山西省太原市成成中学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

这是一份山西省太原市成成中学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
2．记等差数列的前n项和为.若，，则（ ）
A．49B．63C．70D．126
3．中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有
A．18种B．24种C．36种D．72种
4．已知函数（且）的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列的第二项与第三项，若，数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．1D．
5．若的展开式中含项的系数为10，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（ ）
A．B．是偶数
C．D．
7．下列不等关系中，正确的是（为自然对数的底数）（ ）
A．B．
C．D．
8．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为B．的前项和为
C．的前项积为D．
10．带有编号、、、、的五个球，则（ ）
A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法
D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．D．（）
三、填空题
12．在的展开式中，所有项的系数和等于 .（用数字作答）
13．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件为“第1次抽到代数题”，事件为“第2次抽到几何题”，则 ．
14．已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为 ．
四、解答题
15．为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．
(1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率．
16．已知函数．
(1)求函数的极值点和零点；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围．
17．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，若的前n项和为，证明：．
18．设函数，其中a为实数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：．
参考答案：
1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．D
由已知得数列满足递推关系，，
对选项A：
，故A错误；
对选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，
，不能被3整除，且为奇数，
所以也为奇数，故B错误；
对选项C：若选项C正确，又，则，
同理，依次类推，
可得，显然错误，故C错误；
对选项D：，
所以，故D正确.
7．D
设则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
对于A项，由，
因在上单调递减，故，故A项错误；
对于B项，由，
因在上单调递减，故，故B项错误；
对于C项，由，
因在上单调递减，故，故C项错误；
对于D项，由，
因在上单调递减，故，故D项正确.
8．D
由，得；由，得，
因为曲线与曲线存在公切线，
设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
则，又，则，
将代入，得，则，
所以，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，则的范围是.
9．AB
对A，设等比数列的公比为，则，得，
所以，所以，所以，
所以数列的公比为，故A正确
对B，因为，所以的前项和为
，故B正确；
对C，的前项积为，故C错误
对D，因为，
所以的前项和为，故D错误．
10．AC
对于A：由分步计数原理，
五个球全部投入个不同的盒子里共有种放法，故A正确；
对于B：由排列数公式，
五个不同的球放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故B错误；
对于C：将其中的个球投入一个盒子里共有种放法，故C正确；
对于D：全部投入个不同的盒子里，没有空盒，
共有：种不同的放法，故D错误．
11．ABD
因为，
所以，即，
令，得，故A正确；
因为，
当时，，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，假设成立，
求导得，
即，又，
所以，所以与矛盾，故C错误；
对于D，因为，，
所以，，，，
所以有，
所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
又，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，故D正确．
12．
13．/0.5
由题意得，，，
所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:
.
14．/0.09375
对于，
当时，
当时，
经检验：对也成立，
∴所以，
∴
，
两式相减得，，
，
所以 所以，
令 ，
，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，t的最小值为．
15．(1) (2)
（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以规定三名同学都需要回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.
（2）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件B为“这道题被答对”，
则，，，
且，，，
由全概率公式可得.
16．(1)极大值点为，没有极小值点；零点为1；
(2)
（1）函数定义域为，，
当时单调递增，
当时单调递减，
所以函数在时取得极大值，函数没有极小值，
所以函数的极值点只有1个，即极大值点，无极小值点.
因为， 当时，，
当时，
所以 只有一个零点1.
（2）要使恒成立，即恒成立，
令，则.
当时，， 单调递增，
当时，，单调递减，
所以在时取得极大值也是最大值，，
要使恒成立，则，
即实数k的取值范围是.
17．(1) (2)证明见解析
（1）因为，所以，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
所以的通项公式为；
（2）设的公差为，因为，，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以所以，
所以，
又因为，
所以.
18．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
（1）的定义域为，，
令，得或，
时，，时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2），
由在上有两个不同的极值点，
故有两个不同的正根，则有，解得，
因为
，
设，，
则，故在上单调递增，
又，
故．