山东省淄博市张店区张店区第九中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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1. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于零及分母不为零得到，进而求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意；
B、，故选项B计算错误，不符合题意；
C、，故选项C计算正确，符合题意；
D、，故选项D计算错误，不符合题意．
故选：C．
3. 如图，，，下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质逐项判定即可求解，掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
，故错误；
∵，
∴，
∴，即，故错误；
∵，
∴，故错误；
∵，
∴，
∴，即，故正确；
故选：．
4. 已知菱形ABCD的面积为96，对角线AC的长为16，则此菱形的边长为（ ）
A. 20B. 14C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质可得、，再根据菱形的性质求得BD的长，进而得到OB，最后根据勾股定理即可求得AB的长．
【详解】解：如图，菱形的对角线、相交于点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的边长为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积为其对角线积的一半是解答本题的关键．
5. 一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果．
【详解】解：
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法——配方法
过程步骤为：1．把原方程化为一般形式．
2．将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1．
3．方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数．
5．若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
6. 如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A. 四边形的周长不变B. 四边形的面积不变
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，由矩形的性质可得，，则可满足四边形是平行四边形，得到，随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，据此可得答案．
【详解】解：由矩形的性质可得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故D符合题意，
随着一张纸条转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，故A、B、C不符合题意，
故选：D．
7. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（ ）
A. 或B. 或2C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形是解题的关键．
由题意得，，，解得，，由，可得，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
解得，，
∵，
∴，
解得，或（舍去），
故选：D．
8. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】解：连接，如图所示：

由题意可得，为对角线的垂直平分线，
，，
．
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故选：D．
9. 四边形不具稳定性，四条边长都确定的四边形．当内角的大小发生变化时．其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积=AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AM=AD'，D'M=AM=AD'，然后求出菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2，即可求解．
【详解】解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示：
则∠D'MA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积=AB2，AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠DAD′=30°，
∴∠D'AM=90°-30°=60°，
∴∠AD'M=30°，
∴AM=AD'，D'M=AM=AD'，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AB=AD'=AD，菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比=，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D'M=AD'是解题的关键．
10. 如图，已知矩形的顶点，若矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第75次结束时，矩形对角线交点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，点的坐标特点，旋转的性质，根据求出，进而求出，每次旋转，8次一个循环，，第75次结束时，矩形的对角线交点D与第3次的点D的坐标相同，第3次点D落在x轴的负半轴上，由此可得结论．
【详解】解：∵四边形矩形，，
∴，
∴，
∵每次旋转，8次一个循环，，
∴点D在x轴的负半轴上，
∴点D的坐标为．
故选：C．
二、填空题（共4小题）
11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键．
【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且，
∴，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
13. 春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，列出方程________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设平均每天票房的增长率为，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， 据此列出方程即可．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为，
由题意得，，
故答案为：．
14. 如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先连接OP，易得四边形ONPM是矩形，即可得在中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理与三角形的面积的求解，则四边形的面积可求．
【详解】解：如图，连接OP．
由已知可得：．
∴四边形ONPM是矩形．
∴，
在中，当时OP最短，即MN最小．
∵即
根据勾股定理可得：．
∵
∴
∴
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为
在中，根据勾股定理可得：
∴
∵
∴
∴
在中
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理与三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15. 如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为___________．

【答案】
【解析】
【分析】证得，作点关于的对称点，则，据此即可求解．
【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接

由题意得：
∵
∴
∴
∵
∴
∴的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等．通过证全等和作对称得出是解题关键．
三、解答题（共9小题）
16. （）计算：；
（）．
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）利用平方差公式、立方根定义、负整数指数幂计算，再合并即可求解；
（）利用二次根式的性质、完全平方公式、零指数幂计算，再合并即可求解；
本题考查了二次根式的运算，实数的运算法则，掌握二次根式和实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式
，
；
（）原式
．
17. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（）利用配方法解答即可求解；
（）移项提取公因式，利用因式分解法解答即可求解
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：移项提取公因式得，，
因式分解得，，
∴或，
∴，．
18. 如图，在中，、、分别是、上的点，且，，，，求和的长．

【答案】，
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代值求出，则，同理可得，由此求出，则．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
19. 像（+2）（﹣2）＝1，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①＝ ；
②＝ ；
（2）计算：（…+）（+1）＝ ；
（3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）2020；（3）a＞b＞c，见解析
【解析】
【分析】（1）①将二次根式分母有理化进行计算；
②先确定分母有理化因式，然后进行计算；
（2）利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解；
（3）通过比较，，的倒数，然后进行，，的大小比较．
【详解】解：（1）①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
（2）原式
，
故答案为：2020；
（3），
同理：，
，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，理解二次根式分母有理化的计算方法是解题关键．
20. 如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长是
【解析】
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键．
（1）由，，得，由四边形是平行四边形，点E在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形；
(2)由平行四边形的性质和矩形的性质得，
推出是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得结果．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，点E在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
的长是．
21. 2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为
（2）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
【解析】
【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可；
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
22. 已知，如图，O为坐标原点，在四边形中，， ， ，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
（1）当P运动 秒，四边形是平行四边形．
（2）在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）时，；时，；时，；
【解析】
【分析】（1）根据题意得，四边形是平行四边形时，列一元一次方程即可求解；
（2）分三种情况：当Q点在P点的右边时；当Q点在P点左侧且在线段上时；当Q点在P点左侧且在延长线上时，根据菱形的性质、勾股定理分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴
∵点D是的中点，
∴
由题意得：
∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴，即，解得：
∴当秒，四边形是平行四边形；
【小问2详解】
分三种情况：
当Q点在P点的右边时，如下图
∵四边形是菱形
∴
在中，由勾股定理得：
∴，解得
∴；
当Q点在P点左侧且在线段上时，如图，
同理①得：
∴，解得
∴；
当Q点在P点左侧且在延长线上时，如图3
同理①得：
即，解得
∴；
综上：时，；时，；时，；
【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，菱形的存在性问题等，解题的关键是掌握特殊平行四边形的性质，注意分类讨论．
23. 如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
（1）________°（直接写出结果不写解答过程）
（2）求证：四边形是正方形．
若，求的面积．
（3）如图（），在中，，高，，则的长度是________（直接写出结果不写解答过程）．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；；
（3）．
【解析】
【分析】（）由可得，进而得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（）过点作于，由角平分线的性质可得，再证明四边形是矩形即可求证；
证明得，同理得，设，得，又由可得，
得到，在中，利用勾股定理得，得到，即得，再根据三角形面积公式即可求解；
（）如图所示， 把沿翻折得，把 沿翻折得，延长交于点，同理（）即可求解；
本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：过点作于，
∵平分，，，
∴，
同理可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示， 把沿翻折得，把 沿翻折得，延长交于点，
由折叠可得，，，，，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．