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苏科版九年级数学下册专题5.9二次函数中的最值问题【八大题型】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版九年级数学下册专题5.9二次函数中的最值问题【八大题型】(原卷版+解析)，共67页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3821" 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 PAGEREF _Tc3821 \h 2
\l "_Tc21404" 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 PAGEREF _Tc21404 \h 4
\l "_Tc11598" 【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 PAGEREF _Tc11598 \h 6
\l "_Tc27180" 【题型4 二次函数中求线段最值】 PAGEREF _Tc27180 \h 10
\l "_Tc21027" 【题型5 二次函数中求线段和差最值】 PAGEREF _Tc21027 \h 18
\l "_Tc2359" 【题型6 二次函数中求周长最值】 PAGEREF _Tc2359 \h 32
\l "_Tc30470" 【题型7 二次函数中求面积最值】 PAGEREF _Tc30470 \h 42
\l "_Tc5290" 【题型8 二次函数在新定义中求最值】 PAGEREF _Tc5290 \h 52
【知识点1 二次函数的最值】
1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．
（2）若，如图②，当，；当，．
（3）若，如图③，当，；当，．
（4）若，，如图④，当，；当，．
2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．
【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】
【例1】（2023秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为 （用含m的式子表示）．
【变式1-1】（2023秋•河西区期末）当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（ ）
A．最大值﹣3B．最小值﹣3C．最大值﹣4D．最小值﹣4
【变式1-2】（2023秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4．
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【变式1-3】（2023•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．
（1）求b+c的值．
（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．
（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．
【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】
【例2】（2023•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（ ）
A．±16B．−16或12C．−16或23D．16或2
【变式2-1】（2023秋•龙口市期末）已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1时，y的最大值为10，则a的值为 ．
【变式2-2】（2023•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（ ）
A．3B．9C．293D．253
【变式2-3】（2023•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6B．2C．﹣2D．﹣3
【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】
【例3】（2023•宁阳县一模）当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤2B．0≤m＜4C．2≤m≤4D．m≥2
【变式3-1】（2023•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）．
【变式3-2】（2023•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，求t的值；
（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围．
【变式3-3】（2023•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点（2，c）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．
（2）当t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t的值．
【题型4 二次函数中求线段最值】
【例4】（2023•黔东南州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；
（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】（2023•太原一模）综合与实践
如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）求线段DE的最大值；
（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．
【变式4-2】（2023•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限，连接AM，BM．当线段PM最长时，求△ABM的面积；
（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2023春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式；
（1）过点P作PE⊥AC于点E，求22PE的最大值及此时点P的坐标；
（2）将抛物线y＝ax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【题型5 二次函数中求线段和差最值】
【例5】（2023春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=−34x2−94x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．
【变式5-1】（2023•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9．
（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；
（2）当m＝﹣3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N．
①若点P是x轴上的动点，求PN﹣PM的最大值及对应的点P的坐标；
②设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2023•建华区二模）综合与实践
如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t＞0）交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；
（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为： ；
（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；
（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-3】（2023•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．
①当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；
②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值．
【题型6 二次函数中求周长最值】
【例6】（2023•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2023•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2023•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
（3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．
