人教版数学七年级下期期末复习压轴题专训40题（原卷版+解析版）

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1．（2024春•兴宁区期中）问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
【分析】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质证明即可．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可．
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，构建方程求出x+y可得结论．
【解答】解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．
∵DE∥FG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵AB∥CG，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
2．（2024春•青羊区校级期中）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．
（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系： ∠AHE＝∠FAH+∠KEH ．
（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE．
（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．
【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；
（2）根据∠BEF＝∠BAK，分别表示出∠BAK、∠BEC、∠BAK、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由AG⊥BE，可得∠BEF的度数，则问题可解；
（3）结合（2），分以下几种情况求解：①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，②当KH∥EG时，③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，④当KE∥NG时，⑤当HE∥NG时．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠KEH＝∠AFH，
∵∠AHE是△AHF的外角，
∴∠AHE＝∠AFH+∠FAH，
∴∠AHE＝∠FAH+∠KEH．
故答案为：∠AHE＝∠FAH+∠KEH；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAK＝∠MKE，∠ABE＝∠BEC，
∵，
∴∠BAK＝2∠BEF，
∵∠BEC＝2∠BEF，
∴∠BAK＝∠BEC，
∴∠BAK＝∠ABE，
∴AK平分∠BAG，
∴∠BAK＝∠GAK＝∠ABE，
∵AG⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴3∠BAK＝90°，
∴∠BAK＝∠ABE＝∠GAK＝30°，
∴，
∴∠CEF＝45°，
∴∠CEF＝∠AFE＝45°，
∴∠AHE＝∠AFE+∠BAK＝75°．
（3）①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，
∵∠EKH＝∠EPG＝30°，
∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°，
∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°，
∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝∠PEN＝30°，
∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN，
∴秒，
②当KH∥EG时，
∴∠EKH＝∠KEG＝30°，
∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°，
∴∠NEK＝60°，
∴∠CEK＝120°，
∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG，
∴秒，
③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，
∴∠CEK＝150°，
∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN，
∴秒，
∴当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒．
④当KE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°．
∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG．
∴（秒）．
⑤当HE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°，
∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°．
∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG．
∴（秒）．
当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒．
3．（2024春•宜昌期中）已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF．
（1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数；
（2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由；
（3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．
