押浙江卷第15-16题（反比例函数、相似三角形、四边形）（原卷版+解析版）

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1．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 20 mL．
【思路点拨】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．
【解析】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
当p＝75kPa时，V＝＝80，
当p＝100kPa时，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
2．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 2 ．
【思路点拨】证明出点A、B为矩形边的中点，根据三角形OAB的面积求出矩形面积，再求出三角形ABC面积即可．
【解析】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，
∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴四边形OECF为矩形，
∵x2＝2x1，
∴点A为CE的中点，
由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，
∴点B为CF的中点，
∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，
∴S矩形OECF＝16，
∴S△ABC＝×16＝2．
故答案为：2．
2
【点睛】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键．
3．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 24 ．
【思路点拨】设OA＝4a，因为OA＝2AB，所以AB＝2a，则A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，则C（4a，4a），因为CD⊥y轴，P在CD上，所以P点纵坐标为4a，则P点横坐标为：x＝k4a，由于Q为BE中点，切BE⊥x轴，所以BQ＝AB＝a，则Q（6a，a），由于Q在反比例函数y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根据已知阴影为矩形，长为，宽为：a，面积为6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解决．
【解析】解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ＝AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（4a，4a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，
∴P点横坐标为：x＝，
∴P（，4a），
∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，
∴四边形OMNH是矩形，
∴NH＝，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，
则k＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用说学知识是解决问题的关键．
4．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 12 ，a的值为 9 ．
【思路点拨】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．
【解析】解：设A（m，），
∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，
∴E（，）．
∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，
∴B（﹣2m，﹣）．
∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，
∴D（﹣2m，﹣）．
∵△ABE的面积为9，
∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，
∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案为：12，9．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键．
1.
2.

1．如图，在△OAB中，边OA在y轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点B，与边AB交于点C．若BC＝3AC，S△OAB＝10．则k的值为 4 ．
【思路点拨】根据BC＝3AC，S△OAB＝10可得S△COB＝，再根据反比例函数k值的几何意义列出方程求出k即可．
【解析】解：∵BC＝3AC，S△OAB＝10．
∴S△COB＝＝，
设点C（m，），则B（4m，），
∵S△COB＝S梯形BCDE＝，
∴，
解得：k＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．
2．如图，直角坐标系中，▱AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，A，C在第一象限．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，与BC交于点D，AE⊥x轴于点E，连结DE并延长交AO的延长线于点F，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点F，连结BF，则△BDF的面积为 ．
【思路点拨】过点F作FK⊥x轴于K，过点D作DH⊥x轴于H，设点E（m，0），则m＞0，OE＝m，点A，AE＝，由此得直线OA的表达式为，解方程组，得点F，则FK＝，再求出直线EF的表达式为，解方程组，得点D，则OH＝3m，DH＝25/3m，证△AOE∽△DBH可得BH＝，则BE＝，然后分别求出S△FBE＝，S△BED＝，据此可得△BDF的面积．
【解析】解：过点F作FK⊥x轴于K，过点D作DH⊥x轴于H，如下图所示：

设点E（m，0），则m＞0，OE＝m，
∵AE⊥x轴，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴点A，AE＝，
设直线OA的表达式为：y＝k1x，
∴，
解得：，
∴直线OA的表达式为：，
解方程组，得，，
∵点F在第三象限，
∴点F的坐标为，则FK＝，
设直线EF的表达式为y＝kx+b，
