12，2024年河南省洛阳市九年级中考第三次模拟考试数学试题

这是一份12，2024年河南省洛阳市九年级中考第三次模拟考试数学试题，共27页。

2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的概念，熟记相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可求得一个数的相反数．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
2. 5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅．已知硅原子的半径约为．数字用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的定义，理解定义是解题的关键．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数，据此即可求解．
【详解】解：由题意得，
．
故选：C．
3. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）试卷源自 试卷上新，即将恢复原价。
A. 扇形B. 三棱锥C. 圆锥D. 圆柱
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握各几何体的展开图是解本题的关键．根据各几何体的展开图，进行判断即可．
【详解】解：∵圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，
∴这个几何体是圆锥．
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂相乘法则，同底数幂相除法则判断即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B． ，原计算错误，不符合题意；
C． ，原计算错误，不符合题意；
D． ，原计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 如图，直线相交于点，平分，于点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂线，角平分线定义，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键．先求出，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由直角定义即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
6. 关于一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出的值，再判断出其符号即可．
【详解】解：，
有两个不相等的实数根．
故选：A．
7. 如图，在菱形中，对角线交于点，为的中点，已知，，则菱形的周长为（ ）
A. B. C. 4D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出．根据菱形的性质得出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质得出菱形的一条边是关键．由菱形的性质可得出，，再根据勾股定理得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：四边形为菱形，
，，
为直角三角形．
，且点为的中点，
，
在中，，
，
在中，
，
．
故选：B．
8. 某校体操队5名队员的身高（单位：cm）分别是166、166、167、170、175，现用一名身高的队员换下身高为的队员，与换人前相比，队员身高的（ ）
A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查平均数和方差，熟练掌握方差、平均数的计算公式是解题的关键．根据平均数和方差的定义计算即可得出答案．
【详解】解：原来数据的平均数：（cm），
方差：
现在数据的平均数：（cm），
方差：
∴平均数变小了，方差变小了．
故选：A．
9. 如图，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，，图2是点运动时随变化的关系图象，则长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键．当，即在点时，；利用两点之间线段最短，得到，得的最大值为；在中，设的长度为，由勾股定理求出的长，再根据求出的长，即可求解．
【详解】解：由函数图象知：当，即在点时，．
利用三角形中任意两边之差小于第三边，得到，
当点P、E重合时，有，
∴．
的最大值为，
．
在中，由勾股定理得：，
设的长度为，
则，
，
解得或，
由于，
．
，
∵点为的中点，
，
∵四边形是矩形，
∴．
故选：D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形的中心与原点重合，轴，正方形的面积为5，正方形的面积为1，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图象，勾股定理等知识，先判断出将绕点顺时针旋转，每次旋转，旋转4次回到原来的位置，则第2024次旋转结束时点回到起点，过G作于M，利用勾股定理求出，，利用等面积法求出，利用勾股定理求出，进而求出，即可求出点G的坐标．
【详解】解：∵，
∴每4次一循环，
∵，
∴第2024次旋转结束时，点回到起点，
过G作于M，

∵正方形的面积为5，正方形的面积为1，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴或（舍去），
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴G的坐标为，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请你写出一个图象经过点的函数解析式：______．
【答案】，，（答案不唯一）．
【解析】
【分析】此题为开放性试题．写的时候，此题只需根据一次函数的形式或反比例函数的形式或二次函数的形式等写出适合的解析式即可．
【详解】解：将点代入一次函数或反比例函数的形式或二次函数得：
，，等，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 不等式组的整数解为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键．分别解不等式，求出不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解是：，
故答案为：．
13. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家园”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果有8种，
抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为．
故答案为：．
14. 如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，线段与弧交于点，则图中阴影部分的面积为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的边角关系，弧长的计算以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据网格构造直角三角形，利用网格可得出进而得出，利用平角的定义可得出是等腰直角三角形，得出圆心角的度数，利用勾股定理求出，进而得出半径，再利用求出即可．
【详解】解：设的中点为，
∵，
∴是直径，
∴弧所在的圆心为，
如图，连接，，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
15. 如图，等边三角形的边长为3，点分别在边和上．将沿着折叠，若点恰好落在边的三等分点处，此时的长为______
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明得出，然后分和讨论即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
在右图中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点恰好落在边的三等分点处，
∴，或，
设，则，
当时，，
解得，，
∵，
∴，
解得，经检验是方程的解，
即；
当时，，
解得，，
∵，
∴，
解得，经检验是方程的解，
即，
故答案为：或
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）．
【答案】（1）0；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：
（1）利用负整数指数幂、零指数幂的意义，算术平方根化简计算即可；
（2）先通分，计算括号里的，再除法转化成乘法，然后约分化简即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息．
抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取对款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．