【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠EPF＝120°；
（2）EP∥FN，根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得∠4＝2∠1＝∠AEP，进而可得结论；
（3）根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可．
【解答】解：（1）如图，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP＝45°，∠QPF＝∠180°﹣∠DFP＝180°﹣105°＝75°，
∴∠EPF＝∠QPE+∠DFP＝45°+75°＝120°．
故∠EPF＝120°；
（2）EP∥FN，如图，
理由：∵EM平分∠AEP，FN平分∠MFD，
∴∠AEP＝2∠1，∠MFD＝2∠3，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠4，
由（1）得，∠M＝∠1+∠CFM＝∠1+（180°﹣2∠3）＝∠1+（180°﹣2∠4），
由三角形外角的性质可得，∠N＝∠4﹣∠2＝∠4﹣∠1，
∵∠M与3∠N互补，
∴∠1+（180°﹣2∠4）+3（∠4﹣∠1）＝180°，
整理得，∠4＝2∠1＝∠AEP，
∴EP∥FN；
（3）①∠EPF+2∠ENF＝180°．如图，
∵AB∥CD，
∴∠CFH＝∠EHF，∠EKF＝∠DFK，
∵FN平分∠DFP，ME平分∠AEP，
∴∠CFH＝180°﹣2∠DFK，∠AEP＝2∠AEM＝2∠KEN，
由外角的性质得，∠EPF＝∠EHF﹣∠AEP＝180°﹣2∠DFK﹣2∠AEM，∠ENF＝∠EKF+∠KEN＝∠DFK+∠AEM，
∴∠EPF＝180°﹣2∠ENF，
∴∠EPF+2∠ENF＝180°．
②∠EPF＝2∠ENF﹣180°．如图，
∵AB∥CD，
∴∠PKB＝∠PFD＝2∠DFN，
由外角的性质得，∠EPF＝∠PKB﹣∠BEP＝∠PKB﹣（180°﹣2∠MEP）＝2∠DFN+2∠AEM﹣180°，
由（1）得，∠ENF＝∠DFN+∠NEK＝∠DFN+∠AEM，
∴2∠ENF＝2∠DFN+2∠AEM，
∴∠EPF＝2∠ENF﹣180°．
4．（2024春•海珠区校级期中）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．
（1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数；
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝46°，∠MND＝68°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒4°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时将△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒11°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当MN首次与CD重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（t≥0）秒后，M′N恰好平行于△F′PH′的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【分析】（1）延长PE交CD于G，根据平行线的性质可得∠APE＝∠PGQ，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可；
（3）先计算出t的取值范围，用t表示出∠MND的大小，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义，用t表示出△FPH三边与AB的夹角，当夹角相等时，两直线平行，据此解答．
【解答】解：（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，如图：
设∠APE＝2α，则∠FPH＝∠APE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠APE＝2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH＝QEG＝90°，
∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α，
∴∠EQH＝∠EQD＝45°+α
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α＝α+∠PFH，
∴∠PFH＝135°；
（2）2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°，
理由如下：延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，如图：
设∠APE＝2α，则∠FPH＝∠APE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠APE＝2α，
∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ，
∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α，
∴∠HQE＝∠EQD＝90°+α﹣∠PEQ，
在△EQH 和△PFH 中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ，
∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；
（3）∵∠MND＝68°，
∴tmax＝＝17，
∴∠MND＝68°﹣4t，
∵∠APE＝46°，PF是∠APE的平分线，
∴∠APF＝23°，
∴∠BPF＝180°﹣23°＝157°，
∴转动过程中，∠BPF＝，
由（1）知，∠QFP＝135°，
∴∠HFP＝45°，
∵PH⊥FH，
∴∠PHF＝45°，
∴∠HPM＝45°﹣23°＝22°，
∴∠HPB＝180°﹣22°＝158°，
∴在转动过程中，∠HPB＝，
设QH所在直线与射线PB的夹角为α，
∴α＝90°﹣∠HPA＝68°，
∴在转动过程中，α＝，
①当MN∥PF时，
