广东省东莞市瑞风实验学校2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题（学生版+教师版）

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一、单选题
1. 下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A. ，故不是最简二次根式，不合题意；
B. ，故不是最简二次根式，不合题意；
C. ，故是最简二次根式，符合题意；
D. ，故不是最简二次根式，不合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，正确把握定义解题关键．
2. 函数y中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≥1B. x＞2C. x≥1且x≠2D. x≠2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查代数式有意义的条件：（1）分母不为0；（2）二次被开方数大于等于0. 据此列出不等式组再求解即可.
【详解】运用分析中的两个条件，可列不等式组：
，解得：x≥1且x≠2.
故选：C.
【点睛】明确分析中两个条件的依据，是掌握代数式有意义的条件的关键.
3. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象必经过B. 图象经过第一、二、三象限
C. 当时，D. y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】求出当时，y的值即可判断A；根据一次函数的图象的性质即可判断B和D；再根据一次函数与x轴的交点坐标，以及一次函数的图象的性质即可判断C．
【详解】解：当时，，
∴函数图象不经过，故A结论错误，不符合题意；
∵，
∴函数图象经过第一、二、四象限，故B结论错误，不符合题意；
当时，，
∵，
∴y随x增大而减小，
∴当时，，故C结论正确，符合题意，D结论错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
4. 如图，在中，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等求出即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选 B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等，是基础题．
5. 如图，函数图像与函数的图像相交于，当时，的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】只需要找到函数图像在函数的图像上方时自变量的取值范围即可．
【详解】解：由函数图像可知，当时，函数的图像在函数的图像上方，即此时，
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
6. 菱形的周长为，其相邻两内角的度数比，则此菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相邻两内角的度数比为，可求出一个角，根据周长为，求出菱形的边长，根据直角三角形里角的性质求出高，从而求出面积．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵四边形是菱形，且其周长为，
∴，，
∴，
∵菱形相邻两内角的度数比为，即，
∴，
∴，
∴，
即此菱形的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7. 如图，在中，，，分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：，，分别是，，的中点，
，
、分别为、中点，
，
四边形的周长为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
8. 在ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=140°，则∠A的大小为（ ）
A. 140°B. 130°C. 120°D. 100°
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出∠AEB=∠CBE，由角平分线的定义和邻补角关系得出∠ABE=∠CBE=∠AEB=180°-∠BED=40°，再由三角形内角和定理即可得出∠A的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=140°，
∴∠ABE=∠CBE=∠AEB=180°-∠BED=40°，
∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=100°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ABE=∠CBE=∠AEB是解决问题的关键．
9. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定成立的是（ ）
A. AC=BDB. AB=CD
C. 当AC⊥BD时，它是菱形D. 当∠ABC＝90°时，它是矩形
【答案】A
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据菱形与矩形的判定定理，平行四边形的性质，即可求得答案．
【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=BD错误，因为矩形的对角线才相等，故A选项说法错误，符合题意．
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，故B选项说法正确，不符合题意．
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，它是菱形，故C选项说法正确，不符合题意．
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当∠ABC＝90°时，它是矩形，故D选项说法正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形与矩形的判定，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．
10. 某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分），S与t之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是( )
A. 汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟
B. 汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园
C. 加油后汽车行驶的速度为60千米/时
D. 加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快
【答案】D
【解析】
【分析】对照图象信息逐项分析即可．
【详解】解：A．汽车行驶30千米时，停车加油时间为第25分至第35分，该选项正确；
B．S=60千米，8点出发，用时65分钟，9点5分到达，该选项正确；
C．加油后速度，该选项正确；
D．加油后速度
加油前速度
，该选项错误．
故选：D
【点睛】此题主要考查读函数图象，正确理解函数图象的信息是解题关键．
二、填空题
11. 在平面直角坐标系中，若点，在一次函数的图象上，则 ______ （填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】分别将点，的坐标代入一次函数之中求出，，进而比较大小即可得出答案．
【详解】解：点，在一次函数的图象上，
，，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象上的点，解答此题的关键是理解一次函数图象上的点都满足一次函数的解析式，满足一次函数解析式的点都在一次函数的图象上．
12. 将一次函数的图象向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为___．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一次函数函数图象的平移规律：左加右减（只改变），上加下减（只改变），即可得到答案．
【详解】∵向下平移个单位长度，得到解析式
∴一次函数的图象向下平移2个单位，得解析式．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象平移规律的应用，解题的关键是掌握一次函数平移规律：左加右减，上加下减．
13. 已知一次函数（k为常数，且），y随x的增大而减小，当时，函数有最大值5，则k的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意y随x增大而减小，当时，函数有最大值5，即当时，代入求解即可．
【详解】解：∵一次函数（k为常数，且），y随x的增大而减小，
且当时，函数有最大值5，
当时，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程；解题的关键是理解函数的增减性，确定当时．
14. 在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，连接、、，如图，如果，那么______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，过点作于点，延长交于点，先证明四边形是矩形，可得，，根据翻折可得，，再根据，可得是的中点，根据正方形的性质，易证，可得，设，，列二元一次方程组，求出和的值，再根据勾股定理可得的长．
【详解】解：连接，过点作于点，延长交于点，如图所示：

