2024年广东省中山市教学共进联盟中考一模数学试题

这是一份2024年广东省中山市教学共进联盟中考一模数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，则的值是（ ）
A．5B．C．4D．
4．若， 面积比为， 则与的周长比为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点A是反比例函数 图象上任意一点，轴于B，点C是x轴上的动点，则的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．不能确定
6．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是某物体的三视图，则此物体侧面展开图面积是（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
8．若中，锐角A、B满足，则是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
9．如图，在中，于点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在钝角三角形ABC中，，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是（ ）
A．或 B．
C．D．或
二、填空题
11．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 ．
12．在平面直角坐标系中， 已知点， 以原点 O为位似中心，相似比为 ， 把缩小，则点A的对应点的坐标是
13．一个斜坡的坡度为i=1：2，若某人沿斜坡直线行进100米，则垂直高度上升了 米.
14．如图， 正方形 中， 点E在边上， 点F 在边上， 且 ．若，则的值为 ．
15．如图，在的内接四边形中，，， ，垂足为E，则的长为 ．
三、解答题
16．计算： ．
17．在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I，电压U，电阻R三者之间满足关系式 电流与电阻之间的函数关系如图．
(1)写出Ⅰ 与R的函数解析式；
(2)结合图象回答：当电路中的电流不超过 12 A时，电路中电阻 R的取值范围是什么?
18．如图， 线段 分别表示甲、乙建筑物的高， 于点B， 于点D， 两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为， 在点A 处测得点C的仰角为 ， 则乙建筑物的高为多少?
19．小敏准备母亲节送礼物给妈妈，他用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示方式裁剪）．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长为多少分米?
20．已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F．

(1)求的正切值；
(2)求的值．
21．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求B，C两地的距离．（运算结果保留根号）
22．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，与相切于点C，点A，B，F均在上，且为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线），的延长线分别与相交于点E，D，连接，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．如图， 已知直线 与反比例函数 的图象交于 A、 B两点，且点 A 的横坐标为 4．
(1)求反比例函数解析式．
(2)直接写出当 时，自变量 x 的取值范围．
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P、 Q两点 （点P在第一象限） ，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
24．综合运用
（1）如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明）
（2）如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点．
①求证：．
②若，，为的中点，求的长．
（3）如图③，在中，，，，为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点，当为等腰三用形时，的长为多少？
参考答案：
1．B
【分析】形如的函数叫做反比例函数，根据反比例函数的定义即可得到答案
【详解】解：A．y是x的正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B．y是x的反比例函数，故本选项符合题意；
C．y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
D．y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键．
2．A
【分析】
根据图形相似的概念进行解答即可．
【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似，
故选：A．
【点睛】本题考查了两个图形的相似，掌握相似多边形的概念（即边数相同的两个多边形，如果对应角相等，对应边成比例）是解题的关键．
3．C
【分析】
本题考查的是已知正弦求解三角形的边长．根据正弦的定义“锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦”求解即可．
【详解】
解：在中，
∵，，
∴由，可得：．
故选：C．
4．B
【分析】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方
根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】， 面积比为，
∴与的相似比是，
∵相似三角形的周长之比等于相似比，
∴与的周长比为．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的坐标为，则，点A到x轴的距离为，进而得出点C到的距离为，最后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：设点A的坐标为，
∴，点A到x轴的距离为，
∵轴，
∴轴，
∴点C到的距离为，
∴的面积，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：依题意，，根据物距为，像距为，得，即可作答．
【详解】解：如图：
依题意，
∵物距为，像距为
∴
∵蜡烛火焰倒立的像的高度是
∴
∴
故选：A
7．C
【分析】从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥，由三视图可知圆锥的底面半径为4cm，高为8cm，故母线长为4cm，据此可以求得其侧面积．
【详解】解：由三视图可知圆锥的底面半径为4cm，高为8cm，所以母线长为cm，
所以侧面积为rl＝×4×4cm，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积．牢记公式是解题的关键，难度不大．
8．D
【分析】根据非负数的性质求出和的度数，即可判断的形状．
【详解】解：∵，
∴，且，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、三角形的分类、等边三角形的判定，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
9．B
【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值，
【详解】∵在中，，
∴,
∵于点，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长．
10．D
【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似，
则
①当D与B对应时，有，
∴，
∴，
∴；
②当D与C对应时，有，
∴，
∴，
∴，
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是1.5秒或2.4秒，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
11．/k大于9
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质：当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，由此列不等式即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限，
，
解得，
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查了利用位似求对应点的坐标，利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或，求出结果即可．
【详解】解：点， 以原点 O为位似中心，相似比为 ， 把缩小，则点A的对应点的坐标是或，
故答案为：或．
13．20
【分析】根据题意作出图形，由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得tan∠A=，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度．
【详解】解：
由题意得，BC：AC=1：2，
∴BC：AB=1：，
∵AB=100m，
∴BC=20m．
故答案为20．
【点睛】本题考查坡度的定义以及解直角三角形的应用，解题关键是画出示意图会使问题具体化．
14．或
【分析】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，求正切函数值等知识，证明相似是关键．由正方形的性质得；证明，则可求得、的长，即可求得，从而求得结果．
【详解】解：∵四边形为正方形，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：或；
∴当时，，；
当时，，；
综上所述，或．
故答案为：或．
15．3
【分析】如图，作于，则，由勾股定理得，，由，求得，由勾股定理得，，则，由，可得，证明，则，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，
∵，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．
【分析】
求出特殊角的三角函数值，再合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，二次根式的加减运算，熟记特殊角三角函数是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，结合图形求出函数解析式是解题的关键；
（1）由图知，把点A的坐标代入中，可求得U的值，从而确定函数解析式；
（2）求出当时，．结合反比例函数的图象与性质即可确定电路中电阻 R的取值范围．
【详解】（1）解：电源电压U保持不变，由图象可知，
I与R的函数解析式为；
把点A的坐标代入上式中得：，即，
∴ ；
（2）解：由（1）可知，函数解析式为．
∵电源电压U保持不变，
∴当时，．
∵函数图象在第一象限内，I随R的增大而减小，
∴当电路中的电流不超过时，．
18．乙建筑物的高为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰俯角问题，根据题意可知，，，，在中，通过解直角三角形求出的高，然后利用求出最后结果．
【详解】解：由题意得：
，，，
在中，，
，
答：乙建筑物的高为．
19．正方体礼品盒的棱长为分米
【分析】
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．设分米，根据题意证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，在正方形中，分米，
设分米，则分米，
由此裁剪可得：和为等腰直角三角形，
∴，，，
，
，即，
解得：，
分米，
∴正方体礼品盒的棱长为分米．
20．(1)的正切值为，详见解析
(2)，详见解析
【分析】
（1）先根据三角函数值求的长，由勾股定理得的长，根据三角函数定义可得结论；
（2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设，分别表示和的长，代入可得结论．
【详解】（1）∵，
∴，
在中， ，
∴，
由勾股定理得：，
∵E是的中点，
∴，
∴的正切；
（2）过D作交于G，

∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是考查了解直角三角形，平行线截线段成比例定理，勾股定理等知识点，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形．
21．(1)
(2)两地的距离为千米
【分析】
本题考查了解直角三角形中与方位角有关的应用：
（1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果；
（2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离．
【详解】（1）解：如图：
由题意得：，，，，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：过点B作，垂足为G，
在中，千米，，
（千米），
在中，，
（千米），
两地的距离为千米．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则，再由平行线的性质可得；
（2）连接，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AB为圆O直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
即；
（2）解：连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是圆O的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
23．(1)；
(2)或
(3)点P的坐标是或
【分析】
（1）把点A的横坐标为4代入直线，得，即得A点坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值即可；
（2）由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B的坐标，观察图象即可确定不等式的解集；
（3）由正比例函数与反比例函数的对称性知，四边形是平行四边形，从而得；设点P的横坐标为m（），得，过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，由反比例函数比例系数的几何意义得；分及两种情况进行考虑，利用建立方程求得m的值，即可求得点P的坐标．
【详解】（1）解：把点A的横坐标为4代入直线，得，即A点坐标为，
把点代入双曲线得，，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：由于正比例函数与反比例函数关于原点的中心对称图形，
则点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为，
观察图象知，当时，或．
（3）解：∵反比例函数图象与正比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
，
∴四边形是平行四边形，
；
设点P的横坐标为m（），得
过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
若，如图，
，
，
，
解得（舍去），
，
若，如图，
，
，
，
解得（舍去），
，
∴点P的坐标是或．
【点睛】
本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象与性质，比例系数的几何意义，平行四边形的判定等知识，注意数形结合与分类讨论思想的应用．
24．（2）①见解析；②；（3）或2
【分析】（2）①根据矩形的性质得到，，进而得到，由，得到，，即可求解，②为的中点，求出的长，由，得到，代入，即可求解，
（3）同理可得，得到，分三种情况讨论，即可求解，
本题考查了，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一的性质，解题的关键是：熟练掌握一线三等角相似．
【详解】解：（2）①∵是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
②∵为的中点，
∴，
∵，
∴，即：，解得：，
（3）∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，解得：，
当时，，，不符合题意，
当时，，，在中，，
∴，
又∵，
∴，
综上的长为或2．