将点E（m，0），F代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴直线EF的表达式为：，
解方程组组，得，，
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为，
∴OH＝3m，DH＝，
∵AE⊥x轴，DH⊥x轴，
∴∠AEO＝∠DHB＝90°，
∵四边形AOBC为平行四边形，
∴AO∥BC，
∴∠AOE＝∠DBH，
∴△AOE∽△DBH，
∴AE：DH＝OE：BH，
即，
∴BH＝，
∴BE＝OH﹣OE﹣BH＝3m﹣m﹣＝，
∴S△FBE＝BE•FK＝＝，S△BED＝BE•DH＝＝，
∴S△BDF＝S△FBE+S△BED＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，反比例函数与一次函数的交点，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，平行四边形的性质，熟练掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标的方法，及相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
3．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是2，则k的值为 ﹣4 ．
【思路点拨】先设D（a，b），得出CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE＝12，最后根据AB∥OE，得出＝，即BC•EO＝AB•CO，求得ab的值即可．
【解析】解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝ab，
∵△BCE的面积是2，
∴×BC×OE＝2，即BC×OE＝4，
∵AB∥OE，
∴＝，即BC•EO＝AB•CO，
∴4＝b×（﹣a），即ab＝﹣4，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．
4．如图，Rt△ABC顶点A落在y轴上，斜边上的中线CD⊥x轴于点D，O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点C，若△BCD的面积为5，则k的值为 10 ．
【思路点拨】连接OC，依题意得S△ACD＝S△BCD＝5，再根据△OCD和△ACD的公共边CD上的高相等得S△OCD＝S△ACD＝5，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得S△OCD＝1/2|k|，据此可得k的值．
【解析】解：连接OC，如下图所示：
∵在Rt△ABC中，斜边上的中线CD⊥x轴于点D，△BCD的面积为5，
∴S△ACD＝S△BCD＝5，CD∥y轴，
∴△OCD和△ACD的公共边CD上的高相等，
∴S△OCD＝S△ACD＝5，
∵反比例函数经过直角顶点C，
∴根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△OCD＝|k|，
∴|k|＝2S△OCD＝10，
∵反比例函数的图象在第一象限，
∴k＝10．
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形的性质是解决问题的关键．
5．如图，AB平行于x轴，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＜0）的图象上，BC∥AO，若四边形AOBC的面积为，则实数k的值为 ﹣3 ．
【思路点拨】设点B坐标为（，m），然后根据已知条件求出点A坐标，用待定那个系数法求直线OA的解析式，再根据BC∥OA设出直线BC解析式，求出点OC，然后由四边形AOBC的面积为，求出k的值．
【解析】解：设点B坐标为（，m）（m＞0），
∵AB平行于x轴，
∴点A坐标为（，m），
∴AB＝﹣＝，
∴OA所在直线的解析式为y＝x，
∵BC∥AO，
∴设直线BC的解析式为y＝x+c，
把点B坐标代入y＝x+c得，m＝×+c，
解得，c＝，
∴OC＝，
∴四边形AOBC的面积＝OC•AB＝××＝，
解得k＝7或k＝﹣3，
∵k＜0，
∴k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式．
6．如图，点A为反比例函数y＝（x＞0）上一点，连结AO并延长交反比例函数y＝（x＜0）于点B，且k2＝9k1.点C在y轴正半轴上，连结CA并延长交x轴于点E，连结BC交x轴于点F，若＝4，S△COB＝10，则△COF的面积为 ．
【思路点拨】过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M，根据反比例函数比例系数的几何意义得，再由k2＝9k1，得＝，证△AON和△BOM相似得＝，则＝，可设AN＝a，BM＝3a，再证△ANE和△COE相似得AN：OC＝AE：CE＝1：5，则OC＝5AN＝5a，证△BMF和△COF相似得BM：CO＝BF：CF＝3：5，则S△BOF：S△COF＝BF：CF＝3：5，由此可得△COF的面积．
【解析】解：过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M，如图所示：
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AON＝|k1|，S△BOM＝|k2|，
∴，
∵k2＝9k1，
∴，
∴＝，
∵AN⊥x轴，BM⊥x轴，
∴AN∥BM，
∴△AON∽△BOM，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
设AN＝a，则BM＝3a，
∵＝4，
∴AC＝4AE，
∴CE＝AC+AE＝5AE，
即：CE：AE＝1：5，
∵AN⊥x轴，
∴AN∥OC，
∴△ANE∽△COE，
∴AN：OC＝AE：CE＝1：5，
∴OC＝5AN＝5a，
∵BN⊥x轴，
∴BM∥OC，
∴△BMF∽△COF，
∴BM：CO＝BF：CF，
即3a：5a＝BF：CF，
∴BF：CF＝3：5，
∴S△BOF：S△COF＝BF：CF＝3：5，
∴可设S△BOF＝3m，S△COF＝5m，
∵S△COB＝S△BOF+S△COF＝10，
∴3m+5m＝10，
解得：m＝，
∴S△COF＝5m＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
7．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，连接AC，BC，且AC∥x轴，BC∥y轴，AC＝BC．若点A的横坐标为2，则k的值为 36 ．
【思路点拨】先确定A（2，6），则可设C（，6），再表示出B（，），利用CA＝CB得到﹣2＝6﹣，然后解方程得到k的值．
【解析】解：当x＝2时，y＝＝6，则A（2，6），
∵AC∥x轴，
∴C点的纵坐标为6，
设C（，6），
∵BC∥y轴，
∴B点的横坐标为，
∴B（，），
∵CA＝CB，
∴﹣2＝6﹣，
