山西省大同市第一中学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份山西省大同市第一中学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分共30分.在每个小题的四个选项中，只有一个最符合题意，请将正确的答案选项填入答题卡相应的位置.）
1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．
解：由题意可得，解得，
故选：C．
2. 计算的结果是（ ）
A. 6B. C. D.
答案：D
解析：本题考查了二次根式的乘法法则和二次根式的性质，掌握以上知识，并正确计算是解题的关键．
根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算即可．
解：
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，即可．
解：A. ，故此选项不符合题意；
B. ，故此选项不符合题意；
C. ，故此选项符合题意；
D. ，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A. 3B. 1C. 2D.
答案：B
解析：本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
先化简，然后根据同类二次根式的概念计算求解．
解：，
∵与最简二次根式能合并，
∴，解得，
故选：B．
5. 中，的对边分别记为，下列条件不能判定其为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：本题主要考查了直角三角形的判定，根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
解：A、设，
，
解得：，
则，
所以不是直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵
∴，
∴直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵，
设
∵，
∴为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵，，
∴，
∴为直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
6. 我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明，最早对勾股定理进行证明的是东汉时期的数学家赵爽，如图，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”、用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明，后人称它为“赵爽弦图”、“赵爽弦图”是赵爽在注解哪部著作中提到的？（ ）
A. 《几何原本》B. 《九章算术》C. 《周髀算经》D. 《海岛算经》
答案：C
解析：本题勾股定理的常识，根据“赵爽弦图”出自《周髀算经》直接选即可得到答案；
解：由题意可得，
∵“赵爽弦图”出自《周髀算经》，
故选：C．
7. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示；则化简的结果为（ ）
A. 1B. C. D.
答案：A
解析：根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．
解：由图知：，
，，
．
故选：．
8. 在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 1.6
答案：C
解析：本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可；
解：设，则，
由题意得，
由勾股定理得，
∴，
解得，
即的长为；
故答案为：C
9. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（ ）
A. 20B. 22C. 24D. 26
答案：C
解析：本题主要考查了二次根式的应用．依据题意，直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
解：∵两个小正方形面积为8和18，
∴大正方形边长为：．
∴大正方形面积为．
∴留下的阴影部分面积和为：．
故选：C．
10. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：本题考查勾股定理及两点间距离公式，熟记勾股定理的公式是解题的关键．
根据勾股定理的公式算出正方形的对角线长，即可得到答案．
解：数轴上正方形边长为1，
则正方形的对角线长为：，
则点A表示数为
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11. 命题：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是_____________．
答案：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
解析：命题都是由条件和结论两部分组成，逆命题是把原命题的条件和结论对调即可，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
解：因为原命题的题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，
所以“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是“如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”．
12. 比较大小：______（填，或）．
答案：
解析：本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法比较大小即可．
解：，，
∵，
∴，
即
故答案为：．
13. 已知实数x，y满足，若的值为直角三角形的两边的长，则该直角三角形的面积是______．
答案：6或
解析：本题考查了非负数的性质和勾股定理．没有确准该直角三角形的斜边时，需要分类讨论，以防漏解．
首先利用非负数的性质求得，．然后分类讨论：4是直角边和斜边两种情况．利用勾股定理求得第三边的长度，则易求该直角三角形的面积．
解：依题意，得，，解得，．
①当4是该直角三角形的直角边时，则斜边＝，
所以该直角三角形的面积为：；
②当4是该直角三角形的斜边时，则另一直角边为：，
所以该直角三角形的面积为：．
故答案为：6或．
14. 我们把形如（为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数、则是______型无理数．
答案：
解析：本题考查了最简二次根式，掌握是解题的关键．
根据完全平方公式展开，化简二次根式即可得出答案．
解∶
所以，是型无理。
故答案为∶．
15. 如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长为______．
答案：5
解析：过点作于点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着证明得到，所以，设，则，利用勾股定理得，然后解方程即可．
解：过点作于点，如图，
由作图痕迹得平分，
而，，
，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得，
即的长为5．
故答案为：5．
三、简答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算
（1）
（2）
答案：（1）
（2）
解析：本题考查二次根式混合运算，负整找数幂，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可；
（2）先化简二次根式，再运用乘法公式计算，最后合并同类二次根式即可．
小问1解析：
解：原式
；
小问2解析：
解：原式
．
17. 已知，求的值．
答案：11
解析：本题考查代入求值，二次根式的运算，运用完全平方公式和平方差公式计算即可．
解：
．
18. 如图，在中，，求的长
答案：
解析：本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理公式，
过点作于点，利用勾股定理分别求出，即可解答
解：过点作于点，如图所示：
在中，
在中，，
19. 三月草长莺飞，万物复苏，在一个阳光明媚的周末，李明与同学相约公园放风筝，如图所示风筝线断了、风筝被挂在了树上A点处，他想知道此时风筝距地而的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上B点、发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线向后拉开6米，发现风筝线末端刚好接触地而C点（如图所示），请你帮李明求出风筝距离地面的高度．
答案：风筝距离地面的高度为8米
解析：本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
根据题意可知，利用勾股定理解答即可．
解：由题可知，
，
解得
答：风筝距离地面的高度为8米．
20. 如图，在四边形中，．求的度数．
答案：
解析：本题考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理．
连接，根据，得出是等边三角形，求得，然后根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，从而求得．
解：连接
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
是直角三角形，且，
21. 仔细观察图形，认真分析各式，然后回答问题：
①；
②；
③；
（1）请用含（为正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）直接写出的长；
（3）求出的值．
答案：（1）（n是正整数）
（2）
（3）
解析：本题考查的是勾股定理，涉及到数据的规律性，综合性较强；
（1）利用已知可得，注意观察数据的变化；
（2）根据题中给出的规律即可得出结论；
（3）将前20个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
小问1解析：
解：
（n是正整数）
小问2解析：
解：
小问3解析：
解：
．
22. 小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务
（1）请根据思路1的公式，求的面积．
（2）请你结合思路2，在如图所示的网格中，（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点）完成下列任务．
①画出，要求三个顶点都在格点上；
②结合图形，写出面积的计算过程，以及边上的高．
答案：（1）4 （2）
解析：本题考查了二次根式运算，勾股定理，海伦-秦九韶公式；
（1）将，，代入秦九韶公式进行计算，即可求解；
（2）①按要求作图，即可求解；②过作于点，由三角形面积公式可求出，即可求解；
理解公式，能根据公式进行正确运算是解题的关键．
小问1解析：
解：由题意得
；
小问2解析：
解：①如图所示，即为所求．
②过作于点，
由题意得：，
，
边上的高为：
．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴上一动点，以为边作且．
（1）直接写出线段的长．
（2）如图1，当点为线段上的一个动点时，试判断线段的数量关系，并证明；
（3）如图2，当点运动到线段的延长线上，且，请直接写出的长．
答案：（1）
（2），证明见解析
（3）
解析：本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识：
（1）直接根据两点间距离公式求解即可；
（2）连接，证明，得，由勾股定理可得结论；
（3）证明,得，得，由勾股定理得
小问1解析：
解：∵，，
∴；
小问2解析：
解：
证明：连接
，
，
，
，
即
在与中
，
，
，
小问3解析：
解：∵均为等腰直角三角形，
∴，
∴，即
∵
∴
∴
∴
由勾股定理得题目：已知在中，，，，求的面积．
思路1：可以利用八年级下用课本16页“阅读与思考”中的海伦-秦九韶公式求的面积
海伦公式：；其中
秦九韶公式：
思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角形，求的面积．