2024年广东省东莞市长安镇振安中学中考一模数学试题（学生版+教师版）

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1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. “纳米”是一种长度单位，1纳米米，华为手机自己开发的处理器使用了7纳米工艺，数据7纳米用科学记数法表示是（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：7纳米米，
故选：C．
3. 如图，，如果，那么（ ）度．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，根据对顶角的性质得出答案．
【详解】解：∵，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
4. 函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象可以由函数y＝﹣x2的图象通过（ ）得到
A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D. 向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的平移规律：左加右减，上加下减确定即可得解．
【详解】函数的图像可以由函数的图像通过右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．
故选C．
【点睛】此题考查的是二次函数的平移，掌握二次函数平移的性质是解题的关键．
5. “同位角相等，两直线平行”是（ ）
A. 公理B. 定理C. 定义D. 待证的命题
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是命题和定理，根据公理的概念判断即可．
【详解】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理，
故选：A．
6. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故选：D．
7. 如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8. 古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设共有人，辆车，
由题意可得，，
故选：．
9. 如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）

A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由A、C关于对称，推出，推出，推出当M、N、C共线时，的值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长．
【详解】解：如图，连接交于点O，连接，连接交于点．

∵四边形是正方形，
∴A、C关于对称，
∴，
∴，
∵当M、N、C共线时，的值最小，
∴y的值最小就是的长，
∴，
设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（负值已舍），
∴正方形的边长为4．
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，轴对称的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，，点P是对角线上一动点（不与A，C重合），连接．过点D作，且，连接．
①； ②的长度最小值为；③；④．
以上判断，正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】如图：由等腰直角三角形的性质可得，再根据正方形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得；同理可得，,然后结合可判定①；先说明，即求得的最小值即可判定②；先说明，然后运用勾股定理即可判定③；先证得到，然后运用正方形的性质和勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：

∵，且，
∴,
∵是正方形对角线，则,
∴,
∵
∴，
同理：，,
又∵
∴，即①正确；
在等腰中，，即求得最小值
当时，最小，此时，
∴的长度最小值为，即②错误；
∵，，，
∴，即,
∴即③正确；
在和中，CD=AB
∴，
∴，
∴,即④正确；
综上，正确的为①③④，共3个．
故选C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】原式提取公因式即可得到结果．
【详解】原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法．
12. 计算：________．
【答案】##1.5##
【解析】
【分析】原式根据算术平方根的意义以及零指数幂的运算法则化简各数后，再进行加法运算即可．
【详解】解：
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根以及零指数幂运算，熟练掌握算术平方根的意义以及零指数幂的运算法则是解答本题的关键．
13. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．
【答案】15
【解析】
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π．
故答案为15π．
14. 已知a，b是方程的两个根，则的值是__．
【答案】
【解析】
【分析】由根与系数的关系得，，然后整体代入即可．
【详解】，是方程的两个根，
，，
，
故答案为：，
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，求代数式的值，运用了整体思想，掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
15. 如图，矩形和正方形的顶点A，D均在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，顶点F在边上，顶点B，E都在反比例函数的图象上，若点B的坐标为，则点E的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，设，易得：，再根据均在反比例函数图象上，列出方程求出的值即可．
【详解】解：∵矩形和正方形，点B的坐标为，
∴，，
设，则：，
∴，
∵顶点B，E都在反比例函数的图象上，
∴，解得：或（舍去），
∴；
故答案为：．
16. 根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，故DE＝AD，故CD+AD＝CD+DE≥CF，求出CF即可．
详解】解：作射线AG，使得∠BAG＝30°，
过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，
∴DE＝AD，
∴CD+AD＝CD+DE≥CF，
∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，AC＝2，
∴∠ACF＝30°，
∴AF＝1，
∴CF＝，
∴CD+AD的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG，使得∠BAG=30°是解答本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 解方程：
【答案】，．
【解析】
【分析】根据配方法即可求解．
【详解】
∴，．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是配方法的应用．
18. 先化简，再求值： ，其中满足．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再根据可得，即可得到分式化简后的值，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
19. 一个不透明的袋中装有2个白球，3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）①从中任意摸出1个球是黑球；②从中任意摸出1个球是白球；③从中任意摸出1个球是红球；④从中任意摸出3个球，其中有红球．
上述事件是随机事件的是________，是确定事件的是________（只填序号）．将它们的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为________．
（2）现往袋中放入黑、白两种球共4个，每个球与袋中的球除颜色外都相同，将球摇匀，此时从中任意摸出1个球，摸到三种颜色的球的概率都相等，则放入的黑球个数为________，白球的个数为________．
【答案】（1）②③，①④，①②③④；（2）3，1
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以写出各个小题中的概率和相应的事件，从而可以解答本题；
（2）根据摸到三种颜色的球的概率都相等，可知三种颜色的球的数量相等，从而可以得到放入的黑球个数和白球个数．
【详解】解：（1）①从中任意摸出1个球是黑球的概率为0，是不可能事件，是确定事件；
②从中任意摸出1个球是白球的概率是，是随机事件；
③从中任意摸出1个球是红球的概率是，是随机事件；
④从中任意摸出3个球，其中有红球概率是1，是必然事件，是确定事件；
故答案为：②③，①④，①②③④；
（2）∵一个不透明的袋中装有2个白球，3个红球，又往袋中放入黑、白两种球共4个，从中任意摸出1个球，摸到三种颜色的球的概率都相等，
∴三种颜色的球的数量相等，
∴放入的黑球个数为3，白球个数为1，
故答案为：3，1．
【点睛】本题考查概率、随机事件与必然事件、等可能事件，解答本题的关键是求出相应的概率，写出相应的事件．
20. 某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
【答案】（1）购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
（2）该校此次最多可购买20个B品牌篮球
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用：
（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解；
（2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
【小问2详解】
设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，
依题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
21. 如图，中，，反比例函数的图象经过点A．
（1）求点A的坐标．
（2）直线垂直平分，交于点C，交y轴于点D，交x轴于点E，求线段的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形：
（1）根据题意，得到点的纵坐标为2，代入解析式求出点的坐标即可；
（2）先求，证明出，则由正弦值相等得：即可求解．
【小问1详解】
解：，
点的横坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
．
【小问2详解】
解：
∴，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：．

