
①求的取值范围;
②设,记,求的最小值．
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得，
2．答案：B
解析：若四点中恰有三点共线,则直线和直线外一点,确定一个平面;若四点共线,则四点一定共面;若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线,故A正确．
若两条直线没有公共点,则两条直线可能异面,也可能平行,故B错误．
若,,,则,.
因为,所以,故C正确．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,故D正确．
故选：B.
3．答案：B
解析：由,可得,代入坐标运算可得,解得,
所以,得,
故选：B．
4．答案：C
解析：,由,故,又,
故,,由余弦定理可得：
,
即.
故选：C.
5．答案：D
解析：如图,取平面为平面,直线为n,
不妨取直线为m,显然有,此时,即推不出,
不妨取直线为直线m,显然有,此时,即推不出,
故选：D.
6．答案：B
解析：A选项,若这些无数条直线均平行,此时无法推出,A错误;
B选项,由面面平行的判定定理得到B正确,故D错误.
C选项,如图,,平行于同一条直线m,但,不平行,C错误;
故选：B.
7．答案：C
解析:由已知,得
再根据正弦定理有,,即.
由余弦定理得,,所以
因为,所以.
故选:C
8．答案：A
解析：在中，，，，所以；同理，，过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为，故，故平面ABD，且为等腰三角形.因为，故，则的面积为，则三棱锥的体积为.
9．答案：BC
解析：复数,则,
对于A,的虚部为-1,A错误;
对于B,z在复平面内对应的点在第一象限,B正确;
对于C,,,则,C正确;
对于D,,D错误.
故选：BC.
10．答案：AB
解析：如下图所示：
对于A选项,连接,
在正方体中,且,
所以,四边形为平行四边形,则,
因为E、F分别为、的中点,则,故,
所以,与共面,A对;
对于B选项,因且,所以,四边形为平行四边形,
则,
又因为E、G分别为、的中点,则,所以,,
因为平面,平面,所以,平面,
同理可证平面,
因为,、平面,所以,平面平面,B对;
对于C选项,不妨设的棱长为,则,
,,
因为平面,平面,则,
所以,,
所以,,故、不垂直,C错;
对于D选项,假设平面,
又因为平面,,、平面,
所以,平面平面,
事实上,平面与平面不平行,假设不成立,D错.
故选：AB.
11．答案：AC
解析：对A：由正弦定理可得：,故A正确;
对B：由余弦定理可得：,
又,所以,故B错误;
对C：由余弦定理,
所以,
又.
所以（当且仅当时取“”）.
此时周长的最大值为.故C正确;
对D：由余弦定理（当且仅当时取“”）,
此时,故D错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：因为且,为非零向量,设,则,
又,所以,则,
所以,
设向量,的夹角为,则,
即向量,夹角的余弦值为.
故答案为：.
13．答案：28
解析：方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以原正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.
方法二：由方法一可知，棱台的体积为.故答案为28.
14．答案：
解析：如图,设顶点S在底面圆的射影点为H,连接,,,
因为圆锥的母线是底面半径的倍,设,则,,
因为母线SA,SB所成角的余弦值为,
,
又的面积为,
, ,
该圆锥的侧面积为,
故答案：．
15．答案：（1）;
（2）
解析：（1）当,即时,复数z为纯虚数．
（2）,,
,
,．
16．答案：表面积为,体积为.
解析：过C点作,垂足为D．以AB所在直线为轴旋转一周,
所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥,如图所示,
这两个圆锥高的和为,
底面半径,
故.
.
即所得旋转体的表面积为,体积为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接交于O,连接,
则O为的中点,又E是的中点,
所以是的中位线,所以,
又平面,平面,所以平面;
（2）正方体中,易知平面,
所以
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,
即,
,,,
又,;
（2）解法一：令,则,
,,
即,①,
又,②,
联立①②,得（当且仅当时取等号）,
即,,
面积的最大值为.
解法二：依题意,
,
即,
（当且仅当时取等号）,
,
,
面积的最大值为．
19．答案：（1）
（2）①;②
解析：（1）因为,,
所以．
（2）①设,,则,
,
所以,,
又,所以,则．
②设,则,因为,
所以,
所以,
因为,所以,即,
化简得,,,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
故的最小值为．