抽取的对，款设备的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，_______，_______；
（2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）15，88，98
（2）90 （3）款，理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得，再根据中位数和众数的定义求得，；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论．
【小问1详解】
解：抽取的对款设备的评分数据中“满意”的有6份，
“满意”所占百分比为：，
“比较满意”所占百分比为：，
，
抽取的对款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数，
“不满意”和“满意”的评分有（份），
第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89，
，
抽取的对款设备的评分数据中出现次数最多的是98，
，
故答案为：15，88，98；
【小问2详解】
解：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人），
答：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．
【小问3详解】
解：款自动洗车设备更受欢迎，
理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键．
18. 为了“让人民群众奔着更好的日子去”，各地广泛进行电商助农销售．某网店尝试用30天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/件的农产品，经过统计得到此农产品的日销售量（件）、销售单价（元/件）在第天（为正整数）销售的相关信息：①与满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；②与的函数关系如图所示：

（1）求第5天的日销售量；
（2）在这30天中，网店哪天销售该农产品的日利润最大？最大是多少元？
【答案】（1）90件 （2）第15天该网店销售该商品的日利润W最大，最大是2450元
【解析】
【分析】本题考查一次函数解决销售利润问题，二次函数解决销售利润问题及不等式解决销售利润问题，解题的关键是求出利润y与x的函数关系式．
（1）根据函数图象利用待定系数法可直接得到答案；
（2）分，，两种情况讨论，根据利润=利润单价×数量，写出函数关系式，再根据函数的性质可直接得到答案．
小问1详解】
解：设与函数解析式为：，
由图象可得，函数经过，，将点代入解析式得，，
解得：，
，
当时，，即第5天的日销售量为90件；
【小问2详解】
解：由题意可得，
①当时，设函数解析式为：，
由图象可得，函数经过，，将点代入解析式得，，
解得：，
，
，
，
当时，最大，，
②当时，此时，
，
，
随增大而减小，
当时，最大，
，
综上所述：第15天该网店销售该商品的日利润W最大，最大是2450元．
19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过反比例函数的图象上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若，求的面积；
（3）请直接写出当时，不等式解集．
【答案】（1）一次函数表达式，反比例函数表达式为
（2）的面积为6
（3）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求函数解析式，
（1）先求出，进而得出及，设点C坐标为，代入求出反比例函数表达式及一次函数表达式；
（2）先求出直线表达式为，进而得出，即可求出面积；
（3）结合图象即可得出结论．
【小问1详解】
解：一次函数与轴交于点，
当时，，则，
点A横坐标为2，
，
，
，
设点C坐标为，
，
，
，
当时，，即，
把代入，
解得：，
一次函数表达式，反比例函数表达式为；
【小问2详解】
，直线表达式，
直线表达式为，
由题意得：，
解得：，
，
当时，，
，
；
【小问3详解】
由图象可知：在点C左侧，正比例函数值小于反比例函数值，
当时，不等式解集为．
20. 位于洛阳的明堂，是唐洛阳城的地标性建筑，为中国古代建筑的巅峰之作．今天的明堂遗址保护建筑集遗址保护和功能展示为一体，某数学活动小组想利用学过的数学知识测量现明堂的高度．如图，在台基底部A处测得斜坡米，坡角，在处测得明堂顶端的仰角是．水平向前走2米到达处，在处测得明堂顶端的仰角是，求明堂的高度（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】明堂的高度为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．延长交于M点，作于点F，先求出，设，利用三角函数求出x，即可求出结论．
【详解】解：延长交于M点，作于点F，如图，
由题意得：，
则，
四边形是矩形，
在中，，米，
，
，
在中，，
，
，
设，
在中，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
答：明堂的高度为．
21. 如图在中，，以为直径的交于点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，交的延长线于点，交于（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：；