【变式6-3】（2023•黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），直线l：y=−12x−4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．
【题型7 二次函数中求面积最值】
【例7】（2023•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D．
①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；
②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．
【变式7-1】（2023•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．
（1）求证OC=12OE；
（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=−12时，求△CMN的周长的最小值；
（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
【变式7-2】（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−38x2+34x+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，当四边形PACB面积最大时，S△BPQS△OAQ= ．
【变式7-3】（2023•大庆三模）如图，已知抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝CD．
（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；
（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标及△GDF面积的最大值；
【题型8 二次函数在新定义中求最值】
【例8】（2023•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−2，−2），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
【变式8-1】（2023•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 ，面积为 ；
②若m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
（2）若点P在直线y＝﹣2x+5上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
【变式8-2】（2023•碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
问题发现：
（1）如图1，筝形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，若AC+BD＝12，求筝形ABCD的面积的最大值；
问题解决：
（2）如图2是一块矩形铁片ABCD，其中AB＝60厘米，BC＝90厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH，要求点E是AB边的中点，点F、G、H分别在BC、CD、AD上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFGH的面积最大值，若不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2023春•崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）．
（1）若A为（3，﹣2），O为坐标原点，则d（O，A）＝ ；
（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（3）若M（1，1），点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”．
专题5.9 二次函数中的最值问题【八大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3821" 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 PAGEREF _Tc3821 \h 2
\l "_Tc21404" 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 PAGEREF _Tc21404 \h 4
\l "_Tc11598" 【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 PAGEREF _Tc11598 \h 6
\l "_Tc27180" 【题型4 二次函数中求线段最值】 PAGEREF _Tc27180 \h 10
\l "_Tc21027" 【题型5 二次函数中求线段和差最值】 PAGEREF _Tc21027 \h 18
\l "_Tc2359" 【题型6 二次函数中求周长最值】 PAGEREF _Tc2359 \h 32
\l "_Tc30470" 【题型7 二次函数中求面积最值】 PAGEREF _Tc30470 \h 42
\l "_Tc5290" 【题型8 二次函数在新定义中求最值】 PAGEREF _Tc5290 \h 52
【知识点1 二次函数的最值】
1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．
（2）若，如图②，当，；当，．
（3）若，如图③，当，；当，．
（4）若，，如图④，当，；当，．
2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．
【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】
【例1】（2023秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为 15+m （用含m的式子表示）．
分析：根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当﹣3≤x≤3时，y的最大值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，该函数图象开口向上，当x＝1时，有最小值，
∴当﹣3≤x≤3时，y取得最大值时对应的x的值是﹣3，
∵当x＝﹣3时，y＝（﹣3﹣1）2﹣1+m＝15+m，
∴当﹣3≤x≤3时，y的最大值为15+m，
故答案为：15+m．
【变式1-1】（2023秋•河西区期末）当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（ ）
A．最大值﹣3B．最小值﹣3C．最大值﹣4D．最小值﹣4
分析：用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当x≥2时，函数有最小值y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
故选：B．
【变式1-2】（2023秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4．
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
分析：根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：小王的做法是错误的，
正确的做法如下：
∵二次函数y＝x2，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，
∵﹣1≤x≤2，
∴当x＝0时取得最小值，最小值是0，
当x＝2时取得最大值，此时y＝4，
由上可得，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4．
【变式1-3】（2023•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．
（1）求b+c的值．
（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．
（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．
分析：（1）由对称轴−b2=1，求出b的值，再将点（3，0）代入y＝x²+bx﹣c，即可求解析式；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝1，结合函数图像可知当x＝﹣4时，y有最大值21；
（3）设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），可求平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h−16）2−1312，即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x²+bx﹣c的对称轴为直线x＝1，
∴−b2=1，
∴b＝﹣2，
∵二次函数y＝x²+bx﹣c的图象经过点（3，0），
∴9﹣6﹣c＝0，
∴c＝3，
∴b+c＝1；