整理得k2﹣48k+432＝0，解得k1＝36，k2＝12，
经检验k1＝36，k2＝12都为原方程的解，
∴k＝36．
故答案为36．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
8．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，AB＝2．
（1）若点A的坐标为（，2），则a+b的值是 ﹣2 ．
（2）若点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，CD∥AB，CD＝3，AB与CD之间的距离为1，则a﹣b的值是 6 ．
【思路点拨】（1）根据题意求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得a、b的值，进而求得a+b的值；
（2）设A点的纵坐标为n，由题意可知C点的纵坐标为n﹣1，根据AB∥x轴，AB＝2得出﹣＝2，得到a﹣b＝2n，根据CD∥AB，CD＝3，得出﹣＝3，得到a﹣b＝3n﹣3，即可得出2n＝3n﹣3，解得n＝3，即可求得a﹣b＝6．
【解析】解：（1）∵点A的坐标为（，2），AB∥x轴，AB＝2，
∴B（﹣，2），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴a＝＝1，b＝﹣＝﹣3，
∴a+b＝﹣2．
故答案为：﹣2；
（2）设A点的纵坐标为n，则C点的纵坐标为n﹣1，
∵AB∥x轴，AB＝2，
∴A（，n），B（，n），
∴﹣＝2，
∴a﹣b＝2n，
∵CD∥AB，CD＝3，
∴C（，n﹣1），D（，n﹣1），
∴﹣＝3，
∴a﹣b＝3n﹣3，
∴2n＝3n﹣3，
∴n＝3，
∴a﹣b＝2n＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示点的坐标是解题的关键．
9．如图，直线AB与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结CD和AD，AD交y轴于点E，且AC＝AE，若，△CDE的面积为6，则k的值为 ．
【思路点拨】过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，过点A作AH⊥y轴于H，设AB交x轴于P，则OC∥AF∥BG，由此得＝，设OF＝3a，FG＝a，则OG＝OF+FG＝7a，从而得点A，点B，证△PBG和△PAF相似从而得PG＝3a，证∠CPD＝∠ADP得AD＝AP，则DF＝FP，从而得OD＝4a，再证△AHC和△PGB全等得CH＝BG＝，则CE＝2CH＝，然后根据△CDE的面积为6可求出k的值．
【解析】解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，过点A作AH⊥y轴于H，设AB交x轴于P，如图所示：
∴OC∥AF∥BG，
∴＝，
∴可设OF＝3a，FG＝a，则OG＝OF+FG＝7a，
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴点A，点B，
∵BG∥AF，
∴△PBG∽△PAF，
∴PG：PF＝BG：AF，
即：PG：（PG+4a）＝：，
∴PG＝3a，
∵AH⊥y轴，
∴∠CAH＝∠CPD，∠HAE＝∠ADP，
∵AC＝AG，AH⊥y轴，
∴∠CAH＝∠HAE，CE＝2CH，
∴∠CPD＝∠ADP，
∴AD＝AP，
∴DF＝FP，
即OD+OF＝FG+PG，
∴OD+3a＝4a+3a，
∴OD＝4a，
∵AH⊥y轴，AF⊥x轴，∠HOF＝90°，
∴四边形HOFA为矩形，
∴AH＝OF＝3a＝PG，
在△AHC和△PGB中，
，
∴△AHC≌△PGB（AAS），
∴CH＝BG＝，
∴CE＝2CH＝，
∵△CDE的面积为6，
∴CE•OD＝6，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键．
押题方向二：相似三角形
1．（2023•湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 4.1 米．
【思路点拨】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可．
【解析】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，
∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，
∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），
又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴，即，
解得：AG＝3.6米，
∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．
故答案为：4.1．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
2．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝ （结果用含k的代数式表示）．
【答案】．
【思路点拨】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．
【解析】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB，
∵AD＝DF，
∴∠A＝∠DFA，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠BDE＝∠FDE，
∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，
∴∠FDE＝∠DFA，
∴DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠DEB＝∠DEF，
∴∠C＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴△ABC∽△ECF，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝＝，
∴EC＝BC，
∵＝k，
∴BC＝k•AB，
∴EC＝k•AB，
∴＝，
∴CF＝k2•AB，
∴＝＝＝＝．
方法二：如图，连接BF，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB＝DF，
∴BF⊥AC，
设AB＝AC＝1，
则BC＝k，
设CF＝x，
则AF＝1﹣x，
由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，
∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，
∴x＝，
∴AF＝1﹣x＝，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．
