河北省衡水市故城县河北郑口中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

这是一份河北省衡水市故城县河北郑口中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题，共18页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题纸上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题纸上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．已知a，b，c为三条不同的直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．已知a，b，c为三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则
C．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于点P，Q，R，则P，Q，R三点共线
D．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
3．已知样本数据，，…，的平均数和标准差均为4，则数据，，…，的平均数与标准差分别为（ ）
A．，4B．，16C．4，16D．4，4
4．已知在正四面体ABCD中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前、后当地村民经济收入的构成比例如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．改革后，其他收入减少
B．改革后，外出打工收入是改革前的
C．改革后，养殖收入增加了一倍
D．改革后，种植有机蔬菜收入所占比例的增幅最大
6．已知的外接圆圆心为O，半径为1，，且，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．若一组样本数据，，…，的方差为2，，，则样本数据，，…，的方差为（ ）
A．1B．2C．2.5D．2.75
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知甲组数据为1，1，3，3，5，7，9，乙组数据为1，3，5，7，9，则（ ）
A．这两组数据的第80百分位数相等
B．这两组数据的极差相等
C．这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅乙组数据的均值不变
D．甲组数据比乙组数据分散
10．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若b＝3，a＝4，，则有两解
C．若，则为等腰三角形
D．若，且c＝1，则内切圆面积的最大值是
11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ）
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C．勒洛四面体中过A，B，C三点的截面的面积为
D．勒洛四面体的体积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某社区有60岁以上的居民800名、20岁至60岁的居民1800名、20岁以下的居民400名，该社区卫生室为了解该社区居民的身体健康状况，准备对该社区所有居民按年龄采用分层随机抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中年龄在20岁以下的居民的人数为______．
13．已知圆台的上、下底面的直径分别为4，8，该圆台的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为______．
14．如图，在棱长为6的正方体中，由E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知复平面内表示复数 （）的点为Z．
（1）若点Z在函数的图像上，求m的值；
（2）若O为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求m的取值范围．
16．（15分）
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的年龄的中位数和众数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1．求这m人中35~45岁的所有人的年龄的方差．
17．（15分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，．
（1）若DC＝2EF，求证：平面ADF；
（2）若FB＝FD，求证：平面AFC⊥平面ABCD．
18．（17分）
在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若D为BC的延长线上一点，且，求的取值范围．
19．（17分）
n元向量（n-tuplevectr）也叫n维向量，是平面向量的推广，设n为正整数，数集P中的n个元素构成的有序组（，，…，）称为P上的元向量，其中为该向量的第i个分量．n元向量通常用希腊字母，，等表示，如，P上全体n元向量构成的集合记为．对于，，记，，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设，的夹角为，则．
（1）设，，，，，解决下面问题：
（i）求；
（ii）设与的夹角为，求；
（2）对于一个n元向量，若，称为n维信号向量，规定．已知k个两两垂直的120维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都相同，证明：．
参考答案及解析
一、选择题
1．B【解析】，故．故选B项．
2．C【解析】对于A项，直线a，b异面，b，c异面，则a，c可能平行、相交或异面，所以A项错误；
对于B项，a⊥c，b⊥c，则a，b可能平行、相交或异面，所以B项错误；
对于C项，如图，设平面平面ABC＝l，因为，平面ABC，所以，同理，，故P，Q，R三点共线，所以C项正确；
对于D项，底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥的侧棱长不一定相等，如图，，为等腰直角三角形，AD＝AB＝AC，为等边三角形，则BD＝CD≠AD，
故不一定是正三棱锥，所以D项错误．故选C项．