22. 如图，某数学兴趣小组为了测量塔的高度，他们先在水平地面上的点E处用高的测角仪DE测得塔尖的仰角为．然后沿方向前进到达点G处，在点G处用同样的测角仪测得塔尖的仰角为（C，F，D三点共线，且，）．求塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】米
【解析】
【分析】设，在中，根据正切三角函数关系得到，在中，根据正切三角函数关系列方程，然后解方程求出，最后利用关系即可得解．
【详解】解：连接并延长，交于点C，由题意得：
，，，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
解得，经检验：是原方程的根，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23. 如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，连接．

（1）求作的切线，交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：，
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）连接，过作的垂线即可；
（2）根据圆周角定理、等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质证明．
【小问1详解】
解：如图：即为所求；

作射线，以点P为圆心，任意长为半径画弧交射线于M，N，以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点E，作直线，交于点Q，则直线即为所求；
【小问2详解】
证明：连接，如图，

为直径，
∴，
，
，
，
∴，
∵为的切线，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．
如图1，①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接，，，作射线；③以D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E；④连接，交于点F．点F即为的一个三等分点（即）．
学习任务：
（1）填空：四边形的形状是 _______，你的依据是_______；
（2）证明：；
（3）如图2，若交于点H，，，将绕着点C旋转，当点H的对应点落在直线上时，求的长．
【答案】（1）菱形；四条边相等的四边形为菱形
（2）见解析 （3）DH′的长为或
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，善于利用特殊叫以及直角三角形中的关系是解题的关键．
（1）根据菱形的性质判定即可．
（2）证明，得出，再根据线段关系即可求出．
（3）利用菱形及已知条件推出相关信息，证明为等边三角形，再根据证明，求得;然后证明，根据相似三角形的性质得出、；最后用勾股定理解三角形即可．绕着点C旋转，点H的对应点需要分情况讨论．
【小问1详解】
解：由图的作法可知： ，
∴四边形的形状是菱形，
依据是：四条边相等的四边形为菱形．
故答案为：菱形；四条边相等的四边形为菱形；
【小问2详解】
证明：四边形形状是菱形，
，
，
．
，，
，
，
，
．
．
【小问3详解】
解：①当点在线段上时，连接，如图，
，，
为等边三角形，
，．
．
在和中，
，
，
，
为等边三角形，
，，
．
．
设与交于点K，
，
，
．
同理：，
．
，
，
，．
，．
．
②当点在射线上时，连接，如图，
由①知，，，
，
．
．
综上，的长为或．
25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B(﹣1，0)，且抛物线经过点D(2，﹣2)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E是抛物线上第四象限内的一点，且，求点E的坐标；
（3）若点P是y轴上一点，以P，A，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．
【答案】（1）
（2）E(，-1)
（3）P点的坐标(0，2)或(0，﹣2)或(0，﹣2﹣)或(0，)
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可，将坐标代入表达式得解．
（2）欲求三角形得面积，通过A、B两点得坐标，我们很轻松得得到AB得长度，同时E点纵坐标的绝对值就是新三角形的高，三角形的面积为2，通过面积公式，便可得解．因为抛物线的对称性，我们可以找到两个横坐标，又因为E点在第四象限，所以横坐标为正数，此题可解．
（3）如图2，设P(0,m)，则PC =m+2，OA =3．根据勾股定理得到． ①当PA=CA时，则OP1= OC=2．②当PC = CA＝时，可得即m+2=，解方程即可求解．③当PC= CA= 时，可得m＝-2-， 于是得到结论．④当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，根据相似三角形性质得到．
【小问1详解】
把B(﹣1，0)，D(2，﹣2)
代入中，得
，
解得：．
∴ 抛物线的表达式为；
【小问2详解】
当y＝0时，，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A(3，0)，
∴AB＝4，
如图1，过点E作x轴的垂线交x轴于点D，连接AE，BE．
设点点E(t，)，其中0＜t＜3，
∴
∴，
解得，(舍去)．
此时，
∴E(，-1)．
【小问3详解】
在中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴C(0，﹣2)
∴OC＝2，
如图2，设P(0，m)，则PC＝m+2，OA＝3，AC＝，
①当PA＝CA时，则OP1＝OC＝2，
∴P1(0，2)
②当PC＝CA＝时，即m+2＝，
∴m＝﹣2，
∴P2(0，﹣2)
③当PC＝CA＝时，
，
m＝﹣2﹣，
∴P3(0，﹣2﹣)．
④当PC＝PA时，点P在AC的垂直平分线上，
则△AOC∽△P4FC，
∴
∴
∴P4C＝，
∴，
∴P4(0，)，
综上所述，P点的坐标(0，2)或(0，﹣2)或(0，﹣2﹣)或(0，)．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式，利用相似三角形的比例建立表达式，正确地作出辅助线也是解题的关键．