河南省南阳市华龙高级中学2023-2024学年高二下学期5月份月考数学热身试卷(二)
展开1.数列的通项公式为,那么“”是“为递增数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.已知数列满足:,,则( )
A.19B.21C.23D.25
3.已知等差数列,等比数列,满足,,则( ).
A.B.C.2D.4
4.函数的单调增区间为( )
A.B.C.D.
二、多选题
5.已知等比数列的公比为,前项积为,若,则( )
A.B.
C.D.
6.如图是函数的导函数的图象,则( )
A.在上是增函数B.在上是减函数
C.在上是增函数D.在上是减函数
7.函数的导函数在区间上的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.函数在处有极小值
B.函数在处有极小值
C.函数在区间内有4个极值点
D.导函数在处有极大值
8.下列求导正确的是( )
A.B.
C.D.
未命名
未命名
三、填空题
9.设等比数列中,每项均是正数,且,则 .
10.已知函数,则= .
11.已知函数的图象在点处的切线方程是,则 .
12.函数的图象在点处的切线方程为 .
四、解答题
13.已知等差数列的前项和为,公差为整数,,且,,成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
14.已知数列的首项为1,前项和;
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
15.已知函数.
(1)求的导数;
(2)求曲线在点处的切线方程,并求出切线与坐标轴所围三角形的面积.
16.求下列函数的导数:
(1);
(2).
17.已知函数.
(1)求曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值;
参考答案:
1.A
【分析】
当时,可得,知充分性成立;由数列单调性可知,从而得到,由此可得,知必要性不成立,由此可得结论.
【详解】当时,,
数列为递增数列,充分性成立;
当数列为递增数列时,,
恒成立,又,
,必要性不成立;
“”是“为递增数列”的充分不必要条件.
故选:A.
2.B
【分析】根据给定条件,利用累加法求通项即得.
【详解】在数列中,,,
所以.
故选:B
3.B
【分析】根据等差数列和等比数列的性质计算即可得出结果.
【详解】数列是等差数列,,可得,即,
数列是等比数列,,可得,可得,
则.
故选:B.
4.C
【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可.
【详解】解:由题知,定义域为,
所以,
令,解得,
所以的单调增区间为:.
故选:C
5.ABC
【分析】结合等比数列的通项公式及下标和性质一一分析即可.
【详解】因为等比数列的公比为,,
,
则,,即,
所以,,
所以,,故A正确,B正确;
所以,
,故C正确,D错误.
故选:ABC.
6.BCD
【分析】结合导函数图象得到的正负,从而确定的单调性.
【详解】由图可知当时,当时,
当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
在上单调递减,在上单调递增.
故选:BCD
7.BD
【分析】
根据导函数的图象、极值点、极值的知识求得正确答案.
【详解】A选项,在左右两侧的,所以不是的极值点,A选项错误.
B选项,在左右两侧,左侧,右侧,
所以函数在处有极小值,B选项正确.
C选项,根据图象可知,有个极值点,左右两侧的,
所以不是的极值点,C选项错误.
D选项,的图象在左右两侧,左侧单调递增,右侧单调递减,
所以在处有极大值,D选项正确.
故选:BD
8.BC
【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可.
【详解】,,
,.
故选:BC.
9.
【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算法则计算可得.
【详解】依题意在等比数列中,,
所以
.
故答案为:
10.3
【分析】运用复合函数求导公式计算即可.
【详解】由题意知,,
所以.
故答案为:3.
11.
【分析】由导数的几何意义可得的值,将点的坐标代入切线方程可得,即可得解.
【详解】由导数的几何意义可得,将点的坐标代入切线方程可得,
因此,.
故答案为:.
12.
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】,,,
故函数的图象在点处的切线方程为,即.
故答案为:
13.(1)
(2)
【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可;
(2)利用裂项相消求和.
【详解】(1)因为,所以,
又因为,,成等比数列,所以,
即,所以,
联立解得,
所以.
(2)由(1)可得,
所以.
14.(1)
(2)
【分析】(1)利用与之间的关系可得,注意要验证首项是否符合通项公式;
(2)一个等差数列乘以一个等比数列构成一个新数列,利用错位相减法求这个新数列的前项和.
【详解】(1)因为①,所以有②,
②①得,即,
经验证符合,
所以数列的通项公式为.
(2),
所以①,
②,
①②可得,
即,化简得,
所以数列的前项和.
15.(1),
(2);面积为
【分析】(1)利用导数的除法运算法则进行求解即可;
(2)先利用导数求出切线的斜率,然后用点斜式即可求解,求得截距,利用三角形面积公式可得答案.
【详解】(1)因为,所以,
(2)由(1)得,,则所求切线的斜率为1,故所求切线方程为.
当时,;当时,.故切线与坐标轴所围三角形的面积.
16.(1)
(2)
【分析】(1)、(2)利用导数运算求得正确答案.
【详解】(1),
所以.
(2),
所以.
17.(1)1
(2)的单调递增区间为,单调递减区间为,,极小值为0,极大值为.
【分析】(1)求导,求出即为切线斜率;(2)求导,列出表格,得到单调区间和极值.
【详解】(1)因为,所以,因此曲线y = f(x)在点(1,)处的切线的斜率为1;
(2)令,解得:x = 0或2.
所以 f(x)在,内是减函数,在内是增函数.
因此函数f(x)在x = 0处取得极小值f(0),且f(0)= 0,函数f(x)在x = 2处取得极大值,且f(2)=;
综上:的单调递增区间为,单调递减区间为,,极小值为0,极大值为.
x
0
2
-
0
+
0
-
↘
极小值
↗
极大值
↘
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