人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组9.2 一元一次不等式优秀同步练习题

这是一份人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组9.2 一元一次不等式优秀同步练习题，文件包含92一元一次不等式解析版docx、2023-2024学年人教版七年级下学期数学同步讲义92一元一次不等式docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
知晓结构体系
1夯实必备知识
考点1 解一元一次不等式
1．一元一次不等式
不等式的左右两边都是整式，经过化简后含有_ 1 _个未知数，未知数的次数是_1_的不等式叫做一元一次不等式．比如：3x-7>0，9-2y≤3；
2．解一元一次不等式
（1）基本思路
根据不等式的基本性质，将不等式转化为 x＜a或x＞a 的形式；
（2）一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
考点2 一元一次不等式的应用
1． 列不等式（组）解应用题的基本步骤
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案．
2．关键词
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键．
2提升学科能力
一、题点一 一元一次不等式的定义
1．下列不等式中属于一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，理解一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义求解即可．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：A．含有一个未知数，次数为1，不等式两边是整式，属于一元一次不等式，故本选项符合题意；
B．，含有一个未知数，但未知数的最高次数是5，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C．，含有两个未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D．，没有未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列各式是一元一次不等式的有（ ）个
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】此题考查一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，用不等号连接，且不等号两边都是整式的式子是一元一次不等式，根据定义依次判断．
【详解】解：（1），（2），符合定义，
（3）不等号左边不是整式，不符合定义，
（4）去括号后是，最高次数是2，不符合定义，
故选：B．
3．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握含有一个未知数，且未知数次数为1的不等式是一元一次不等式，据此逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意；
B、是一元一次方程，不符合题意；
C、没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
故选：A．
4．若是关于x的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到且，即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
解得：，
故答案为：．
5．已知是关于的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，则或，且，解得，
故答案为：．
二、题点二 一元一次不等式的解集
6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式．解不等式求出的范围，再在数轴上表示即可．
【详解】解：解得在数轴上表示如下：
故选：B．
7．在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键．先解一元一次不等式不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表述出来即可得得出答案．
【详解】解：解不等式，
解得．
所以不等式的解集在数轴上表示为：
故选：C
8．如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质，根据不等式的性质，得到，求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，
∴，
∴；
故选B．
9．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，掌握步骤是解题的关键．注意：不等式两边都除以一个负数时，不等号的方向改变．
根据移项，合并同类项，系数化为1，求出解集即可．
【详解】
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
故答案为：．
10．关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次不等式的解法，解一元一次不等式时，若在不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变．把看作常数，求出已知方程的解，根据方程的解是负数得到小于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：，
移项得：，
解得：，
由方程的解是负数，得到，
即，
解得：，
故答案为：．
11．解不等式
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）去括号，移项，合并同类项即可得解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可得解．
【详解】解：（1）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得；
（2）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
12．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，并把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
的系数化为1得，，
在数轴上表示为：
13．解不等式小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
两边都除以得：⑤
【答案】①②⑤，过程见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：错误步骤：①②⑤，
正确的解答过程如下：
，
，
，
，
，
∴原不等式的解集为：．
三、题点三 一元一次不等式的整数解
14．一元一次不等式的正整数解共有（ ）
A．5个B．6个C．10个D．无数个
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解再得出整数解的个数即可．
【详解】解：，
移项合并同类项得：，
，
不等式的整数解有：1，2，3，4，5，共5个，
故选：A．
15．不等式的正整数解的和为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
不等式移项合并，把x系数化为1，进而求解即可．
【详解】解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，，
∴正整数解有：1，2，3
∴．
∴不等式的正整数解的和为6．
故答案为：6．
16．不等式的正整数解有2个，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组解的情况求参数，解一元一次不等式组得，结合不等式的正整数解有2个，得出，求解即可．
【详解】解：解不等式得：，
不等式的正整数解有2个，
，
解得：，
故答案为：．
17．解不等式： ，并写出非正整数解．
【答案】，非正整数解为：0，，
【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．熟练掌握求一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
先去分母，去括号，然后移项合并，最后系数化为1可得不等式的解集，然后求正整数解即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得，，
∴ 非正整数解为；0，， ．
18．（1）观察发现：
材料：解方程组
将①整体代入②，得，
解得
把代入①，得，
所以②，
这种解法称“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为 ．