（2）由（1）可得y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵﹣4≤x≤3，
∴当x＝﹣4时，y有最大值21；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，
∴．设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，
∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1，
设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，
则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h−16）2−1312，
∴当h=16时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为−1312．
【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】
【例2】（2023•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（ ）
A．±16B．−16或12C．−16或23D．16或2
分析：由二次函数y＝mx2﹣4mx可得对称轴为x＝2，分为m＞0和m＜0两种情况，当m＞0时，二次函数开口向上，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m=12，当m＜0时，二次函数开口向下，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m=−16，即可求解．
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，
∴对称轴为x=−b2a=4m2m=2，
①当m＞0时，
∵二次函数开口向上，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，
将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m=12，
②当m＜0时，
∵二次函数开口向下，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，
将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m=−16，
综上，m的值为12或−16，
故选：B．
【变式2-1】（2023秋•龙口市期末）已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1时，y的最大值为10，则a的值为 2 ．
分析：根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x＝﹣1，所以可得0≤x≤1在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵y＝x2+2x+2a+3
＝x2+2x+1+2a+2
＝（x+1）2+2a+2，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤1时，y的最大值为10，
∴当x＝1时，y＝10，
把x＝1时，y＝10代入y＝x2+2x+2a+3中可得：
1+2+2a+3＝10，
∴a＝2，
故答案为：2．
【变式2-2】（2023•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（ ）
A．3B．9C．293D．253
分析：先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，即可得出﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，从而求得a+c＝9．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x=−−2a2a=1，
∵当x＝1时，y＝a﹣2a+c＝﹣a+c；当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c；
∴当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，
∵当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，
∴﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，
∴a+c＝9，
故选：B．
【变式2-3】（2023•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6B．2C．﹣2D．﹣3
分析：根据二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×c−b24×1=−3，−b2＞0，再根据当x≤0时，函数的最小值为﹣2，即可得到c的值，然后将c的值代入入4×1×c−b24×1=−3，即可得到b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，
∴该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×c−b24×1=−3，−b2＞0，
∴b＜0，
∵当x≤0时，函数的最小值为﹣2，
∴当x＝0时，y＝c＝﹣2，
将c＝﹣2代入4×1×c−b24×1=−3，可得b1＝2（舍去），b2＝﹣2，
故选：C．
【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】
【例3】（2023•宁阳县一模）当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤2B．0≤m＜4C．2≤m≤4D．m≥2
分析：根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，
∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，当x＝0时，y＝﹣3，
∴2≤m≤4，
故选：C．
【变式3-1】（2023•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）．
分析：分四种情况讨论：①当m+3≤﹣2时，即m≤﹣5，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；②当m+32＜−2＜m+3时，即﹣4＜m＜﹣3，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；③当m＜﹣2≤m+32时，即﹣3≤m＜﹣2，y的最小值为﹣m2﹣8m﹣7；④当m≥﹣2时，y的最小值为﹣m2﹣8m﹣7，
【解答】解：y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴对称轴为直线x＝﹣2，
当m≥﹣2时，则当x＝m+3时，y有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，
当m＜﹣2＜m+3时，即﹣5＜m＜﹣2，
当对称轴位于范围内时，谁离对称轴远，谁就小，
若m+3+2≥﹣2﹣m，即−72≤m＜﹣2时，
当x＝m+3时，y有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，
当m+3+2＜﹣2﹣m，即﹣5＜m＜−72时，
当x＝m时，y有最小值为﹣m2﹣4m+5，
当m+3+2≤﹣2时，即m≤﹣5，
y的最小值为﹣m2﹣4m+5；
综上所述：m≥−72时y的最小值为﹣m2﹣10m﹣16；当m＜−72时，y的最小值为﹣m2﹣4m+5．
【变式3-2】（2023•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，求t的值；
（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围．
分析：（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得a、b的数量关系，把抛物线解析式中的b换成a的代数式，再将抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；
（2）分x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；
（3）抛物线经过（﹣1，0）和（3，0），与线段AB有两个公共点时，结合图象即可判断出a的取值范围．
【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a得，9a+3b﹣3a＝0，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a）；
（2）∵a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴对称轴为直线：x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∵当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，
