2024年上海市闵行区高三上学期期末高考一模数学试卷含详解

这是一份2024年上海市闵行区高三上学期期末高考一模数学试卷含详解，共20页。
1. 已知集合，若，则实数________．
2. 若，则________．
3. 若实数满足，则最小值为______．
4. 已知，则________．
5. 已知圆锥底面周长为，母线长为3，则该圆锥的侧面积为________．
6. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______．
7. 若将函数图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则__________．
8. 已知，，数列是公差为1的等差数列，若的值最小，则________．
9. 今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为________．
10. 若平面上的三个单位向量、、满足，，则的所有可能的值组成的集合为________．
11. 已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为________．
12. 已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
14. 某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（ ）
A 高二和高三年级获奖同学共80人B. 获奖同学中金奖所占比例一定最低
C. 获奖同学中金奖所占比例可能最高D. 获金奖的同学可能都在高一年级
15. 已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（ ）
A. B. C. 的周长D. 的面积
16. 已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
①“”是“”的充要条件；
②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件．
A. ①真命题；②假命题B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题D. ①假命题；②假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成的角的正切值．
18. 在中，角、、所对边的边长分别为、、，且．
（1）若，，求的值；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
19. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下：
其中m、n均为正整数，．
（1）从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率；
（2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”．试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由．
20. 已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值；
（3）已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围．
21. 已知，．
（1）若为函数的驻点，求实数的值；
（2）若，试问曲线否存在切线与直线互相垂直？说明理由；
（3）若，是否存在等差数列、、，使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由．
2023学年第一学期高三年级学业质量调研
数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果．
1. 已知集合，若，则实数________．
【答案】
【分析】利用元素与集合的关系可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为集合，若，则，解得.
故答案为：.
2. 若，则________．
【答案】
【分析】根据三角函数诱导公式，即可求得答案.
【详解】由于，则，
故答案为：
3. 若实数满足，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】运用重要不等式（当且仅当取得等号），计算可得所求最小值．
【详解】解：若实数，满足，
则，
当且仅当时，上式取得最小值4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
4. 已知，则________．
【答案】
【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】展开式的通项为，取得到.
故答案为：.
5. 已知圆锥的底面周长为，母线长为3，则该圆锥的侧面积为________．
【答案】
【分析】求出圆锥的底面半径，根据圆锥的侧面积公式，即可求得答案.
【详解】设圆锥的底面半径为，则由圆锥的底面周长为，
可得，
而母线长为3，则该圆锥的侧面积为，
故答案为：
6. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
【分析】根据离心率公式和双曲线的的关系进行求解
【详解】由题知：，双曲线的渐近线方程为
故答案为
【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质
7. 若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则__________．
【答案】
【分析】根据函数的平移可得函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式，进而结合正弦函数的奇偶性求解即可.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
要使该函数为奇函数，则，，
即，，
又，则．
故答案为：.
8. 已知，，数列是公差为1的等差数列，若的值最小，则________．
【答案】3
【分析】结合等差数列的通项公式，转化为二次函数的最值问题可解.
【详解】∵数列是公差为1的等差数列，可设：.
∴
∴当时，的值最小.
故答案为：3
9. 今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为________．
【答案】
【分析】先确定值班天的人，有种选择，再将三个人全排即可，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】三人值班的天数分别为、、，先确定值班天的人，有种选择，
再将三个人全排即可，所以，不同的排法种数为种.
故答案：.
10. 若平面上的三个单位向量、、满足，，则的所有可能的值组成的集合为________．
【答案】
【分析】不妨设，，，其中、，根据平面向量数量积的坐标运算可得出、的值，求出的值，再利用平面向量数量积的坐标运算结合两角差的余弦公式可求得的值.
详解】不妨设，，，其中、，
则，所以，或，
，所以，或，
所以，，
因为，
当时，；
当时，；
当时，.
所以，的所有可能的值组成的集合为.
故答案为：.
11. 已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】利用无穷等比数列的前项和公式及性质即可得解.
【详解】因为为无穷等比数列，，
所以，则，则，
因为，所以是以为公比的等比数列，且，
此时，所以，
当时，；
当时，，
因为，所以，故，则；
综上：，即，故的取值范围为.
故答案为：.
12. 已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为________．
【答案】
【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案.
【详解】若P到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上，
平面，平面，故平面平面，
故到平面的距离即到的距离，
设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线，
不妨取正方体边长为，中点为，以所在的直线为轴，
以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交，
故共有个点满足条件.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何，抛物线的轨迹方程，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中根据题意得到动点的轨迹方程是解题的关键，
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D.
【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立；
对于C，取，满足，则，
当时，，故C中不等式不一定成立；
对于D，由，由于在R上单调递增，则成立，
故选：C
14. 某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（ ）
A. 高二和高三年级获奖同学共80人B. 获奖同学中金奖所占比例一定最低
C. 获奖同学中金奖所占比例可能最高D. 获金奖的同学可能都在高一年级
【答案】D
【分析】直接根据分层抽样的比例关系计算得到答案.
【详解】对选项A：高二和高三年级获奖同学共，错误；
对选项B：不能确定银奖和铜奖的人数，错误；
对选项C：金奖人数为，银奖和铜奖的人数和为人，
故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，错误；
对选项D：高一年级人数为，金奖人数为，故获金奖的同学可能都在高一年级，
正确；
故选：D
15. 已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（ ）
A. B. C. 的周长D. 的面积
【答案】A
【分析】由已知可得出，求出方程的虚根，结合复数模的性质可得出结论.
