四川省成都市第四十三中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形．“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，据此解答即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
2. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
【详解】A、，故此选项正确，符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
3. 一个不等式解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可以是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质，求出各个选项不等式的解集，即可进行解答．
【详解】解：A、解得，符合题意；
B、解得，不符合题意；
C、解得，不符合题意；
D、解得，不符合题意；
故选∶A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据异分母分式加法和同分母分式加减法等计算法则求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了异分母分式加法和同分母分式加减法，正确计算是解题的关键．
5. 如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
【详解】∵，小刚的位置从A点运动到了点，
∴，
∴，，
∴，
∴秋千旋转的角度为
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6. 若ab，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. a+3b+3B. ﹣2a﹣2bC. D. a2b2
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】A．∵a＞b，∴a+3＞b+3，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，∴，故本选项不符合题意；
D．当a＝1，b＝﹣2时，满足a＞b，但此时a2＜b2，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
7. 若分式的值为0，则的值为（ ）
A. B. 7C. 7或D. 49
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式的值为0，要求分子为0，分母不等于0，即可求解．
【详解】∵分式的值为0，
∴且，
解得：，
故选：A
8. 如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解．
【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，
∴，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，
∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 因式分解：_____．
【答案】##
【解析】
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查利用提公因式法及公式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
10. 若等式恒成立，则_________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用多项式乘法将已知等式右边展开，然后合并同类项，与等式左边进行比较即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确去括号得出是解题关键．
11. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做倍长三角形．若等腰是倍长三角形，腰的长为10，则底边的长为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当底边为腰长的2倍，当腰长为底边长的2倍，再由三角形三边关系验证即可．
【详解】解：是等腰三角形，腰的长为10，
∴，
是倍长三角形，
当时，底边为，此时符合题意；
当时，底边为，此时不符合题意，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键．
12. 如图，一次函数的图象与y轴正半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，且满足，则关于x的不等式的解集是 _____．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出函数经过点，结合图象求解即可．
【详解】解：∵的图象与y轴正半轴相交于点A，，
∴函数经过点，
∵的解集即为函数值大于2的部分，
∴由图得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查利用函数图象求不等式的解集，理解题意是解题关键．
13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点E．若，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，首先根据线段垂直平分线的性质，可得，，再根据三角形外角的性质，可得，再利用勾股定理可求的长，据此即可求解．
【详解】解：如图：连接，
由作法可知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，勾股定可理，熟练掌握和运用线段垂直平分线的作法和性质是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）因式分解：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解一元一次不等式组；
（1）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解，即可求解；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
15. 先化简，再求值，从，，，中选择适当的的值代入求值．
【答案】；当时，原式，当时，原式
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．
【详解】解：
∵
∴
当时，原式
当时，原式
16. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）的形状为 三角形；
（2）把向右平移5个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的；
（3）画出绕点A顺时针旋转的，并写出点的坐标．
【答案】（1）等腰直角
（2）见解析 （3）图见解析，点的坐标为
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理及勾股定理逆定理可得结论；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【小问1详解】
由勾股定理得，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
【小问2详解】
如图，即为所求．
【小问3详解】
如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换、平移变换、勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17. 如图，D为内一点，连接并延长至点E，使得．延长至点F，使得，连接．

（1）求证：；
（2）若，，试探究线段之间满足的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明，再由其性质得出，根据平行线的判定即可证明；
（2）延长交于点H，连接，根据全等三角形的性质及平行线的性质得出，，利用等腰三角形三线合一的性质得出，再由勾股定理即可得出结果．
【小问1详解】
证明：在与中，
∵
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
，证明如下：
延长交于点H，连接，
由（1）得，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
18. 如图1，在中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求的度数；
（2）连接，若，，求线段 长；
（3）如图2，若，，点为中点，的延长线与交于点，与交于点，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质先求得 ，然后证明，则对应角相等即可求得．
（2）利用 求得BE的长，然后利用直角三角形的性质求得的长，最后利用勾股定理求得的长．
（3）利用已知条件可证，结合已证结论可求得，然后推得是等腰直角三角形，则，从而在含角的直角中可求得的长，最后在分别含角的直角三角形与含角的直角三角形中求得之间的关系式，通过的长建立关系式，求得的长，则可求得的长．
【小问1详解】
∵线段绕点C旋转得到，
∴，
∵，
∴．
即
∴．
在与中，，
∴
∴．
由得，
在中，，
∴．
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
又，
∴．
∴是直角三角形．
由得．
由知，，
由知，，
∴．
过点E作，垂足为点F．如下图．

．
则．
∴，．
∴
在中，
【小问3详解】
过点N作，垂足H．连接．如下图．

由得：．
由，点M为中点，得，
∴，．
∴．
∴，
∴，又，
∴
∴为等腰直角三角形．
故也为等腰直角三角形．
∴．
在中，，
∴．．
在与中，，
∴，，
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形三线合一等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知，则代数式的值为 _____．
【答案】4
【解析】
【分析】由已知可得，然后将所求代数式利用完全平方公式变形为，再将已知整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
．
∵，
∴．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了代数式的求值、完全平方公式，熟练运用完全平方公式与“整体代入”的思想是解答此题的关键．
20. 已知不等式组的解集为，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分别把两个不等式解出来，根据解集为，即可求出m的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：,
∵原不等式组的解集为，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解题关键．
21. 已知，则的值等于__．
【答案】
【解析】
【分析】根据4，求出，再将原式化为，然后整体代入即可求解．
【详解】解：∵4，
∴4，
∴，
∴，
∴