∴①当x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧时，有−2(t−2−1)2+8=6t−2＞1，
解得t＝4，
②当x＝t和x＝t﹣2在对称轴左侧时，有−2(t−1)2+8=6t＜1，
解得t＝0，
③当x＝t和x＝t﹣2在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无解，
综上，t的值为0或4；
（3））∵点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B，
∴B（3，4），
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1），
∴抛物线经过点（3，0）和（﹣1，0），
若此二次函数的图象与线段AB有两个交点，
则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间，
当抛物线经过点A时，为一种临界情况，
将A（0，4）代入，
4＝0﹣0﹣3a，
解得a＝−43，
当抛物线的顶点在线段AB上时，为一种临界情况，
此时顶点的纵坐标为4，
∴﹣4a＝4，
解得a＝﹣1，
∴−43≤a＜﹣1．
【变式3-3】（2023•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点（2，c）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．
（2）当t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t的值．
分析：（1）由抛物线经过（2，c）和（0，c），可得到抛物线的对称轴为直线x＝1，即可根据点（﹣1，0），确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；
（2）根据t≤2﹣t，确定t≤1，2﹣t≥1，求出当＝1时取得最大值4，解得N＝1，令y＝1求出值．
【解答】解：（1）∵抛物线经过（2，c）和（0，c），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴（﹣1，0）的对称点为（3，0）．
即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3.0）；
（2）∵与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴0=−1−b+c−b2×(−1)=1，
解得：b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3．
∵t≤x≤2﹣t，
∴t≤1，2﹣t≥1．
∴当t≤x≤2﹣t时，当x＝1时取得最大值4，即M＝4，当x＝t或x＝2﹣t时取得最小值N，
∵M﹣N＝3，
∴N＝1．
令y＝l得，1＝﹣t2+2t+3，解得t1=3+1（舍），t2=−3+1，
∴t=−3+1．
令y＝l得，1＝﹣（2﹣t）2+2（2﹣t）+3，解得t1=3+1（舍），t2=−3+1．
∴t=−3+1．
综上：t=−3+1．
【题型4 二次函数中求线段最值】
【例4】（2023•黔东南州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；
（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，求出AC的长即为所求；
（3）过点P作PE∥y轴交AC于E，当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大，先求直线AC的解析式，设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），则PE＝﹣（t+1）2+1，当t＝﹣1时，PE有最大值，此时P（﹣1，﹣2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
∴a+b−2=04a−2b−2=0，
解得a=1b=1，
∴y＝x2+x﹣2；
（2）∵A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴AM＝BM，
∴MB+MC≥AM+MC，
当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴AC＝22，
∴MB+MC的最小值为22；
（3）线段PQ存在最大值，理由如下：
过点P作PE∥y轴交AC于E，
当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴−2k+b=0b=−2，
解得k=−1b=−2，
∴y＝﹣x﹣2，
设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），
∴PE＝﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
∴当t＝﹣1时，PE有最大值，
此时P（﹣1，﹣2）．
【变式4-1】（2023•太原一模）综合与实践
如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）求线段DE的最大值；
（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．
分析：（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；
（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则−4k+b=0b=−8，
解得：k=−2b=−8，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；
（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），
∵点D在点E的下方，
∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；
（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），
∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，
①当∠AFC＝90°时，
∵AF2+CF2＝AC2，
∴n2+9+n2+16n+65＝80，
解得：n1＝﹣4−19，n2＝﹣4+19，
∴F（﹣1，﹣4−19）或（﹣1，﹣4+19）；
②当∠CAF＝90°时，
∵AF2+AC2＝CF2，
∴n2+9+80＝n2+16n+65，
解得：n=32，
∴F（﹣1，32）；
③当∠ACF＝90°时，
∵CF2+AC2＝AF2，
∴n2+16n+65+80＝n2+9，
解得：n=−172，
∴F（﹣1，−172）；
综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4−19）或（﹣1，﹣4+19）或（﹣1，32）或（﹣1，−172）．
【变式4-2】（2023•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限，连接AM，BM．当线段PM最长时，求△ABM的面积；
（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函数的解析式；
（2）用待定系数法求直线AB的解析式，可求出PM＝﹣（t−32）2+94，当t=32时，PM最长为94，再求△ABM的面积即可；
（3）根据题意，分两种情况讨论；①当PB为平行四边形的对角线时，此时t无解；②当PO为平行四边形的对角线时，此时P（3+212，3−212）或（3−212，3+212）．
【解答】解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设线AB的解析式为y＝kx+b，
∴b=33k+b=0，
解得k=−1b=3，
∴y＝﹣x+3，
∵P（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t−32）2+94，
当t=32时，PM最长为94，
此时S△ABM=12×3×94=278；
（3）存在点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
由（2）知，P（t，﹣t+3），M（t，﹣t2+2t+3），
①当PB为平行四边形的对角线时，
﹣t+3+3＝﹣t2+2t+3，
此时t无解；
②当PO为平行四边形的对角线时，
﹣t+3＝﹣t2+2t+3+3，
解得t=3+212或t=3−212，
∴P（3+212，3−212）或（3−212，3+212）；
综上所述：P点坐标为（3+212，3−212）或（3−212，3+212）．
【变式4-3】（2023春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式；
（1）过点P作PE⊥AC于点E，求22PE的最大值及此时点P的坐标；
（2）将抛物线y＝ax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
分析：（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，可得直线AC的解析式，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），应用二次函数最值可得线段PD的最大值，证明△PDE是等腰直角三角形，可得出2PE＝PD，即可求得答案；