，
在正方形中，，
四边形是矩形，
，，
根据翻折，可得，
，，
，
，
，
，
，
，
在正方形中，，，，
，，
，
，
，
，且，
，
，
，
设，，则，，
，，
又，，
，
解得，
，，
根据勾股定理，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，本题综合性较强，属于中考常考题型．
15. 如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是以为腰的等腰三角形，则的坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理以及等腰三角形的定义．在中，利用勾股定理找出关于的方程时解题的关键．
利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点、点的坐标．利用勾股定理可求出的长度．进而可得出的长度．设，则在中，利用勾股定理即可得出关于的方程，解之即可得出的值，继而可得出点的坐标．进一步求得，然后分两种情况讨论求得点的坐标即可．
【详解】解：当时，，
点的坐标为：．
当时，，
解得：．
点的坐标为：．
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：．
．
．
是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，
以和为腰，为底，
则，
，
点的坐标为：．
以和为腰，为底，
，
点是的中点，
点的坐标为：．
故答案为：或．
三、解答题
16. 先化简，再求值：，其中，
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式的运算法则化简后再代入求知即可.
【详解】解：原式=
把，代入得，
原式= =.
17. 已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得：，，，然后利用完全平方公式将转化为，再代入相应的值计算即可；
（2）利用平方差公式将将转化为，再代入相应的值计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
，
，
∴
；
【小问2详解】
由（1）知：，，
∴


．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，二次根式的性质，完全平方公式，平方差公式，运用了恒等变换和整体代入的思想．解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
18. 学校开展大课间活动，某班需要购买A，B两种跳绳．已知购买2根A型跳绳和1根B型跳绳共需元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需元．
（1）购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元?
（2）若班级计划购买A，B两型跳绳共根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，设购买A型跳绳m根，求购买跳绳所需最少费用是多少元?
【答案】（1）购买1根A型跳绳需10元，购买1根B型跳绳需15元
（2）购买跳绳所需最少费用是600元
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程及关系式是解题关键．
（1）设购买1根A型跳绳需x元，购买1根B型跳绳需y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设所需的费用为W元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设购买1根A型跳绳需x元，购买1根B型跳绳需y元，
根据题意，得，
解这个方程组，得，
答：购买1根A型跳绳需10元，购买1根B型跳绳需元．
【小问2详解】
解：设所需的费用为W元，则
，
根据题意，得，
，
m的最大值是，
，W随m的增大而减小，
当时，W的最小值是，
答：购买跳绳所需最少费用是600元．
19. 如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【答案】（1）A、C两点之间的距离为15cm；
（2）114（cm2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD=90°，由于四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【小问1详解】
解：连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC．
即A、C两点之间的距离为15cm；
【小问2详解】
解：∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
=AB•BCAC•CD
=9×1215×8
＝54+60
＝114（cm2）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
20. 如图，直线是一次函数的图象．

