河南省南阳市华龙高级中学2023-2024学年高二下学期5月份月考数学热身试卷（一）

这是一份河南省南阳市华龙高级中学2023-2024学年高二下学期5月份月考数学热身试卷（一），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（ ）
A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项
2．已知函数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
4．若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ）
A．B．
C．D．
6．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．公差为的等差数列，其前项和为，下列说法正确的有（ ）
A．B．C．中最大D．
9．已知数列的前项和，则（ ）
A．不是等差数列B．
C．数列是等差数列D．
三、填空题
10．过点作曲线的切线方程为 ．
11．若数列满足，（，），则的最小值是 .
四、解答题
12．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值．
13．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
14．已知曲线，
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线方程.
15．记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
参考答案：
1．B
【分析】根据数列的规律，判断数据是数列中的第几项.
【详解】数列可以表示为，，，，，…，
则数列的一个通项公式为，
，是这个数列的第9项.
故选：B.
2．A
【分析】求出导函数，代入，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
则，
所以，.
故选：A.
3．C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
4．D
【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围.
【详解】依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），
所以.
故选：D
5．C
【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断.
【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，
若，则，故A错误，
若，则，故B错误；
对于CD，因为，在上的导函数存在，且，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，即，所以，
由得，则，故C正确；
由得，则，故D错误.
故选：C.
6．B
【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设，求得，即可得结果.
【详解】由等差数列片段和性质知：是等差数列.
由，可设，则，于是依次为，
所以，所以.
故选：B
7．CD
【分析】利用导数公式及运算法则，求解即可.
【详解】对于选项A: ,,故选项A错误；
对于选项B: ,,故选项B错误；
对于选项C: ,,故选项C正确；
对于选项D: ,,故选项D正确；
故选：CD.
8．CD
【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，，再逐项分析判断作答.
【详解】由，得，
又，得，
，， ，
数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，因此前六项和最大，
，，，即，
故A，B错误；C，D正确.
故选：CD.
9．BC
【分析】根据即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可.
【详解】由，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，故B正确；
因为，所以是等差数列，故A错误；
对于C，，
因为，所以数列是等差数列，故C正确；
对于D，令，则，
所以当时，，当时，，
故，故D错误.
故选：BC.
10．或
【分析】
由题意可知点不在曲线上，设出切点，由两点求斜率和导数求斜率联立可求出切点，由此即可进一步求解.
【详解】
，
∵点不在曲线上，
∴点P不是切点．设切点为，则.
∴切线的斜率为.
又∵切线过和两点，
所以.
解得或.
∴过的切线的斜率为或，
切线方程为或，
即或.
故答案为：或.
11．6
【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数.
【详解】由已知，，…，，，
所以，，
又也满足上式，所以，
设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，
因此在时递减，在时递增，
又，，
所以的最小值是6，
故答案为：6.
12．(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当，，时导函数的正负，即可判断原函数的单调性.
（2）求导后根据导数的几何意义设切点，求得切线方程，根据切线过原点计算即可求得结果.
【详解】（1）．
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
若时，，在上单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
时，在单调递增，在单调递减．
（2）当时，
设切点，则切线方程为
因为切线过原点， 故， 即，
解得或
所以或.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据作差即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）数列的前项和为，
当时，
当时，
所以，
又当时，也成立，
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
设数列的前项和为，
则
.
14．(1)
(2)或
【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程.
【详解】（1）解：由函数，可得，可得，
即曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为点不在曲线上，
设切点为，所以，
所以切线方程为，
又因为在直线上，所以，
即，解得或.
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.