（i）当0≤t＜时，此时，F在AB下方，
∴∠MND+∠BPF＝180°，
即，68°﹣4t+157°﹣11t＝180°，
解得：t＝3，
（ii）当≤t≤17时，此时，F在AB上方，
∴∠MND＝∠BPF，
即，68°﹣4t＝11t﹣157°，
解得：t＝15，
②当MN∥HP时，
（i）当0≤t＜2时，此时，H在AB上方，
∴∠MND＝∠HPB，
即，68°﹣4t＝158°+11t，
解得：t＝﹣6，舍去，
（ii）当2≤t≤17时，此时，H在AB下方，
∴∠MND+∠HPB＝180°，
即，68°﹣4t+202°﹣11t＝180°，
解得：t＝6，
③当MN∥FH时，
（i）当0≤t＜时，∠MND＝α，
即，68°﹣4t＝68°+11t，
解得：t＝0，
（ii）当≤t≤17时，∠MND+α＝180°，
即，68°﹣4t+292°﹣11t＝180°，
解得：t＝12，
综上所述，t＝0或3或6或12或15．
5．（2024春•锦江区校级期中）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小明将一个含45°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB，CD上，∠P＝90°，∠PMN＝45°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD ＝ ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若PN⊥EF，射线NO在∠MNG内交直线CD于点O，如图②．当N，M分别在点G，H的右侧，且∠GNO：∠MNO＝3：2，PM∥NO时，求α的度数；
（3）小明将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF，射线NO平分∠MNG，点N，M分别在直线AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【分析】（1）过点P作直线JK∥AB，根据平行公理，则AB∥JK∥CD，再根据平行线的性质，即可；
（2）延长PN交EF于点K，根据PN⊥PM，PN⊥EF，则EF∥PM，再根据平行公理，得EF∥PM∥NO，根据平行线的性质，则∠GHM＝∠NOM，∠PMN＝∠MNO，再根据∠GNO：∠MNO＝3：2，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可；
（3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当点N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可．
【解答】解：（1）过点P作直线JK∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴AB∥JK∥CD，
∴∠PNB＝∠NPJ，∠PMD＝∠JPM，
∴∠PNB+∠PMD＝∠NPJ+∠JPM＝∠NPK＝90°．
故答案为：＝．
（2）延长PN交EF于点K，如图2，
∵∠P＝90°，
∴PN⊥PM，
∵PN⊥EF，
∴EF∥PM，
∵PM∥NO，
∴EF∥PM∥NO，
∴∠GHM＝∠NOM，∠PMN＝∠MNO，
∵∠PMN＝45°，
∴∠PMN＝∠MNO＝45°，
∵∠GNO：∠MNO＝3：2，
∴，
∵AB∥CD，
∴GNO＝∠NOM，
∴∠GHM＝∠GNO＝67.5°，
∴α＝67.5°．
（3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图3，
∵PM∥EF，
∴∠EHM＝∠PMD＝α，
∵∠PMN＝45°，
∴∠NMD＝45°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠NMD＝45°+α，
∵射线NO平分∠MNG，
∴；
②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图4，
∵PM∥EF，
∴∠EHD＝∠PMD＝α，
∵∠PMN＝45°，
∴∠NMD＝45°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMD＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵射线NO平分∠MNG，
∴，
∴∠MNB＝180°﹣（45°+α），
∴，
综上所述，或．
6．（2024春•长垣市期中）【问题情景】如图1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．过点P作PM∥AB，求∠EPF；
【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，判断∠PEA，∠PFC，∠EPF之间满足怎样的数量关系，并说明理由；
【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，求∠EGF．
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求出∠1＝∠AEP＝45°，根据两直线平分线同旁内角互补得到∠2＝180°﹣120°＝60°，进而可求出∠EPF的度数；
（2）首先根据平行线的性质得到∠PEA＝∠NPE，然后根据平行线的性质得到∠FPN＝∠PFC，进而可得到∠PFC＝∠PEA+∠EPF；
（3）首先根据两直线平分线内错角相等得到∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，然后根据角平分线的概念得到，最后结合（2）的结论求解即可．
【解答】解：（1）∵AB∥PM，
∴∠1＝∠AEP＝45°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD＝180°，
∵∠PFD＝120°，
∴∠2＝180°﹣120°＝60°，
∴∠1+∠2＝45°+60°＝105°．
即∠EPF＝105°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF．
理由：∵PN∥AB，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥AB，AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE；