（1）求出这个一次函数的解析式；
（2）根据函数图象，直接写出时的取值范围．
【答案】（1）
（2）当时，
【解析】
【分析】（1）根据图象确定出一次函数图象上两点坐标，代入解析式求出与的值，即可求出解析式；
（2）根据图象确定出的取值范围即可．
【小问1详解】
解：由图象可知：点和点在一次函数图象上，
把与代入，
得，
解得：，
一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：根据图象得：当时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21. 某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）
（2）6600元
【解析】
【分析】（1）根据矩形周长公式列式计算即可；
（2）用绿地面积减花坛面积差乘以50元，列式计算即可．
【小问1详解】
解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
【小问2详解】
解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【点睛】本题考查二次根式的应用，根据题意列出版算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键．
22. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论；
（2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．
23. 面临毕业季，某电脑营销商瞄准时机，在五月底筹集到资金12.12万元，用于一次性购进A、B两种型号的电脑共30台．根据市场需求，这些电脑可以全部销售，全部销售后利润不少于1.6万元，其中电脑的进价和售价见下表：
设营销商计划购进A型电脑x台，电脑全部销售后获得的利润为y元．
（1）试写出y与x的函数关系式；
（2）该营销商有几种购进电脑的方案可供选择？
（3）该营销商选择哪种购进电脑的方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=200x+12000；（2）该经销商有三种购进电脑的方案可供选择；（3）当进A型电脑22台，B型电脑8台时获利最大，利润为16400元
【解析】
【分析】（1）根据利润的计算公式，先求出A型电脑每台的利润为：（4800-4200）元，B型电脑每台的利润为（4000-3600)元，购进A型电脑x台，则购进B型电脑为台，即可得出y与x的函数关系；
（2）根据题意列出相应不等式组，求解，然后依据电脑台数为整数即可确定有几种方案；
（3）根据（1）中一次函数性质，可得当x取最大值22时，获利最大，代入即可求出最大利润．
【详解】解（1）根据题意：购进A型电脑x台，则购进B型电脑为台，A型电脑每台的利润为：（4800-4200）元，B型电脑每台的利润为（4000-3600)元，依据题意可得：
y与x的函数关系式为：，
即为：；
(2)由题意得：
解得，
∵x为整数 ，
∴x取20、21或22，
即该经销商有三种购进电脑的方案可供选择；
（3）由（1)知：，
∵，
∴y随x的增大而增大，
即当x取最大值22， 时，y有最大值，
y最大=200×22+12000=16400（元）
∴当进A型电脑22台，B型电脑8台时获利最大，利润为16400元．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用、不等式的应用，理解题意列出相应方程时解题关键．
24. 在正方形中，，点E为对角线上一点（不与B、D重合），且，连接，过点E作交于点F，请根据题意，补全图形．

（1）连接，求证：：
（2）当点F恰为的三等分点时，求的长；
（3）作平分交于点G．交于点H，当时，试判断与的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）或
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）四边形是正方形得到，是对称轴，则，由得到，由，则，又由得到，，则，即可得到结论；
（2）如图，过点E作于点M，交于点N，证明，则，由，则，点F为的三等分点，当时，，则，当时，，则；
（3）由四边形是正方形得到，，平分，则，则，得到，，进一步得到，由等腰三角形的判定和性质可得，，则，得，则，又由即可得到结论．
【小问1详解】
证明：如图，

∵四边形是正方形，
∴，是对称轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：如图，过点E作于点M，交于点N，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点F为的三等分点，
①当时，
，
∴，

②当时，

，
∴；
综上可知，的长为或；
【小问3详解】
解：如图，连接交于点P，

∵四边形是正方形，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25. 如图，直线：与轴交于点，与轴交于点．直线：经过点，，与直线交于点．
（1）求直线的函数关系式；
（2）连接，求的面积；
（3）设点的坐标为，求最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，以及轴对称最短线路问题，
（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）先求出点E坐标，再根据，求出即可；
（3）根据将军饮马模型，作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最小，由坐标系中两点的距离公式计算即可．
【小问1详解】
解：设直线解析式为，
把，代入得：，
解得：，
则直线解析式为；
【小问2详解】
对于直线，
令，得到，令，得到，即，，
，，
，
联立得：，
解得：，即，，
，
则；
【小问3详解】
作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最小，
由对称可知得，
，
即最小值是．
A型电脑
B型电脑
进价(元/台)
4200
3600
售价(元/台)
4800
4000