黑龙江省牡丹江市第三高级中学2024届高三下学期高考前适应性演练数学试卷（学生版+教师版）

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考试时间:120分钟 分值：150分 命题人：周萌
一、单项选择题(共8小题，每小题5分，每题只有一个正确选项，共40分)
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式得，再根据集合交集运算即可得答案.
【详解】解：解不等式得，
所以，｝，故.
故选：B.
【点睛】本题考查集合交集运算，一元二次不等式求解，是基础题.
2. 复数的虚部为（ ）
A. 1B. －1C. iD. －i
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算即可化简复数，然后根据虚部的概念即可求解.
【详解】，∴虚部为－1．
故选：B
3. 已知向量，则向量在向量上的投影是（ ）
A. 2B. 1C. -1D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】向量在向量上的投影是 ,
故选：D.
4. 若，，是的三条边，则“”是“是等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合等腰三角形的性质进行判断即可.
【详解】解：若“是等腰三角形”，则当，则不一定成立，
若，则，
即，
即，，，
则，
则“是等腰三角形”成立，
即“”是“是等腰三角形”充分不必要条件，
故选：.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等腰三角形的性质是解决本题的关键.比较基础.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，然后利用两角差的余弦公式可求出的值.
【详解】已知，，，，
，
因此，.
故选：A.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式的应用，解题时要弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题．
6. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系（为保鲜时间，为储存温度），若该食品在冰箱中的保鲜时间是144小时，在常温的保鲜时间是48小时，则该食品在高温的保鲜时间是（ ）
A. 16小时B. 18小时C. 20小时D. 24小时
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得，然后整体代入计算即可.
【详解】由题意，得，即，
于是当时，（小时）.
故选：A
7. 甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种B. 60种C. 90种D. 120种
【答案】B
【解析】
【分析】根据分类分步计数原理，利用组合数计算即可得出结果.
【详解】根据题意可知，首先选取1种相同课外读物的选法有种，
再选取另外两种课外读物需不同，则共有种，
所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种；
故选：B
8. 在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】设，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将的最小值转化为M到直线l的距离，即可求得答案.
【详解】设，则PE的中点坐标为，代入，可得，
故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：为准线的抛物线，
由于，故在抛物线内部，
过点P作，垂足为Q，则，（抛物线的定义），
故当且仅当M，P，Q三点共线时，最小，即最小，
最小值为点M到直线l的距离，所以，
故选：B．
二、多选题（共3小题，每小题6分，每题有多个正确选项，选不全得3分，选错得0分，完全正确得6分，共18分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 数据2，3，5，8，6的极差是6
B. 数据2，4，6，8，10，12，14，16的第25百分位数是5
C. 一组数据的众数和中位数一定会在原始数据中出现
D. 若数据的平均数为3，数据的平均数为11，则数据的平均数为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】由极差的概念可求A，由百分位数的概念可求B，通过举特例能排除C，利用平均数的概念和公式可求D.
【详解】对于A，数据2，3，5，8，6的极差是，故正确；
对于B，因为，所以数据2，4，6，8，10，12，14，16的第25百分位数是，故正确；
对于C，1、2、3、4四个数的中位数为2.5，不在原始数据中，故错误；
对于D，数据的平均数为3，数据的平均数为11，则数据的平均数为，故正确；
故选：ABD.
10. 已知正实数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式可得A,B,D正误，利用1的妙用可得C的正误.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误．
故选：ABC.
11. 如图，正三棱柱的各棱长相等，且均为2，在内及其边界上运动，则下列说法中正确的是（ ）
A. 存在点，使得平面
B. 若，则动点的轨迹长度为
C. 为中点，若平面，则动点的轨迹长度为
D. 存在点，使得三棱锥的体积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】取的中点，证得平面平面，得到平面，结合，可判定A；由，求得，得到点的轨迹为圆弧，可判定B；点为中点， 取的中点，证得平面平面，得到动点的轨迹为线段，可判定C；结合，可判定D.
【详解】对于A中，取的中点，的中点为，连接，
由为等边三角形，所以，
又由正三棱柱中，可得，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，
过作于，根据面面垂直的性质定理，可得平面，
在矩形中，，所以，
如图所示，此时的延长线与线段无公共点，
所以不存在点，使得平面，所以A错误；
对于B中，因为，在直角中，可得，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆弧，
又因为，所以动点的轨迹长度为，所以B正确；
对于C中，由点为中点， 取的中点，连接，
可得，，
因为平面，且平面，所以平面，
同理可得平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
因为平面平面，
由平面，所以动点的轨迹为线段，其长度为，所以C正确；
对于D中，由，当点在内及其边界上运动时，
可得，因为，
所以存在点，使得三棱锥的体积为，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：对于立体几何中的动点轨迹与存在性性问题的求解策略
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)
12. 在等差数列中，为前项和，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列前项和公式及下标和性质计算可得.
【详解】在等差数列中，又，所以，
所以.
故答案为：
13. 在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为______．
【答案】.
【解析】
【分析】设点坐标，再根据题意列出等式，化简即可求得轨迹方程.
【详解】设，则由可得，化简得.
故答案为：.
14. 已知双曲线：的焦距为，过双曲线上任意一点作直线，分别平行于两条渐近线，且与两条渐近线分别交于点，．若四边形的面积为，则双曲线的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据焦距可得，再由双曲线渐近线方程为，可得双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为，结合诱导公式，表示出，然后表示出面积即可，进而求出双曲线标准方程.
【详解】因为双曲线焦距为，所以．
双曲线渐近线方程为，即，
设，分别为点到和的距离，
则到两条渐近线的距离之积
，
又，
，
所以，
又
所以．
所以．
所以．
因为，所以，．
所以双曲线的方程为．
故答案为：
四、解答题(共5题，共77分)
15. 已知函数，且．
（1）求的值及曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1）；
（2）最小值，最大值为8
【解析】
【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，又由，解可得的值，进而可得的值，由直线的点斜式方程分析可得答案；
（2）根据题意，求出函数的导数，可得函数在区间上的单调性，据此求出函数的最值即可得答案．
【小问1详解】
根据题意，，则，
因为，所以．
当时，，，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简得；
【小问2详解】
由（1）可知，，．
故函数在区间上单调递增，
则函数最小值为最大值为.
16. 新冠肺炎疫情防控时期，各级各类学校纷纷组织师生开展了“停课不停学”活动，为了解班级线上学习情况，某位班主任老师进行了有关调查研究．从班级随机选出5名同学，对比研究了线上学习前后两次数学考试成绩，如下表：
（1）求关于的线性回归方程；
（2）针对全班45名同学（25名女生，20名男生）的线上学习满意度调查中，女姓满意率为80%，男生满意率为75%，填写下面列联表，判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为线上学习满意度与学生性别有关？
参考公式与数据：，其中，在线性回归方程中，.
【答案】（1）
（2）联表见解析，不能
【解析】
【分析】（1）根据最小二乘法即可求解，
（2）完善二联表，利用表中数据求解卡方，与临界值即可比较作答.
【小问1详解】
所以，
所以线性回归方程
【小问2详解】
列联表如下：
提出假设：学生线上学习满意度与学生性别无关，
计算得：
因为
所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为线上学习满意度与学生性别有关
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.

