2024年广东省珠海市梅华中学中考一模数学试题

这是一份2024年广东省珠海市梅华中学中考一模数学试题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．B．2024C．D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达8016000000元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据8016000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．对于非零实数，下列运算一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25B．23，23C．23，24D．24，24
8．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，直线l经过点A，且垂直于AB，分别与AB、AC相交于点M，N．直线l从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，当直线l经过点B时停止运动，若运动过程中△AMN的面积是y(cm2)，直线l的运动时间是x(s)则y与x之间函数关系的图象大致是( )
A．B．
C．D．
二、填空题
11．若式子有意义，则的取值范围是 ．
12．分解因式：2x2﹣8=
13．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有 个．
14．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则 寸．

15．如图，把边长为2的菱形放在平面直角坐标系中，边在x轴上，，点A的坐标是，E是边的中点，反比例函数的图象经过点E，则k的值是
16．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．

三、解答题
17．（1）计算：．
（2）先化简，后求值：，其中．
18．如图，在中，D是边上一点．

(1)请用尺规作图，在上找一点E，作，保留作图痕迹．
(2)若，求与四边形的面积比．
19．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员丙测试成绩统计表
（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的a＝ ，b＝ ；
（2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
20．如图①是一台电脑支架，图②是其侧面示意图，、可分别绕、转动，测量知，，当、转动到，时，求点到的距离的长（参考数据：，，）．
21．应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
(1)求甲、乙两种书柜的进价；
(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
22．如图，是的直径，，E是的中点，连结并延长到点F，使．连结交于点D，连结，．
(1)求证：直线是的切线．
(2)若，求的长．
23．已知矩形中，，，P是边上一点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连结，直线与射线相交于点F．

(1)如图1，当F在边上，若时，求的长；
(2)若射线交的延长线于Q，设，，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)①如图2，直线与边相交于点G，若与相似，则________度；
②如图3，当直线与的延长线相交于点H时，若．求的长．
24．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．
(1)【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．
(2)【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
(4)【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
7
6
8
b
7
5
8
a
8
7
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：
∴的倒数为，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：A．
3．D
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图形有两列，数量分别为1、2，据此即可判断答案．
【详解】
解：由图形可知，主视图为
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算，根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算法则分别计算即可判断求解，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
6．A
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），可以求得的度数，即可求得的度数．
【详解】解：如图，
，，，
，
，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键．根据众数、中位数的定义进行解答即可．
【详解】这组数据中，出现次数最多的是23，因此众数是23，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，由此中位数是24．
故选C．
8．D
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴．
故选：D．
9．B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键．
由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可．
【详解】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为，
∴汽车的速度为，
根据题意得：．
故选：B．
10．B
【分析】过点C作CD⊥AB于D．先证明△ABC是直角三角形，进而求出CD、AD的长．然后分和两种情况，求出MN的长，根据三角形面积公式即可得出y与x的函数关系式，进而得出结论．
【详解】过点作于．
∵，
∴是直角三角形，
∴，，
∴，．分两种情况：
（1）当时，如图1．
∵，
∴，
∴，函数图象是开口向上，对称轴为轴，位于轴右侧的抛物线的一部分；
（2）当时，如图2．
∵，
∴，
∴，函数图象是开口向下，对称轴为直线，位于对称轴右侧的抛物线的一部分；综上所述：B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．分类讨论是解答本题的关键．
11．
【分析】直接根据二次根式有意义的条件列不等式求解即将．
【详解】解：若式子有意义，则，∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据题意正确列出不等式是解答本题的关键．
12．2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
13．
【分析】根据概率公式求出总的情况，利用总的情况减去白球的即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
总的可能有：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求简单概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．
14．26
【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，由垂径定理得寸，由勾股定理得，解方程求出，从而得到直径的值．
【详解】解：如图，连接，
，
设的半径为寸，则寸，寸，
，寸，
寸，
在中，，
即，
解得：寸，
寸，
故答案为：26．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质以及，证得是等边三角形，由E是边的中点，得出，解直角三角形求得E的坐标，根据待定系数法即可求得．
【详解】解：连接，
∵菱形的边长为2，，
∴，
∴是等边三角形，
∵E是边的中点，则，
∴，
∴，，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点E，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
17．（1）；（2），
【分析】（1）首先根据二次根式的性质化解，计算特殊角的三角函数值，零指数幂和绝对值，然后计算加减；
（2）先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将代入进行计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
∵
∴原式．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，分式的加减乘除混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，正确计算是解题的关键．
18．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据基本作图，作出等于已知角即可．
（2）利用相似三角形的性质求解．
本题考查作图—基本作图，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题．
【详解】（1）图形如图所示：