（2）分两种情况：①若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，此时N1A＝N2A＝CM；②若CM不平行于x轴，如图所示，根据平行四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，
∴16a+4b+4=0a+b+4=0，
解得：a=−1b=−3，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4，
∵二次函数y＝﹣x2﹣3x+4与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+4，
∵直线AC经过点A（﹣4，0），
∴0＝﹣4k+4，
解得：k＝1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，
设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），
∴PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x＝＝﹣（x+2）2+4，
∴当x＝﹣2时，PD最大，最大值是4．
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠ADF＝∠PDE＝45°，
∵PE⊥AC，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴2PE＝PD，
∴22PE=12PD，
∴22PE的最大值为12PD=12×4＝2，此时点P的坐标为（﹣2，6）；
（2）由平移可求得平移后函数解析式为y'＝﹣（x+4﹣4）（x﹣1﹣4）＝﹣x2+5x，对称轴为x=52，
分两种情况：
①若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，
此时N1A＝N2A＝CM=52，
∵A（﹣4，0），
∴点N的坐标为（−32，0）或（−132，0）；
②若CM不平行于x轴，如图，
设M（52，m），N（n，0），
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴﹣4+n＝0+52，
∴n=132，
∴点N的坐标为（132，0）；
综上，点N的坐标为（−32，0）或（−132，0）或（132，0）．
【题型5 二次函数中求线段和差最值】
【例5】（2023春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=−34x2−94x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．
分析：（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与x轴交点，令x＝0代入可以得到与y轴的交点，把解析式配方后可得对称轴；
（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的坐标；
（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标．
【解答】解：（1）∵y=−34x2−94x+3=−34（x+4）（x﹣1）=−34（x+32）2+7516，
∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），
对称轴为直线x=−32；
（2）如图所示：
过N作NQ⊥x轴于点Q，
由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，
∵∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠QBN，
又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，
∴OQ＝1+3＝4，
∴N（4，1）；
（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
∴k+b=04k+b=1，
解得：k=13b=−13，
∴直线NB的解析式为：y=13x−13，
当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB=32+12=10，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛物线的交点．
解方程组：y=13x−13y=−34x2−94x+3，
解得：x1=1y1=0或x2=−409y2=−4927，
∴当P的坐标为（1，0）或（−409，−4927）时，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为10．
【变式5-1】（2023•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9．
（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；
（2）当m＝﹣3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N．
①若点P是x轴上的动点，求PN﹣PM的最大值及对应的点P的坐标；
②设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据二次函数解析式化为y＝x2+x+m（x+4）+9，当x＝﹣4时，y与m无关，将x＝﹣4代入取出y的值即可．
（2）①当m＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；当点P，M，N三点在一条直线上时，|PM﹣PN|取得最大值，求得直线MN的解析式，再求得点P的坐标，利用勾股定理即可求解；
②分两种情况，利用全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的特征，即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+（m+1）x+4m+9＝x2+x+m（x+4）+9，
∴当x＝﹣4时，m（x+4）＝0，
∴y＝（﹣4）2+（﹣4）+0+9＝21，
∴对于任意m，二次函数都会经过一个定点（﹣4，21）．
（2）①当m＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），
∴|PN﹣PM|≤MN，
∴当点P，M，N三点在一条直线上时，|PN﹣PM|取得最大值；
如图，连接MN并延长，交x轴于点P，
∵M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），
∴直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴P（﹣3，0），MN=2，
∴|PN﹣PM|的最大值为2，且此时P（﹣3，0）．
②设点H为（t，﹣t﹣3），
∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，
当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且Q在x轴上方时，过点Q作QF⊥y轴于点F，过点H作HE∥y轴交直线QF于点E，如图：
设QF＝m，OF＝n，
∴Q（﹣m，n），
∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，即∠OQH＝90°，OQ＝QH，
∴∠EQH+∠FQO＝90°，∠FOQ+∠FQO＝90°，
∴∠EQH＝∠FOQ，
∴△EQH≌△FOQ（AAS），
∴EQ＝OF＝n，EH＝QF＝m，
∴点H的坐标为（﹣m﹣n，n﹣m），
∵点H在直线MN上，
∴n﹣m＝m+n﹣3，
解得m=32．
当x=−32时，y＝（−32）2﹣2×（−32）﹣3=94，
∴Q（−32，94）．
当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且点Q在x轴下方时，过点Q作QD⊥x轴点D，过点H作HC∥x轴交直线QD于点C，如图：
设QF＝p，OF＝q，
∴Q（p，﹣q），
同理可得，△CQH≌△DOQ（AAS），
∴CQ＝OD＝p，CH＝QD＝q，
∴点H的坐标为（p﹣q，﹣p﹣q），
∵点H在直线MN上，
∴﹣p﹣q＝﹣p+q﹣3，
解得q=32．
∴Q（2−102，−32）或（2+102，−32）；
综上，点Q的坐标为（−32，94）或（2−102，−32）或（2+102，−32）．
【变式5-2】（2023•建华区二模）综合与实践
如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t＞0）交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；
（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为： （12，−34） ；
（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；
（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据正方形的性质可求得：C（0，﹣1），D（1，﹣1），再运用待定系数法即可求得答案；