3．（2023•衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．
（1）若cs∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 9 ．
（2）若，则＝ ．
【思路点拨】（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，由cs∠ABC＝，可得CT＝BC，CM＝AC，故CT•CM＝BC•AC＝BC•AC，而△ABC的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为CT•BT＝CT•CM＝9；
（2）标识字母如图，设NT＝19t，证明△BFN≌△CBW（ASA），可得BN＝CW＝34t，由△BCT∽△WBT，有CT•WT＝BT2，即CT•（34t﹣CT）＝（15t）2，可得CT＝9t或CT＝25t，而BK＝CT，AK＝WT，即可得到答案．
【解析】解：（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图：
∵CT∥AB，
∴∠ABC＝∠BCT，
∵cs∠ABC＝，
∴cs∠BCT＝，即＝，
∴CT＝BC，
∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，
∴cs∠ACM＝cs∠ABC＝，即＝，
∴CM＝AC，
∴CT•CM＝BC•AC＝BC•AC，
∵△ABC的面积为16，
∴BC•AC＝16，
∴BC•AC＝32，
∴CT•CM＝18，
∴纸片Ⅲ的面积为CT•BT＝CT•CM＝9；
故答案为：9；
（2）如图：
∵＝，
∴＝，
设NT＝19t，则BT＝15t，BN＝34t，
∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，
∴△BFN≌△CBW（ASA），
∴BN＝CW＝34t，
∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，
∴△BCT∽△WBT，
∴＝，
∴CT•WT＝BT2，
∴CT•（34t﹣CT）＝（15t）2，
解得CT＝9t或CT＝25t，
当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去；
当CT＝25t时，WT＝9t，
而BK＝CT，AK＝WT，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．
1、相似图形的性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2、相似图形的应用：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例求出高度、宽度、长度等。
1．如图，在△ABC中，AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，若DE＝3，CE＝4，则AB的值 ．
【思路点拨】由角平分线的性质得出∠BAD＝∠EAD，由平行线的性质得出∠EDA＝∠BAD，进而得出∠EAD＝∠EDA，得出EA＝ED＝3，由DE∥AB，证明△CED∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出AB的长度．
【解析】解：∵AD为∠CAB的平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠BAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∵DE＝3，
∴EA＝3，
∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，
∴△CED∽△CAB，
∴，
∵DE＝3，CE＝4，EA＝3，
∴CA＝CE+EA＝4+3＝7，
∴，
∴AB＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2．
（1）若DE是△ABC的中位线，则S1：S2＝ 1：2 ；
（2）若S1＝S2，CE＝4，则线段AE的长为 ．
【思路点拨】（1）根据中位线定理得出DE＝BC，DE∥BC，于是证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得出△ADE与△ABC面积之间的关系，再根据三角形中线的性质得出△BCE与△ABC面积之间的关系，从而得出△ADE与△BCE面积之间的关系；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，交DE于点F，过点E作EH⊥BC于点H，由DE∥BC证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出，设，由S1＝S2可以求出m的值，再由相似三角形的性质得出，从而求出AE的长．
【解析】解：（1）∵DE是△ABC的中位线，
∵DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即，
∵点E是AC的中点，
∴，
∴S1：S2＝1：2，
故答案为：1：2；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，交DE于点F，过点E作EH⊥BC于点H，
∵DE∥BC，
∴AF⊥DE，
∴FG＝EH，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
设，即DE＝mBC，
∴，
∴，即AF＝，
∵S1＝S2，
∴，
∴mBC•＝BC•EH，
∴，
整理得m2+m﹣1＝0，
解得，（舍去），
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∵CE＝4，
∴AE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE⊥CD于F，交BC于E，连接BF，若∠BFE＝45°，则的值为 ．
【思路点拨】根据直角三角形斜边中线的性质和相似三角形的性质和判定解答即可．
【解析】解：过点B作BG⊥AE交AE的延长线于点G，2023年浙江真题
考点
命题趋势
2023年温州卷第15题
反比例函数的应用
从近几年浙江各地中考来看，反比例函数在填空题中主要考查反比例函数的应用与反比例函数系数k的几何意义，属于稍难题，有时候作为填空题的压轴题考查；预计2024年浙江卷还将继续重视反比例函数系数k的几何意义。
2023年衢州卷、绍兴卷第15题、宁波卷第16题
反比例函数系数k的几何意义
2023年浙江真题
考点
命题趋势
2023年湖州卷第15题
相似三角形的应用
从近几年浙江各地中考来看，对相似三角形的应用及相似三角形的综合考查经常会出现在填空题的压轴题，整体稍有难度；预计2024年浙江卷在填空题中还将继续重视相似三角形的综合的考查。
2023年衢州卷、杭州卷第16题
相似三角形的判定与性质