．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确得到并利用整体代入得思想求解是解题的关键．
22. 如图，在中，，点分别在边上，连接，若，且是等边三角形，则_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意算出的长，如图所示，延长，使得，连接，构成三角形，并证明，可得，设，则，在中，根据特殊角的直角三角形的性质，勾股定理的运用即可求解．
【详解】解：如图所示，延长，使得，连接，

∵在中，，
∴，，
∴，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
设，则，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，则，解得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合，理解题意，勾股直角三角形，掌握三角形全等，等边三角形的性质，勾股定理，特殊角的直角三角形的性质的运用是解题的关键．
23. 如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点．若为直角三角形，则的长为____________________．
【答案】9或
【解析】
【分析】利用三角函数的定义得到，，再利用折叠的性质得，，，设，则，，讨论：当时，则，则，于是在中利用得到，解方程求出得到此时的长；当时，作于，连接，如图，证明得到，再计算出，则，，接着利用勾股定理得到，方程求出得到此时的长．
【详解】解：，，，
，
，
，
点是的中点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，
，，，
设，则，，
当时，
在中，，
，
，
在中，，
，
即，解得，此时为9；
当时，作于，连接，如图，
，，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，
，
解得，此时为．
综上所述，的长为9或．
故答案为：9或．
【点睛】本题考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元．
（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？
（3）哪种方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）空调的每台采购价为2000元，电风扇每台采购价为100元
（2）11种 （3）当购进空调20台，电风扇30台时，最大利润元
【解析】
【分析】（1）设空调采购了台，电风扇采购了台，根据等量关系式：8台空调价格+20台电风扇价格=18000元，4台空调价格+30台电风扇价格=11000元列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进了台空调，电风扇购进了台，根据不等关系式：这两种电器的资金不超过43000元，这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元，列出不等式组，解不等式组即可；
（3）设利润为，写出w与x的函数关系式，根据一次函数的增减性，得出当购进空调20台，电风扇30台时，获得的利润最大．
【小问1详解】
解：设空调采购了台，电风扇采购了台，
根据题意得：，解得：，
答：空调的每台采购价为2000元，电风扇每台采购价为100元．
【小问2详解】
解：设购进了台空调，电风扇购进了台，由题意得：
，解得：，
因为取整数解10，11，12…20，共11个，所以进货方案有11种．
【小问3详解】
解：设利润为，则，即，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当取最大值时，有最大利润，
即当购进空调20台，电风扇30台时，最大利润为：
元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意找出题目中的等量关系和不等关系，是解题的关键．
25. 如图1，点O是坐标原点，直线：与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．

（1）求直线和的表达式；
（2）点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．
【答案】（1）直线的解析式为；直线的解析式为
（2）
（3）点或
【解析】
【分析】（1）把点的坐标分别代入相应的函数解析式求解即可．
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，点即所求，设直线表达式为，确定解析式，并求出与轴的交点坐标即可．
（3），，分两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：将代入得，解得，
故直线的解析式为；
把代入，得，解得，
故直线的解析式为．
【小问2详解】
解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，

则点满足的值最小，
∵，，
∴，，
∴，，设直线表达式为，
∴，解得，
∴直线表达式为，
令，
∴．
【小问3详解】
解：设点，如图，

当时，过点作于点，
∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，
∴，
∴，，
解得，
故点；
如图，

当时，过点作于点，
∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，，，
解得，
故点；
综上所述，点或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，勾股定理，分类思想是解题的关键．
26. 如图1，是等边三角形，，射线，点D（不与点B重合）为射线BN上一动点，连接，将线段绕点A逆时计旋转得到线段，连接，延长交射线于点F．

（1）求证：；
（2）问线段的长是否随着点D的移动而发生变化？若不变，求出的长；若要变，说明理由；
（3）当点D在射线上移动时，过点E作，垂足为点P，设，求的长（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）证明见解析；
（2）不变，；
（3）的长为或0或．
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质，证明，即可得到；
（2）连接交于点G，先证明，得到，，进而得到，再利用勾股定理，即可求出的长；
（3）分三种情况讨论：①当时，连接，利用全等三角形的性质，得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，然后根据，即可求出的长；②当时，此时与重合，利用等边三角形的判定和性质，结合三角形内角和定理，证明点P与点D重合，即可求出的长；③当时，连接，同①理可知，，然后根据即可求出的长．
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
在和中，
，
；
小问2详解】
解：不变，理由如下：
如图，连接交于点G，

，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
线段的长为定值，不随着点D的移动而发生变化；
【小问3详解】
解：①如图，当时，连接，

，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图，当时，此时与重合，

，，
是等边三角形，
，
，
，
点P与点D重合，
；
③如图，当时，连接，

，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上可知，长为或0或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，三角形内角和定理等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．