押浙江卷第24题（圆的综合问题）（原卷版+解析版）

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押题方向：圆的综合问题
1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
2．（2023•湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
3．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．
4．（2023•绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
5．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．
6．（2023•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：BC＝BD．
（2）若OB＝OA，AE＝2．
①求半圆O的半径．
②求图中阴影部分的面积．
7．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
8．（2023•浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．
9．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF＝，求BC的长；
②若AH＝，求△ANB的周长；
③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．
1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；
3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；
4）注意圆的相关知识和相似、特殊四边形、三角函数、全等三角形、勾股定理等结合解决相关计算问题。
1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若，求tan∠ABC的值．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．
（2）求∠AMB的度数．
（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．
3．在△ABC中，BC＝10，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，BE：EC＝2：3，求DE的长．
（2）如图2，若∠ABC＜90°，AB与⊙O相交于点F，连接FD，当点E与圆心O重合时，
①求证：FD＝DC；
②四边形FBCD的周长有最大值吗？请说明理由．
4．（2024•宁波模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，∠CAD＝∠BAO．
（1）如图1，求证：AD⊥BC．
（2）如图1，若AO∥CD，求证：CA＝CF．
（3）如图2，在（2）的条件下，
①若，求BC的长．
②若，求tan∠ACE的值．
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．
（1）∠BCO+∠BAC＝ ；
（2）如图2，若半径OC∥AD．
①求证：AB＝AC；
②若OC：CD＝5：6，求tan∠ACD的值．
（3）如图3，过D作DF⊥BC于点H，交AC于点F，BO的延长线恰好经过点F，若AD＝5，，求OF的长．
6．如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连结AP并延长交BC边于点E，连结BP并延长交CD边于点F，连结CP．
（1）求证：AE＝BF．
（2）当AB＝1时，求CP的最小值．
（3）若CP＝CF，求BE：BC的值．
7．如图，在▱ABCD中，∠B是锐角，，BC＝10．在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O．
（1）当时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长．
（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B′，且B′恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长．
8．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，，点F在线段BD上，且AF＝AD．
（1）若∠ADB＝α，请用α的代数式表示∠ADC；
（2）求证：BF＝CD；
（3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC．
①若AM为⊙O的直径，AM＝13，tan∠DAC＝，求AF的长；
②若FG＝2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论．
9．如图1，⊙O为△ABC外接圆，点D、E分别为，中点，连结AD、AE、DE，DE分别与AB、AC交于点F、G．已知AF＝4．
（1）求证：AF＝AG．
（2）如图2，连结CD交AB于点M，连结BE交CD于点N，连结BD、CE．若∠BAC＝60°，求证：△NEC是等边三角形．
（3）在（2）的基础上，若，
①求DN的长；
②求．
10．定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形． √
②梯形是倍分四边形． ×
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF＝3，求DE．
11．如图，AB为⊙O的弦，点C在弧AB上，AB平分∠OBC，过点C作CE⊥OA于点E，交AB于点F，连结OF．
（1）求的值．
（2）求证：∠ECA＝∠BAO．
（3）当时，判断△OBF的形状，并说明理由．
12．已知，如图四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，，点T
在BC的延长线上．BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF．
（1）求证：CD平分∠ACT；
（2）求∠AED的度数；
（3）若，△DEF的面积等于25，求AC的长．
13．【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．
【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数．
【性质探究】（2）如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，求证：
【拓展应用】（3）如图2，AB是⊙O的直径，且AB＝13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形．
①当BC＝5时，求AD的长．
②当△BCD是和美三角形时，直接写出的值．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在AB上，连结DF并延长交⊙O与点G，连结BG，CG，CG＝FG．
（1）如图1，求证：△BCG≌△BFG．
（2）如图2，BG与CD交于点N，过点F作BG的平行线交CD于点M，若NE＝a，求DM．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，在（2）的条件下，连结GE，若△EFG与△DFM的面积相等，求cs∠ABC的值．
15．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的两条切线，点A，C为切点，延长PC，AB相交于点D，若BD＝1，CD＝3，点F为弧AB的中点，连接AC．
（1）连接OP交AC于点M，求证：∠ACB＝∠AMO；
（2）设∠OCB＝α，求tanα的值；
（3）若点G与点F关于圆心O对称，连接CG，求CG的长．
16．等腰三角形AFG中AF＝AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF＝α，∠AFG＝β．
（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；
（2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求证：∠AHC＝2∠BAC；
（3）在（2）的条件下，取CH中点M，连接OM、GM（如图3），若∠OGM＝2α﹣45°，
①求证：GM∥BC，GM＝BC；
②请直接写出的值．
17．已知△ABC内接于⊙O，点F是弧AC的中点，连接OF交AC于点H．
（1）如图1，求证：OF⊥AC；
（2）如图2，AD是△ABC的高，延长AD交⊙O于点K，若∠CAD＝2∠BAD，求证：AK＝AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FO交BD于点E，连接EK，点M在CH上，连接OM．若∠OMH＝3∠DKE，BE＝OH，AM＝，
①请按步骤在图3中先作图：连结AO，并延长AO交BC于点P，再求证：EO＝EP；
②计算cs∠OEC；
③求HF的长．
18．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：AB＝AC；
（2）若∠E＝54°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，，E是的中点，求EG•ED的值．
19．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣1，0）、E（1，0）．
（1）的度数为 120 °；
（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为 2 ；
（3）如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；
（4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为O的直径，DE交AC于点F，交BC于点E，DE⊥AC．
（1）设∠DBC＝α，试用含α的代数式表示∠ADE；
（2）如图2，若BE＝3CE，求的值；
（3）在（2）的条件下，若AC，BD交于点G，设，cs∠BDE＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②若BC＝BD，求y的值．
2023年浙江真题
考点
命题趋势
2023年绍兴卷、湖州卷、、衢州卷第21题
台州卷、杭州卷、金华卷第23题
宁波卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第24题
圆的综合题
从近几年浙江各地中考来看，圆的综合问题经常出现在压轴题；预计2024年浙江卷还将重视圆综合问题（圆的相关概念与定理、相似、勾股、三角函数、三角形、四边形等）的考查。