（3）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）的半径为4
【解析】
【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．
（1）连结，过点D作的垂线即可得出；
（2）连结，首先证得，结合是的切线，，，得到；
（3）设的半径为，则，，，连接，由，得列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：即为所求；
【小问2详解】
解析：连结，如图，
为的直径，
，即，
，
，
而，
为 的中位线，
∴，
是的切线；
∵，
；
【小问3详解】
解：设的半径为，
∵，
，
，
，
或舍弃）．
半径为4．
22. 已知：经过点，．
（1）请直接写出函数解析式；
（2）平移抛物线使得新顶点为仍在原抛物线上．新抛物线与轴交于，．
①求新抛物线的解析式，并直接写出此时时的取值范围；
②若点在上，线段轴，，线段与有两个交点，请直接写出点横坐标的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；；②点横坐标的取值范围为或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键．
（1）把，代入求解即可；
（2）①先求出，得出平移后的函数解析式为，求出，则可求，利用三角形面积公式求出m，即可求解，观察图象可出当时的取值范围；
②分点C在对称轴的左侧，右侧和点C在顶点处讨论即可．
【小问1详解】
解：把，代入，
得，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：①∵在上，
∴，
∴平移后的函数解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
联立方程组解得，
所以两函数只相交于点P，
由图象可知：当时，；
②设C的坐标为，则，
当C在对称轴的左侧，即时，
∵线段轴，，线段与有两个交点，
∴D在C的右侧，
∴D的坐标为，
根据题意，得，
解得，
∴；
当C在对称轴的左侧时，
∵线段轴，，线段与有两个交点，
∴D在C的左侧侧，
∴D的坐标为，
根据题意，得，
解得，
∴；
当C在顶点处时，线段与有唯一的交点，故不符合题意，舍去，
综上，点横坐标的取值范围为或．
23. 综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．
（1）①如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”．（填“是”或“不是”）
②如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．那么四边形是“垂美四边形”吗？请说明理由．
拓展探究
（2）如图3，四边形是“垂美四边形”，则两组对边与之间有什么数量关系？请说明理由．
迁移应用
（3）如图4，在中，，，．分别是射线，上一个动点，同时从点出发，分别沿和方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接与交于点，当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出的值．
【答案】（1）①是；②四边形是“垂美四边形”，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或．
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键．
（1）①证明是的垂直平分线，即可得到结论；
②设与分别相交于点M和点N，证明，进一步得到，即可得到结论；
（2）设相交于点O，利用勾股定理即可证明结论；
（3）过点P作于点D，证明，得到，设则，则，证明，则，解得，，，即可得到答案．
【详解】解：（1）①∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴四边形是“垂美四边形”．
故答案为：是．
②四边形是“垂美四边形”，理由如下：
设与分别相交于点M和点N，
∵以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
即，
∴四边形是“垂美四边形”；
（2）．理由如下：
如图3，设相交于点O，
已知四边形中，∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
（3）∵，，．
∴，
过点P作于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
当四边形是四边形是“垂美四边形”时，则，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，，
经检验，是原方程的解，
当时， ，此时点P在线段上，
当时， ，此时点P在线段的延长线上，
当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，的值为或．龙
行
龘
龘
龙
（龙，行）
（龙，龘）
（龙，龘）
行
（行，龙）
（行，龘）
（行，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
88
96
45%
88
87
40%