（2）连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，则此时AG+CG最小，运用待定系数法求得直线AD的解析式为y=−12x−12，即可求得点G的坐标；
（3）分两种情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC≌△FPB，分别建立方程求解即可；
（4）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），分三种情况：①当OM、AN为对角线时，如图1，②当AM、ON为对角线时，如图2，③当OA、MN为对角线时，如图3，分别画出图形，根据菱形性质建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵E（1，0），
∴OE＝1，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OC＝CD＝CE＝OE＝1，∠CDE＝∠DEO＝∠OCD＝90°，
∴C（0，﹣1），D（1，﹣1），
∵抛物线y=12x2+bx+c经过点C（0，﹣1），点D（1，﹣1），
∴c=−112+b+c=−1，
解得：c=−1b=−12，
∴抛物线解析式为：y=12x2−12x﹣1，
∵抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），
∴令y＝0，即有12x2−12x﹣1＝0，
整理得：（x+1）（x﹣2）＝0，．
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（2，0）；
（2）G点坐标为：（12，−34），理由如下：
∵抛物线y=12x2−12x﹣1经过C（0，﹣1），D（1，﹣1），
∴C、D关于抛物线的对称轴：直线x=12对称，
连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，
则此时AG+CG最小，
∵C、D关于抛物线的对称轴：直线x=12对称，
∴CG＝DG，
∴AG+CG＝AG+DG＝AD（两点之间，线段最短）
∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），
∴直线AD的解析式为y=−12x−12，
∵连接AD交抛物线的对称轴：直线x=12于点G，
∴当x=12时，y=−12×12−12=−34，
∴G（12，−34）；
故答案为：（12，−34）；
（3）符合条件的点P的坐标为（4，1）或（3，2），理由如下：
∵由（1）知C（0，﹣1），B（2，0），x轴⊥y轴（即OC⊥AB），
∴OC＝1，OB＝2，∠BOC＝90°，
∴BC=5，
∵在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，
∴OF＝t，PF⊥x轴
∴BF＝OF﹣OB＝t﹣2，
分两种情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC≌△FPB，
∴BP＝BC=5，FP＝OC＝1，BF＝OB＝2或BP＝BC=5，FP＝OB＝2，BF＝OC＝1，
∴t﹣2＝2或t﹣2＝1，
∴t＝4或t＝3，
∴P（4，1）或（3，2）；
（4）存在符合条件的点M和N，点N坐标为（﹣1，﹣1）或（−12，12）或（12，−123），理由如下：
设直线AC的解析式为y＝kx+d，把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入，
得：−k+d=0d=−1，
解得：k=−1d=−1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，
∵点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，
∴设M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），
①当OM、AN为对角线时，如图1，
∵四边形OAMN是菱形，
∴AM＝MN＝OA＝1，MN∥OA，
∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝1，
解得：m＝﹣1+22或m＝﹣1−22（不符合题意，舍去），
∴M（﹣1+22，−22），
∴N（22，−22）；
②当AM、ON为对角线时，如图2，
∵四边形OAMN是菱形，
∴AN＝MN＝OA＝OM＝1，MN∥OA，AN∥OM，
∴m2+（﹣m﹣1）2＝1，
解得：m＝0或m＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴M（0，﹣1），
∴N（﹣1，﹣1）；
③当OA、MN为对角线时，如图3，
∵四边形OAMN是菱形，
∴MN⊥OA，AM＝OM，MN与OA互相垂直平分，即M与N关于x轴对称，
∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝m2+（﹣m﹣1）2，
解得：m=−12，
∴M（−12，−12），
∴N（−12，12）；
综上所述，点N的坐标为（22，−22）或（﹣1，﹣1）或（−12，12）．
【变式5-3】（2023•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．
①当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；
②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值．
分析：（1）由题意可得y＝a（x﹣3）2﹣6，再将（0，0）代入求出a的值即可求函数的解析式；
（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，则OE＝|m|，AF＝|6+m|，由题意可知直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，求出OM=22|m|，AN=22|6+m|，再由|m|：|6+m|＝1：3，求出m的值即可；
②设P（t，23t2﹣4t），过P作PE∥y轴交AB于点E，过P作PF⊥BQ交于F，求出直线AB的解析式后可求E（t，﹣t+6），则PE=−23t2+3t+6，由直线AB与直线PQ的解析式，能确定两直线互相垂直，可求CQ=22BQ，CP=22PE，则PC+CQ=−223（t﹣3）2+92，即可求PC+CQ的最大值．
【解答】解：（1）∵OA＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，
∵顶点与x轴的距离是6，
∴顶点为（3，﹣6），
∴y＝a（x﹣3）2﹣6，
∵抛物线经过原点，
∴9a﹣6＝0，
∴a=23，
∴y=23（x﹣3）2﹣6；
（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，
∴E（0，m），F（﹣m，0），
∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，
∵直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，
∴OM=22|m|，AN=22|6+m|，
∵S△POQ：S△PAQ＝1：3，
∴OM：AN＝1：3，
∴|m|：|6+m|＝1：3，
解得m=−32或m＝3；
②设P（t，23t2﹣4t），
过P作PE∥y轴交AB于点E，过P作PF⊥BQ交于F，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴6k+b=03k+b=3，
解得k=−1b=6，
∴y＝﹣x+6，
∴E（t，﹣t+6），
∴PE＝﹣t+6﹣（23t2﹣4t）=−23t2+3t+6，
设直线AB与y轴交点为G，
令x＝0，则y＝6，
∴G（0，6），
∴OG＝OA＝6，
∴∠OGA＝45°，
设直线PQ与x轴交点为K，与y轴交点为L，
直线PQ的解析式为y＝x+m，令x＝0，则y＝m
∴L（0，m），
令y＝0，则x＝﹣m，
∴K（﹣m，0），
∴OL＝OK，
∴∠OLK＝45°，
∴∠GCL＝90°，
∴PF＝FQ＝3﹣t，
设BF与x轴交点为H，
∴FH=−23t2+4t，
∴HQ=−23t2+4t﹣3+t=−23t2+5t﹣3，
∴BQ＝3−23t2+5t﹣3=−23t2+5t，
∴CQ=22BQ=22（−23t2+5t），
∵CP=22PE=22（−23t2+3t+6），
∴PC+CQ=22（−23t2+3t+6）+22（−23t2+5t）=22（−43t2+8t+6）=−223（t﹣3）2+92，
当t＝3时，PC+CQ的最大值为92．
【题型6 二次函数中求周长最值】
【例6】（2023•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点B、C坐标；
（2）利用待定系数法可求出一次函数解析式，由A、B关于对称轴对称，则BE与抛物线对称轴交点，即为△AEP的周长最小时，点P的坐标；
（3）由MN∥CD可知MN为平行四边形的边，设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，−12m2−m+4），利用MN＝CD，可得到关于m的方程，从而求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝ax2+2ax+4上，
∴0＝16a﹣8a+4，