（3）∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴，
由（2）可知，∠CFP＝∠FPE+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠FPE+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（36°+∠AEP）﹣∠HGE＝18°．
7．（2024春•珠海期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）填空：∠1与∠3的数量关系： ∠1＝∠3 ；
（2）直接写出∠2与∠ACB的数量关系： ∠2+∠ACB＝180° ；
（3）如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题：
①当BE∥AD时，画出图形，并求出∠ACE的度数；
②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？若存在，请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由直角三角形中∠ACD＝∠BCE＝90°，可知∠1与∠3都是∠2的余角，根据同角的余角相等即可得出结论；
（2）结合图形可得∠1+∠2+∠3＝∠ACB，则可求解；
（3）①如图3，画出图形，作CF∥AD，可推出∠DCE＝∠D+∠E＝30°+45°＝75°，所以∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°；
②分四种情况讨论，①BC∥AD，②BE∥AC，③CE∥AD，④BE∥CD，画出图形，结合平行线的性质与进行求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
故答案为：∠1＝∠3；
（2）∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠2＝180°，
∵∠1+∠2+∠3＝∠ACB，
∴∠2+∠ACB＝180°，
故答案为：∠2+∠ACB＝180°；
（3）①如图3，当BE∥AD时，作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝∠D+∠E＝30°+45°＝75°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°；
②这两块三角尺还存在一组边互相平行；理由如下：
如图4，当BC∥AD时，∠DCB＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝30°；
如图5，当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°；
如图6，当AD∥CE时，∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
如图7，当BE∥CD时，∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝90°+45°＝135°．
综上，当BC∥AD时，∠ACE＝30°；当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°；当AD∥CE时，∠ACE＝120°；当BE∥CD时，∠ACE＝135°．
8．（2024春•海安市期中）某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．
（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理由；
（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数；
（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝80°时，请直接写出∠PFQ的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠APE＝∠PEH，∠CQE＝∠HEQ，进而得出结论；
（2）根据角平分线的定义、平角的定义以及四边形的内角和即可求解；
（3）利用角平分线、平角、三角形的内角和、平行线的性质以及等量代换进行计算即可．
【解答】解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，
如图1，过点E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，
∵AB∥EH，
∴∠APE＝∠PEH，
又∵CD∥EH，
∴∠CQE＝∠HEQ，
∵∠PEQ＝∠PEH+HEQ，
∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE；
（2）如图2，由（1）得，∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝130°；
∵∠APE+∠BPE＝180°，∠CQE+∠DQE＝180°，
∴∠BPE+∠DQE＝360°﹣130°＝230°，
又∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝（∠BPE+∠DQE）＝×230°＝115°，
在四边形PEQF中，
∠PFQ＝360°﹣（∠1+∠2+∠PEQ）＝360°﹣（115°+130°）＝115°；
（3）140°，如图3，延长PF交CD与点M，
∵PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，
∴∠BPE＝∠DNE，∠2＝∠PMC＝∠1，
又∵∠DQE＝∠DNE+∠E，即2∠4＝2∠1+80°，
∴∠4﹣∠1＝40°，
∴∠PFQ＝∠FQD+∠PMC＝180°﹣∠4+∠1＝180°﹣（∠4﹣∠1）＝180°﹣40°＝140°．
9．（2024春•天河区校级期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知AB∥CD，BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，BF和DF相交于点F．
探究问题
（1）在图1中，∠BFD，∠ABF，∠CDF之间的数量的关系为 ∠BFD＝∠ABF+∠CDF ．