【详解】因为复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），则，
由可得，
对于方程，则，
解方程可得，
所以，，所以，，
中，由于不是定值，则面积、均不为定值，
故选：A.
16. 已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
①“”是“”的充要条件；
②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件．
A. ①真命题；②假命题B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题D. ①假命题；②假命题
【答案】C
【分析】对于①，构造函数，结合题设，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假.
【详解】对于①：
设，，则，
因为在R上为严格增函数，故，
即，则在R上单调递增，
由于，故，即。
即；
当成立时，即，
由于在R上单调递增，故，
故“”是“”的充要条件，①为真命题；
对于②，当在R上为严格增函数时，由对任意，则都有成立；
当对任意都有时，假设在R上不为严格增函数，
即不恒大于等于0，即，使得，
由于在R上为严格增函数，故时，，
此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线，
故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大，
这与对任意都有矛盾，
则假设不成立，即“在R上为严格增函数”成立，
即“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说明充分性成立.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成的角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）取线段的中点，连接、，推导出平面，可知，与平面所成的角为，计算出、的长，即可求得的正切值.
【小问1详解】
证明：连接，如图：

因为底面为正方形，为的中点，则为中点，
又因为为的中点，所以，为的中位线，所以，，
又平面，平面，
所以，平面.
【小问2详解】
解：取线段的中点，连接、，如下图所示：
因为，为的中点，则，
因为平面底面，平面平面，平面，
所以，平面，则与平面所成的角为，
因为，，则，所以，，
所以，，
因为四边形是边长为的正方形，则，
因为平面，平面，则，
因此，，
因此，直线与平面所成的角的正切值为.
18. 在中，角、、所对边的边长分别为、、，且．
（1）若，，求的值；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由已知条件可得出的值，再利用余弦定理可求得的值；
（2）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式化简得出，再利用为锐角三角形求出角的取值范围，即可求得的取值范围.
【小问1详解】
因为，，，所以，，
由余弦定理可得，故.
【小问2详解】
因为，由正弦定理可得，
即
，
因为为锐角三角形，则、、，所以，，
因为正弦函数在上为增函数，所以，，即，
由可得，故，
因此，的取值范围是.
19. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下：
其中m、n均为正整数，．
（1）从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率；
（2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”．试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由．
【答案】（1）
（2），或，或，，均符合题意.理由见解析
【分析】（1）求出从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，共有几种抽法，再求出抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的抽法，根据古典概型的概率公式即可求得答案；
（2）分别求出事件的概率的值或表达式，根据独立事件的乘法公式列式计算，即可求得答案.
【小问1详解】
从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，共有种抽法，
抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的抽法有种，
故抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率为；
【小问2详解】
由题意得，，，
要使得事件A与B相互独立，则需满足,
即，即，
由于，故时，；时，；
时，，均符合题意，取其中一组即可.
20. 已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值；
（3）已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）联立两曲线的方程，求出点的坐标，根据以及两点间的距离公式可求得的值；
（2）分析可知，曲线、关于直线对称，则点关于直线的对称点在曲线上，则，当且仅当、、三点共线时，取最小值，设点，利用平面内两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值；
（3）设点、，则点、，求、关于的等式，结合可求出的取值范围.
【小问1详解】
解：联立，可得，即点，
所以，，解得.
【小问2详解】
解：由可得，
所以，函数的反函数为，
即，
所以，曲线、关于直线对称，则点关于直线的对称点在曲线上，
所以，，则，
当且仅当、、三点共线时，取最小值，
当时，曲线方程为，
设点，则，
即，即当时，即当时，取最小值.
【小问3详解】
解：设点、，则点、，
其中，，
，其中，
当时，即当时，取最大值，即，
此时，，
因为函数在上单调递增，此时，，
函数在上为增函数，
故函数在上增函数，
当时，取最大值，即，
所以，，所以，.
【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
21. 已知，．
（1）若为函数的驻点，求实数的值；
（2）若，试问曲线是否存在切线与直线互相垂直？说明理由；
（3）若，是否存在等差数列、、，使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，理由见解析
（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）由已知可得出，可求得的值；
（2）由变形可得，利用零点存在定理判断出函数在区间上存在零点，即可得出结论；
（3）假设存在满足条件的等差数列、、符合题意，根据导数的几何意义可得出，整理可得即，令，设，利用导数分析函数的单调性，由此分析函数在上函数值的符号，即可得出结论.
【小问1详解】
因为，其中，
则，
因为为函数的驻点，则，可得，
所以为函数的驻点时.
【小问2详解】
当时，，则，
令，整理可得，
令，因为，，
且函数在上连续，由零点存在定理可知，存在，使得，
即方程在时有实根，
故当时，曲线上存在切线与直线互相垂直.
【小问3详解】
当时，，则，
假设存在等差数列、、，
使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行，
则，
过两点、的直线的斜率为
，
令，即，
可得，即，
令，设，则，
所以，函数在上为增函数，则，
故等式不成立，
因此，不存在等差数列、、，
使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.男生小青荷
女生小青荷
会说日语
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会说韩语
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男生小青荷
女生小青荷
会说日语
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