∴a=−12，
∴y=−12x2−x+4．
令y＝0，得−12x2−x+4=0
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；
（2）如图，
由y=−12x2−x+4，
可得对称轴为：x=−−12×(−12)=−1，
∵△AEP的边AE是定长，
∴当PE+PA的值最小时，△AEP的周长最小．
点A关于x＝﹣1的对称点为点B，
∴当点P是BE与直线x＝﹣1的交点时，PE+PA的值最小．
∵直线BE经过点B（2，0），D（0，2），
∴0=2k+b2=b，解得k=−1b=2，
∴直线BE：y＝﹣x+2，
令x＝﹣1，得y＝3，
∴当△AEP的周长最小时，点P的坐标为（﹣1，3）；
（3）存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
∵MN∥CD，
∴要使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD即可，
∵CD＝4﹣2＝2，
∴MN＝CD＝2，
∵点M在直线y＝﹣x+2上，
∴可设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，−12m2−m+4），
∴|−m+2+12m2+m−4|=2，
即|12m2−2|=2，
当12m2−2=2时，
解得m=±22，
此时点M的坐标为：（22，2−22）或（−22，2+22），
当12m2−2=−2时，
解得m＝0（舍去），
综上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：（22，2−22）或（−22，2+22）．
【变式6-1】（2023•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）把A（﹣1.0），B（3.0）两点代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为x＝1，结合A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，再求AC的解析式即可得到答案；
（3）分三种情况讨论，再利用中点坐标公式列方程，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴a−b−3=09a+3b−3=0，
解得：a=1b=−2，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，
此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，
此时△BPC的周长最短，
∵点C的横坐标是2，
yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∴2m+n=−3−m+n=0，
解得：m=−1n=−1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），
①当AB为对角线时，
则−1+3=2+x0+0=−3+y，
解得：x=0y=3，
∴E（0，3）；
②当AC为对角线时，
则−1+2=3+x0−3=0+y，
解得：x=−2y=−3，
∴E（﹣2，﹣3）；
③当BC为对角线时，
则3+2=−1+x0−3=0+y，
解得：x=9y=−3，
∴E（6，﹣3）．
综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．
【变式6-2】（2023•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
（3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．
分析：（1）利用特定系数解答，即可求解；
（2）先求出直线AB的表达式为y＝x﹣1，可得△PCD是等直角三角形，从而得到△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（2+1）PC，设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），利用二次函数的性质，即可求解；
（3）分三种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：c=−152+5b+c=4，
解得：b=−4c=−1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+a（k≠0），
∵A（0，﹣1），B（5，4），
∴a=−15k+a=4，
解得：a=−1k=1，
∴直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
设直线AB交x轴于点M，
当y＝0时，x＝1，
∵OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∵CP∥y轴，
∴∠DCP＝∠OAB＝45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，
∴PC=CD2+DP2=2CD，即CD＝PD=22PC，
∴△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（2+1）PC，
设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），
∴（2+1）PC＝（2+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（2+1）[（x−52）2−254]，
∵﹣（2+1）＜0，
∴当x=52时，△PCD周长取得最大值，最大值为254（2+1），
此时点P的坐标为（52，−194）；
（3）如图，过点A作P1A⊥y轴，交抛物线于点P1，
∵CP1∥y轴，
∴∠ACP1＝45°，
∴△ACP1是等腰直角三角形，
∴点A （0，﹣1），
∴点P1的纵坐标为﹣1，
当y＝﹣1时，﹣1＝x2﹣4x﹣1，
解得：x1＝4，x2＝0（舍去），
此时点P1（4，﹣1）；
如图，当P2A⊥AB时，
∵CP2∥y轴，
∴∠ACP2＝45°，
∴△ACP2是等腰直角三角形，点C，P2关于直线AP1对称，
设点P2（m，m2﹣4m﹣1），则点C（m，m﹣1），
∴12[（m2﹣4m﹣1）+（m﹣）]＝﹣1，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
此时点P2（3，﹣4）；
如图，若AC＝CP3，作CE⊥y轴于点E．
∵∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，即AE＝CE，
∴P3C＝AC=AE2+CE2=2CE，
设点P3（m，m2﹣4m﹣1），
则点C（m，m﹣1），
∴（m﹣1）﹣（m2﹣4m﹣1）=2m，
解得：m1＝5−2，m2＝0（舍去），
∴此时点p3（5−2，6﹣62）；
综上所述，点P的坐标为（4，﹣1）或（3，﹣4）或（5−2，6﹣62）．
【变式6-3】（2023•黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），直线l：y=−12x−4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．
分析：（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）①如图1，连接BP，先求得B（﹣10，0），设P（m，15m2+85m﹣4），可得S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m+5）2+45，利用二次函数性质即可求得答案；
②由①可得：P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），可得OE＝BE＝5，故点B与点O关于直线PE对称，连接BC交PE于点Q，则QO＝QB，可得QO+QC＝QB+QC＝BC，此时QO+QC最小，即△QOC的周长最小，运用勾股定理可得BC＝229，即可得出△QOC的周长的最小值为：BC+OC＝229+4；运用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−25x﹣4，进而可得Q（﹣5，﹣2），F（﹣5，−32），即可求得FQ的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+85x+c经过A（2，0）、C（0，﹣4），
∴4a+165+c=0c=−4，
解得：a=15c=−4，
∴该抛物线的表达式为y=15x2+85x﹣4；
（2）①如图1，连接BP，
∵抛物线y=15x2+85x﹣4，令y＝0，得15x2+85x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣10，x2＝2，
∴B（﹣10，0），
设P（m，15m2+85m﹣4），
∵PE⊥x轴，
∴E（m，0），
∴OE＝﹣m，BE＝m+10，PE＝﹣（15m2+85m﹣4）=−15m2−85m+4，
∴S＝S△PBE+S梯形OCPE=12×（m+10）×（−15m2−85m+4）+12×（−15m2−85m+4+4）×（﹣m）＝﹣m2﹣10m+20，
∵S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m+5）2+45，
∴当m＝﹣5时，S的最大值为45；
