2024岳阳县一中、汨罗一中高一下学期5月联考数学试题含解析

这是一份2024岳阳县一中、汨罗一中高一下学期5月联考数学试题含解析，文件包含湖南省岳阳县第一中学汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期五月联考数学试题含解析docx、湖南省岳阳县第一中学汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期五月联考数学试题无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第八章8.4.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】在复平面内，复数=
∴复数所对应的点（1，1）位于第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合A，再根据集合的并集运算求解.
【详解】由，解得，
，又，所以．
故选：D.
3. 已知向量不共线，向量，则（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由向量共线定理知，，再根据平面向量基本定理，对应系数相等即可求得.
【详解】因为不共线，，
所以，即，即，解得.
故选：B.
4. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则中边上的高为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】还原的原图，中边上的高为，即可得出答案.
【详解】还原的原图，如图所示，直观图中的点分别对应原图中的点，
直观图中的轴、轴分别对应原图中的轴、轴．
因为，所以，则，
即中边上的高为4．
故选：B.
5. 已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由最小正周期可求，可得，利用，可求对称中心的坐标.
【详解】由，得，所以．
令，则，
当时，，
所以图象的一个对称中心的坐标为．
故选：D.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数和对数函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以，又因为，
所以，又，所以．
故选：A.
7. 永丰文塔位于湖南省双峰县城永丰镇，修建于清朝同治年间，巍巍七层文塔，塔形呈六角形，塔底用高达五尺八寸的青条石奠基，永丰文塔与双峰书院遥相呼应，象征双峰文运昌隆．如图，某测绘小组为了测量永丰文塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，现测得，在点测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ）（取，）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意在中利用正弦定理可得，进而结合直角三角形分析求解.
【详解】在中，由正弦定理得，则，
因为在点测得塔顶A的仰角为，所以．
故选：D.
8. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用内切圆的性质，求得圆锥的底面半径和高，结合体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，设内切球与PA相切于点，
因为，所以，
由内切球的表面积为，可得球的半径，
则圆锥高为，圆锥的底面半径为，
所以该圆锥的体积.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（ ）
A. 直线与异面
B. 直线与异面
C. 正三棱台的体积为
D. 正三棱台的体积为
【答案】BC
【解析】
【分析】由异面直线的定义可判断A，B；求出正三棱台的体积可判断C，D.
【详解】对于A，直线与相交，A错误；
对于B，因为平面，平面，平面，
所以平面直线与异面，B正确；
对于C、D，因为正三棱台下底面的面积为，
所以正三棱台的体积
，C正确，D错误．
故选：BC.
10. 已知复数则（ ）
A. 的虚部为B.
C. 为实数D. 为纯虚数
【答案】ABD
【解析】
【分析】借助复数四则运算计算出复数后，结合共轭复数定义、复数概念与模长公式计算即可得.
【详解】对A：，，
则的虚部为，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，不是实数，故C错误；
对D：，是纯虚数，故D正确．
故选：ABD.
11. 如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为18
C. 的最大值为D. 的面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用坐标法，以A为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量的坐标，利用向量的坐标运算，再求解二次函数最值即可判断各个选项.
【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则，
对于A,B，，故A错误，B正确；
对于C，，
当时，取得最大值，且最大值为，故C正确；
对于D，的面积
，当时，取得最大值，且最大值为，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 在复数范围内，方程的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】在复数范围内解方程即可得出答案.
【详解】由，得或，
即或．
故答案为：.
13. 已知向量，若，则______；若，则______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】由垂直向量的坐标表示可求出的值；再由向量的夹角公式可得，解方程可得出答案.
详解】若，则，所以．
若，则，
得，
所以（舍去）或，故．
故答案为：；.
14. 若函数恰有4个零点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由二倍角的正弦和余弦公式化简，令，得，根据的范围求出的范围，由三角函数的性质可得，解不等式即可得出答案.
【详解】，
令，得．
若，则，
依题意可得，解得．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）证明：为钝角三角形．
（2）若的面积为，求．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理即可证明；
（2）由三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得，解方程即可求出.
【小问1详解】
证明：因为，所以，
所以，所以为钝角，故为钝角三角形．
【小问2详解】
解：因为的面积，
所以．
由（1）知，所以，
由余弦定理，得，
结合，解得．
16. 已知函数．
（1）证明：定义域与值域相同．
（2）若，，，求m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由具体函数的定义域可得，解不等式即可求出的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出的值域.
（2）设，则，分别求出，即可得出答案.
【小问1详解】
证明：由，得，
所以的定义域为．
，
因为在上单调递增．
所以，所以的值域为，
所以的定义域与值域相同．
【小问2详解】
解：由（1）知在上单调递增，
所以当时，．
设，
当，即时，取得最小值，且最小值为．
因为，，，
所以，即m的取值范围为．
17. 如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点．
（1）求该正三棱柱的体积；
（2）求三棱锥体积；
（3）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由正三棱柱的体积公式求解即可；
（2）由的体积等于，分别求出的体积代入即可得出答案.
（3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以．
【小问2详解】
因为，
，
所以
【小问3详解】
将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示．
当三点共线时，取得最小值，
且最小值为．
18. 如图，在梯形中，，，，，在线段上．

（1）若，用向量，表示，；
（2）若AE与BD交于点F，，，，求的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据图形关系及平面向量线性运算法则计算可得；
（2）依题意可得，根据数量积的运算律及定义得到方程，求出，再判断即可.
【小问1详解】
依题意，
．
【小问2详解】
因为，
所以，
所以．
因为，所以，
所以，即，解得或．
连接交于，因为，所以，所以，
则．
因为在线段上，所以，故．

19. 在中，．
（1）证明：为重心．
（2）若，求的最大值，并求此时的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）最大值为，
【解析】
【分析】（1）设，分别为，，的中点，利用向量的加法与三角形中线的性质，证出，，由共线定理可得为三条中线的交点，即可证明；
（2）分别在三角形中进行余弦定理，证出，从而设，由两角和的正弦公式得到表示，再由三角函数的性质求出取得最大值，最后由余弦定理即可得出答案.
【小问1详解】
证明：设的中点为，则，
因为，所以．
设的中点为的中点为，同理可得，
所以三点共线，三点共线，三点共线，
从而为三条中线的交点，即为的重心．
【小问2详解】
解：由（1）知，因为，所以．
因为，所以，
设，则，
由余弦定理，得，
，则．
设，
所以，
当，即时，取得最大值，且最大值为，
此时，解得，
此时．