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组
（3）拓展运用：若关于的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值．
【答案】（1）（2）（3）1，2
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．
（2）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．
（3）方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，确定出正整数值即可．
【详解】解：（1）由①得：③，
将③代入②得：，即，
将代入③得：，
则方程组的解为．
故答案为．
（2）由①得：③，
将③代入②得：，即，
将代入③得：，
解得，
则方程组的解为．
（3）
得：，即，
代入不等式得：，
解得：，
则满足条件的正整数值为1，2．
故答案为：1，2．
四、题点四 一元一次不等式解的最值
19．不等式的最大整数解为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了求不等式的最大整数解，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等的解集，进而求出其最大整数解即可．
【详解】解：
移项得： ，
合并同类项得；，
系数化为1得：，
∴不等式的最大整数解为2，
故选：B．
20．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：
①+②得，
∴
∵
∴
解得：
∴的最小整数值为，
故选：A．
21．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7B．2，7C．1， D．2，
【答案】A
【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x．
【详解】当时，第1次运算结果为，
∴当时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得，
∴使代数式的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键．
22．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3B．-3C．4D．-4
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【详解】∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
23．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
24．不等式的最大整数解是 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是一元一次不等式的整数解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
解不等式求得的范围，再该范围内可得其最大整数解．
【详解】解：移项、合并，得：，
系数化为1，得：，
∴不等式的最大整数解为1，
故答案为：1．
25．已知的最小值为，的最大值为，则 ．
【答案】
【解析】略
26．已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可．
【详解】解：方程，
解得：，
∵关于的方程的解是非负数，
∴，
解得：，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键．
五、题点五 含绝对值不等式的解
27．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围．
【详解】
解：①当，即时，原式可化为：，
解得：，
；
②当，即时，原式可化为：，
解得：，
，
综上，该不等式的解集是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键．
28．不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于，
不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
29．如果｜x｜＞3，那么x的范围是
【答案】或
【分析】首先算出|x|=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ．
【详解】解：由绝对值的意义可得：
x=3或x=-3时，|x|=3，
∴根据“大于取两边”即可得到｜x｜＞3的解集为：x>3或 x3或 x1，
解得x−1，
两边同时加上2，得：−x+2>−1+2，
解得−x+2>1，
∴数轴上表示数−x+2的点在A点的右边，
根据作差法，得：
−2x+3−(−x+2)=−x+1，
由x−1，
−x+1>0，
−2x+3−(−x+2)>0，
∴−2x+3>−x+2，
∴数轴上表示数−x+2的点在B点的左边，
∴数轴上表示数−x+2的点应落在线段AB上，
故答案为：线段AB上；
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的性质，数轴上数的大小，掌握一元一次不等式的性质及数轴上数的大小是解题的关键．
46．数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为．
(1)当时，求点N表示的数；
(2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查数轴上点表示数、代数式求值、一元一次不等式等知识点，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系列出一元一次不等式解法是解题关键．
（1）直接将代入即可解答；
（2）根据点N在点M的左侧以及数轴上左侧的数小于右侧的数列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：当时，求点N表示的数为．
（2）解：∵若点N在点M的左侧，
∴，
解得：，
∴m的最大整数值为2．
47．如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．

(1)若，则点A，B间的距离是多少?
(2)求x的取值范围；
(3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由．
【答案】(1)点A、B间的距离是；
(2)；
(3)表示数的点落在线段上．
【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
（1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可；
（2）求出的范围，进行判断即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴代表的数为，
∴点A、B间的距离是；
（2）解：由题意，得：，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴表示数的点落在线段上．
48．十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Niclas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明．
(1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论．
由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到；
由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到；
由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到；
同理可证，所以成立．
(2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．

长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示）
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果．
【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到；
由，在不等式的两边同时加上，可以得到；
由，在不等式的两边同时除以，可以得到；
（2）设长度1为，则长度2为，
则，
两边同乘以得，
，
，
，
，
，
长度1是；长度2是．
【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键．
明确学习目标
课标要求
理解一元一次不等式的概念；
掌握求一元一次不等式的解和整数解；理解一元一次不等式与实际应用问题的结合
重点难点
掌握求一元一次不等式的解和整数解；理解一元一次不等式与实际应用问题的结合
A型号
B型号
座位数（个/辆）
60
30