∠BFD，∠ABE，∠CDE之间的数量关系为： ∠ABE+∠CDE＝2∠BFD ．
知识迁移
（2）如图2，若∠E+8∠M＝360°，，试猜想∠CDM和∠MDF间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）如图所示，过点F作FG∥AB，根据两直线平行内错角相等即可求解∠BFD，∠ABF，∠CDF之间的数量的关系；再根据角平分线的性质可求出∠BFD，∠ABE，∠CDE之间的数量关系；
（2）如图所示，过点E作EQ∥AB，过点M作MP∥AB，设∠CDM＝x，∠ABM＝y，根据平行线的性质，角平分线的性质可得∠ABE＝8y，∠ABE+∠CDE＝8x+8y，∠CDE＝8x，由此可得∠CDF＝∠EDF＝4x，所以根据∠CDM＝x，∠MDF＝3x即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，过点F作FG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥FG∥CD，
∴∠ABF＝∠BFG，∠CDF＝∠DFG，
∵∠BFG+∠DFG＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF；
由上述证明可知，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
∵BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，
∴，，
∴，
∴∠ABE+∠CDE＝2∠BFD；
故答案为：∠BFD＝∠ABF+∠CDF；∠ABE+∠CDE＝2∠BFD．
（2）∠MDF＝3∠CDM，理由如下：
如图所示，过点E作EQ∥AB，过点M作MP∥AB，
设∠CDM＝x，∠ABM＝y，
∵CD∥AB，
∴EQ∥MP∥AB∥CD，
∴∠CDM＝∠PMD＝x，∠ABM＝∠PMB＝y，
∵∠ABE+∠QEB＝180°，∠CDE+∠QED＝180°，
∴∠ABE+∠QEB+∠CDE+∠QED＝360°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°，
∴∠BDE＝360﹣（∠ABE+∠CDE），
∵∠E+8∠M＝360°，即∠BED+8∠BMD＝360°，
∴360°﹣（∠ABE+∠CDE）+8∠BMD＝360°，
∴8∠BMD＝∠ABE+∠CDE，
∵∠BMD＝∠PMD+∠PMB＝x+y，
∴8∠BMD＝8x+8y＝∠ABE+∠CDE，
∵，
∴∠EBF＝4y，
∵BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，
∴∠EBF＝∠ABF＝4y，∠CDF＝∠EDF，
∴∠ABE＝8y，
∵∠ABE+∠CDE＝8x+8y，
∴∠CDE＝8x，
∴∠CDF＝∠EDF＝4x，
∵∠CDM＝x，
∴∠MDF＝3x，
∴∠MDF＝3∠CDM．
10．（2024春•成都校级期中）已知：直线PQ∥MN，点A为直线PQ上的一个定点，过点A的直线交MN于点B，点C在线段BA的延长线上，D，E为直线MN上的两个动点（点D在点E的左侧）．连接AD，AE，且∠ADE＝∠DAE．
（1）如图1，若∠BAE＝25°，∠ADE＝50°，则∠ABN＝ 125° ；
（2）射线AF为∠CAE的角平分线．
①如图2，当点E在点B左侧时，若∠FAD＝20°，求∠ABD的度数；
②当点D与点B不重合，且∠ABN+∠FAD＝m°时，试用含m的代数式表示∠FAD的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质以及题干中∠ADE＝∠DAE即可推出∠ABN的度数．
（2）①设∠ADE＝∠DAE＝∠PAD＝α，则∠PAF＝∠PAD﹣∠FAD＝α﹣20°，∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝20°+α，由角平分线性质得∠CAF＝∠FAE＝20°+α，再由∠ABD＝∠PAC＝∠CAF﹣∠PAF即可求得答案．
②设∠ADE＝∠DAE＝α，∠ABN＝β，分三种情况：当点D在点B右侧时，当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，当D、E均在B点左侧时，分别求出∠FAD的度数．
【解答】解：（1）如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠ABN＝∠PAB，∠PAD＝∠ADE＝50°，
∵∠BAE＝25°，∠ADE＝50°，
∴∠ABN＝∠PAB＝∠PAD+∠DAE+∠BAE＝50°+50°+25°＝125°．
故答案为：125°；
（2）①如图2，∵PQ∥MN，
∴∠ABD＝∠PAC，∠ADE＝∠PAD，
∵∠ADE＝∠DAE，
∴∠ADE＝∠DAE＝∠PAD，
设∠ADE＝∠DAE＝∠PAD＝α，
∵∠FAD＝20°，
∴∠PAF＝∠PAD﹣∠FAD＝α﹣20°，∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝20°+α，
∵射线AF平分∠CAE，
∴∠CAF＝∠FAE＝20°+α，
∴∠PAC＝∠CAF﹣∠PAF＝（20°+α）﹣（α﹣20°）＝40°，
∴∠ABD＝40°；
②设∠ADE＝∠DAE＝α，∠ABN＝β，
当点D在点B右侧时，如图3，此时有∠EAF＝∠ABD，
则∠BAD＝∠ADE﹣∠ABN＝α﹣β，
∴∠CAE＝180°﹣∠BAD﹣∠DAE＝180°﹣（α﹣β）﹣α＝180°﹣2α+β，
∵射线AF平分∠CAE，
∴∠CAF＝∠FAE＝∠CAE＝，
∴∠FAD＝∠FAE+∠DAE＝+α＝90°+β，
∵∠ABN+∠FAD＝m°，
∴β+90°+β＝m°，
∴β＝m°﹣60°，
∴∠FAD＝90°+β＝90°+（m°﹣60°）＝（m+60）°；
当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，如图4，
则∠ADE＝∠DAE＝α，∠ABN＝β，
∴∠BAE＝2α﹣β，∠CAE＝180°﹣∠BAE＝180°﹣（2α﹣β），
∵射线AF平分∠CAE，
∴∠CAF＝∠FAE＝∠CAE＝，
∴∠FAD＝∠FAE+∠DAE＝+α＝90°+β，
∵∠ABN+∠FAD＝m°，
∴β+90°+β＝m°，
∴β＝m°﹣60°，
∴∠FAD＝90°+β＝90°+（m°﹣60°）＝（m+60）°；
当D、E均在B点左侧时，如图5，