3．A【解析】由题意知样本数据，，…，的标准差为4，所以样本数据，，…，的方差为16，因为样本数据，，…，的平均数为4，方差为16，所以，，…，的平均数为，方差为，所以，，…，的标准差为4．故选A项．
4．C【解析】如图，设正四面体ABCD的棱长为2，取BD的中点N，连接MN，CN，
因为M是AB的中点，所以，，则或其补角是直线CM与AD所成角，易得，取MN的中点E，连接CE，则CE⊥MN，在中，，所以，所以直线CM与AD所成角的余弦值为．故选C项．
5．D【解析】设改革前当地村民的经济收入为m，则改革后当地村民的经济收入为2m，由题意可得下表：
根据表格可知改革后其他收入增加，故A项错误；，故B项错误；，故C项错误；由题图可知改革后种植有机蔬菜收入所占比例的增幅最大，故D项正确．故选D项．
6．D【解析】如图，
由，知O为BC的中点，又O为的外接圆圆心，所以，，所以AB⊥AC，因为，所以，所以，所以向量在方向上的投影向量为．故选D项．
7．B【解析】由题意得，，根据斜二测画法的性质，可得该直棱柱的底面OA＝2，OC＝4，OC⊥OA，，，所以该直棱柱的底面是长为4、宽为2的矩形，其对角线，所以该直棱柱外接球的半径，则该直棱柱外接球的表面积．故选B项．
8．C【解析】设样本数据，，…，的平均数为，则，设样本数据，，…，的平均数为，由，得，所以
．故选C项．
二、选择题
9．BC【解析】对于A项，由，得甲组数据的第80百分位数为7，由，得乙组数据的第80百分位数为8，A项错误；
对于B项，甲组数据与乙组数据的极差均为8，B项正确；
对于C项，甲组数据去掉前、后的均值分别为，，乙组数据去掉前、后的均值分别为5，5，C项正确；
对于D项，甲组数据的方差，乙组数据的方差，因为，所以乙组数据较分散，D项错误．故选BC项．
10．ABD【解析】对于A项，若，
则，即，
即，即，故B＝C，所以为等腰三角形，A项正确．
对于B项，若b＝3，a＝4，，则，由，
得，解得或，故有两解，B项正确．
对于C项，由，得，
所以，所以或A＝B，故为等腰三角形或直角三角形，C项错误．
对于D项，由，得，
即，对该等式通分得到，即，即，
所以，
由，得，所以，且c＝1，
所以的内切圆半径．
又，
当且仅当时等号成立，所以，
故的内切圆面积．
验证知当时，等号成立，所以的内切圆面积的最大值是，D项正确．故选ABD项．
11．AD【解析】如图，
F是底面BCD的中心，O为正四面体ABCD外接球（也是内切球）的球心，AF为高，正四面体ABCD的底
面面积为，底面所在圆的半径为，所以正四面体ABCD的高为，所以正四面体ABCD的体积．设正四面体ABCD的外接球半径为r，则由题意得，解得，
所以正四面体ABCD的外接球的体积为．
对于A项，由题意知勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为a，故A项正确．
对于B项，勒洛四面体能容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，
E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，由题意得该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE，易知B，O，E三点共线，BE＝a，，则，故B项错误．
对于C项，勒洛四面体中过A，B，C三点的截面如图所示，
该截面的面积为三个半径为a，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积，即，故C项错误．
对于D项，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球的体积之间，则勒洛四面体的体积V满足，故D项正确．故选AD项．
三、填空题
12．20【解析】由分层随机抽样的定义可知样本中年龄在20岁以下的居民的人数为．
13．【解析】如图，O是扇环的圆心，的长为，的长为，由已知得，所以OC＝16，OA＝8，则AC＝16－8＝8，即为圆台的母线长，所以圆台的高，体积．
14．【解析】如图，设直线EF与直线AD，CD分别交于点M，N，连接GM，GN分别交，于点K，H，连接EK，FH，则五边形EFHGK是过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面，
显然AM＝AE＝CF＝CN＝3，，则AK＝1，
，，
又．所以五边形EFHGK的周长为．
四、解答题
15．解：（1）因为点在函数的图像上，
所以，解得m＝3．
（2） ，，
因为与的夹角为钝角，所以，
所以，
即，解得．
当两向量共线且反向时，设，，
则解得，，
所以m的取值范围为．
16．解：（1）因为，，
所以这m人的年龄的中位数为，
众数为．
（2）由频率分布直方图得各组人数之比为1：7：6：4：2，
则各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人，
设第四组、第五组宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄的平均数为，方差为，
则，，
所以第四组和第五组所有宣传使者的年龄的方差为10，
据此，可估计这m人中35～45岁的所有人的年龄的方差约为10．
17．证明：（1）如图，取AD的中点G，连接OG，FG，
因为O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，
所以，且，
因为，且DC＝2EF，
所以，且OG＝EF，
所以四边形GOEF为平行四边形，所以，
又平面ADF，平面ADF，
所以平面ADF．
（2）连接OF，
因为四边形ABCD为菱形，所以OC⊥BD，
因为FD＝FB，O是BD的中点，所以OF⊥BD，
又，OF，平面AFC，
所以BD⊥平面AFC，
因为平面ABCD，
所以平面AFC⊥平面ABCD．
18．解：（1）由题意得，，．
在锐角三角形ABC中，，
由正弦定理得，
即，
所以，
即，故，
又，所以．
（2）在中，，
由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理得，
即，则，
所以，
因为，
所以
．
因为为锐角三角形，，
所以解得，
因为，
所以，所以，
所以．
故的取值范围为．
19．（1）因为，，，，，
所以．
（i）解：．
（ii）解：因为，，
所以．
（2）证明：任取，，，
计算内积
设这些内积之和为S，则．
设，，…，的第i个分量之和为，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，即，
所以．其他收入
养殖收入
外出打工收入
种植有机蔬菜收入
改革前
0.18m
0.15m
0.45m
0.22m
改革后
0.3m
0.5m
0.3m
0.9m