（1）已知为中点，求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，根据线面垂直的判定与性质，结合等腰三角形三线合一性质的应用可分别证得，，由此可得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
取中点，连接，

四边形为正方形，，，
平面，平面，，；
，，平面，平面，
平面，平面，又为中点，，
平面，又平面，平面，
，；
，为中点，；
，平面，平面，
又平面，，
，平面，平面.
【小问2详解】
以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，

不妨设，则，，，，
，，，，
设平面法向量，
则，令，解得：，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，即平面与平面夹角余弦值为，
平面与平面夹角为.
18. 已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件得到之间的关系，再根据三角形的面积求得的值，进而得椭圆的标准方程；
（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程和的坐标，利用根与系数的关系求出两点坐标间的关系，接着根据得到直线过定点；当直线的斜率不存在时得直线也过点，最后根据圆的性质求得结果.
【小问1详解】
在中，
令，得，令，得，
因为直线过的左顶点与上顶点，所以．
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，所以，
得，则，
所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
由可得，
则，即，
，
则，
．
由可得，
故，
即，
即，
化简可得，
所以或．
若时，直线的方程为，直线过点，不符合题意；
若时，直线的方程为，直线过定点．
当直线的斜率不存在时，设其方程为，
则可令，，
由得，
即
，
解得或（直线过点，舍去），
此时直线的方程为，显然也过点．
由可得点在以为直径的圆上，
圆心为的中点，半径为，
故点在圆上，
则到直线的距离的最大值为．
19. ChatGPT是OpenAI研发一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的个问题中随机抽取个作答，已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个.
（1）在小张和ChatGPT的这次挑战中，求小张答对的题数的分布列；
（2）给ChatGPT输入一个问题，求该问题能被ChatGPT回答正确的概率；
【答案】（1）分布列见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，得出的可能取值为，求出相应的概率，即可求出结果；
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT回答正确”，从而有，再利用全概率公式，即可求出结果.
【小问1详解】
由题知的可能取值为，
，，
所以小张答对的题数的分布列为
【小问2详解】设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT回答正确”，
由题知，，，，
则.
线上学习前成绩
120
110
100
90
80
线上学习后成绩
145
130
120
105
100
满意人数
不满意人数
合计
男生
女生
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
满意人数
不满意人数
合计
男生
15
5
20
女生
20
5
25
合计
35
10
45