则即为所求．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．（1）a＝7，b＝7；（2）选乙更合适；（3）．
【分析】（1）根据众数、得到a、b中至少有一个为7，再根据平均数进而确定a＝b＝7；
（2）求出甲、乙、丙的平均数、众数，通过平均数、众数比较得出乙、丙较好，再根据方差，得出乙的成绩较好，较稳定．
（3）用树状图表示所有可能的情况，从中得出第二轮又回到乙手中的概率．
【详解】解：（1）由众数的意义可知，a、b中至少有一个为7，又平均数是7，即（56+a+b）÷10＝7，
因此，a＝7，b＝7，
故答案为：7，7；
（2）甲的平均数为：＝＝6.3分，众数是6分，
乙的平均数为： ＝＝7分，众数为7分，
丙的平均数为：＝7分，众数为7分，
从平均数上看，乙、丙的较高，从众数上看乙、丙较高，
但S乙2＝0.4＜S丙2＝0.8，
因此，综合考虑，选乙更合适．
（3）树状图如图所示：
∴第二轮结束时球又回到乙手中的概率P＝．
【点睛】本题主要考查了数据的收集与整理及概率，涉及了平均数、众数、方差的计算方法及其意义以及树状图或列表法求概率，灵活的从条形统计图、折线统计图以及表格中获取相关数据是解题的关键.
20．点到的距离的长为
【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．过点作，，垂足分别为、，构造矩形和、，在直角三角形中利用直角三角形的边角间关系分别求出，最后利用线段的和差关系得结论．
【详解】解：过点作，，垂足分别为、，
，，，
四边形是矩形，，
，，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
，
答：点到的距离的长为．
21．(1)每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元．
(2)购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为元，根据“用3300元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少5台”列方程求解即可；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为y元，然后根据意义列出y与m的函数关系式，然后再根据“乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍”列不等式确定m的 取值范围，最后根据函数的增减性求最值即可解答．
【详解】（1）解：设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为元，
根据题意得，，解得，
经检验，是原方程的根．
（元）．
答：每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元．
（2）解：设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得：，即，
∵，
∴y随x的增大而增大，
当时，（元）．
答：购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程和不等式以及函数解析式是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，可得，可得结论；
（2）由勾股定理求得和，再根据等面积法即可求得．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）由（1）知，，
设的半径为r，则，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
即，，
∵为直径，
∴，
∴，
即，
解得．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．(1)４
(2)，
(3)①；②10
【分析】(1)根据矩形性质和，推出四边形为平行四边形，得到，得到，，由翻折性质得到，，得到，得到；
(2)根据， ，得到，得到 ，推出 ， x的取值范围是；
(3)①连接，根据翻折性质得到，，根据，，得到，推出，得到；②连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，得到，由折叠性质得到，，根据，得到，得到，得到，推出四边形为矩形，得到，得到，由折叠性质得到，得到，得到，根据勾股定理得到，即得．
【详解】（1）如图，∵在矩形中，，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
由翻折知，，，
∴，
∴,
∵，
∴；

（2）∵在矩形中，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得，，
∴x的取值范围是；
（3）①如图，设交于点M，连接，由折叠知，，，

∵
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
②如图，连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，则，

由折叠知，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
由（2）知垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形折叠综合．熟练掌握矩形的判定和性质，折叠性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键．
24．(1)（0，），，
(2)，4）或（，4 ）
(3)
(4)或
【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；
（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．
【详解】（1）解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，
故答案为：（0，），，
（2）解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）；
（3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；
（4）解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
∵在Rt△MNH中，，
∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN，
设点M的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴HN=2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴，
∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，
∴，
综上所述，或
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键．