②由①得：当m＝﹣5时，S的最大值为45，
∴P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），
∴OE＝BE＝5，
∵PE⊥x轴，
∴直线PE是线段OB的垂直平分线，
∴点B与点O关于直线PE对称，
连接BC交PE于点Q，则QO＝QB，
∴QO+QC＝QB+QC＝BC，此时QO+QC最小，即△QOC的周长最小，
在Rt△BCO中，BC=OB2+OC2=102+42=229，
∴△QOC的周长的最小值为：BC+OC＝229+4，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣10，0），C（0，﹣4）代入，得−10k+b=0b=−4，
解得：k=−25b=−4，
∴直线BC的解析式为y=−25x﹣4，
当x＝﹣5时，y=−25×（﹣5）﹣4＝﹣2，
∴Q（﹣5，﹣2）；
∵直线l的解析式为y=−12x﹣4，
∴当x＝﹣5时，y=−12×（﹣5）﹣4=−32，
∴F（﹣5，−32），
∴FQ=−32−（﹣2）=12，
故△QOC周长的最小值为229+4，FQ的长为12．
【题型7 二次函数中求面积最值】
【例7】（2023•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D．
①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；
②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．
分析：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，可求A点坐标；
（2）①联立方程组y=−x2+2x+3y=kx+k，求出D点坐标，求出直线BC的解析式，联立方程组y=kx+ky=−x+3，求出E点坐标，过D点作DG∥y轴交BC于点G，则可知G（3﹣k，k），求出DG＝3k﹣k2，可求S△EBD﹣S△CEF＝﹣2（k−158）2+8132，由此可求S△EBD﹣S△CEF的最大值；
②设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），联立方程组y=ax2−2ax−3ay=ax+a，求出点D（4，5a），分三种情况讨论：①当AP为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ2，（1，−2677）；②当AD为矩形对角线时，DA2＝DQ2+AQ2，P（1，﹣4）；③当AQ为矩形对角线时，AQ2＝AD2+DQ2，此时a无解．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）①∵a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
联立方程组y=−x2+2x+3y=kx+k，
整理得，x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0，
解得k＝﹣1或k＝3﹣k，
∴D（3﹣k，4k﹣k2），
设直线BC的解析式为y＝k'x+b，
∴3k'+b=0b=3，
解得b=3k'=−1，
∴y＝﹣x+3，
过D点作DG∥y轴交BC于点G，
∴G（3﹣k，k），
∴DG＝3k﹣k2，
联立方程组y=kx+ky=−x+3，
解得x=3−k1+ky=4k1+k，
∴E（3−k1+k，4k1+k），
在y＝kx+k中，x＝0时，y＝k，
∴F（0，k），
∴S△BDE=12×（3−3−k1+k）×（3k﹣k2），S△CEF=12×（3﹣k）×3−k1+k，
∴S△EBD﹣S△CEF=12×（3−3−k1+k）×（3k﹣k2）−12×（3﹣k）×3−k1+k=12（3﹣k）（4k﹣3）＝﹣2（k−158）2+8132，
∴当k=158时，S△EBD﹣S△CEF的最大值为8132；
②以A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），
∵k＝a，
∴y＝ax﹣a，
联立方程组y=ax2−2ax−3ay=ax+a，
解得x=4y=5a或x=−1y=0（舍），
∴D（4，5a），
①当AP为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ2，
∴4+m＝0，t＝am2﹣2am+2a，
∴m＝﹣4，
∴Q（﹣4，21a），
∴64+（16a）2＝25+25a2+9+（21a）2，
解得a=±77，
∵a＜0，
∴a=−77，
∴t=−2677，
∴P（1，−2677）；
②当AD为矩形对角线时，DA2＝DQ2+AQ2，
∴1+m＝3，5a＝t+am2﹣2am﹣3a，
∴m＝2，
∴Q（2，﹣3a），
∴25+25a2＝9+9a2+4+64a2，
解得a=±12，
∵a＜0，
∴a=−12，
∴t＝﹣4，
∴P（1，﹣4）；
③当AQ为矩形对角线时，AQ2＝AD2+DQ2，
∴m﹣1＝5，t+5a＝am2﹣2am﹣3a，
∴m＝6，
∴Q（6，21a），
∴49+（21a）2＝25+25a2+4+（16a）2，
此时a无解；
综上所述：P点坐标为（1，−2677）或（1，﹣4）．
【变式7-1】（2023•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．
（1）求证OC=12OE；
（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=−12时，求△CMN的周长的最小值；
（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
分析：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点代入抛物线关系式，用a表示出b，c，用a表示出点C，点D的坐标，求出直线BD的关系式，即可表示出E点坐标，用a表示出OC．OE，即可得出结论；
（2）当a=−12时，抛物线为y=−12x2+x+32，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点C″，连接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，求出点C′的坐标，根据△CMN周长的最小值为CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″，算出最小值即可；
（3）过Q作QK⊥x轴，交BC于点K，设点Q的横坐标为x，用x表示出QK，再将四边形分成两个三角形，用x表示出两个三角形的面积，可求出当x取32时，S四边形ABQC有最大值，对比D点的横坐标，说明小林猜想错误．
【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴a−b+c=09a+3b+c=0，
解得b=−2ac=−3a，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴C（0，﹣3a），D（1，﹣4a），
设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，把B、D两点的坐标分别代入得：
3k1+b1=0k1+b1=−4a，解得k1=2ab1=−6a，
直线BD为y＝2ax﹣6a，
∴E（0，﹣6a），
∴OC＝3a，OE＝6a，
∴OC=12OE；
（2）解：当a=−12时，抛物线为y=−12x2+x+32，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点C″，连接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，如图所示：
此时C（0，32），直线BE为y＝﹣x+3，点E（0，3），
∵OB＝3，
∴OB＝OE＝3，
∵∠BOE＝90°，
∴∠OEB＝∠OBE＝45°，
∵CC′⊥BE，
∴∠CEB＝∠ECC′＝45°，
∵BE垂直平分CC′，
∴CE＝C′E＝3−32=32．CN＝C′N，
∴∠CEB＝∠C′EB＝45°，
∴∠CEC′＝90°，
∴CE⊥y轴，
∴点C′（32，3），
∵C关于x轴的对称点C″为（0，−32），
∴CM＝C″M，
∴△CMN周长的最小值为：
CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″=(32)2+(3+32)2=3102；
（3）解：小林猜想不正确，理由如下：
过Q作QK⊥x轴，交BC于点K，
∵B（3，0），C（0，﹣3a），
∴直线BC为y＝ax﹣3a，
设点Q的横坐标为x，则Q（x，ax2﹣2ax﹣3a），K（x，ax﹣3a），
∴QK＝ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax﹣3a）＝ax2﹣3ax，
∴S四边形ABQC＝S△ABC+S△BQC=12×4×（﹣3a）+12（ax2﹣3ax）×3=32a（x−32）2−27a8−6a，
∵a＜0，
∴当点Q的横坐标为x=32时，S四边形ABQC有最大值，
∵点D的横坐标是1，
∴四边形ABQC的面积取得最大值时，点Q与点D不重合，小林猜想不正确．
【变式7-2】（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−38x2+34x+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，当四边形PACB面积最大时，S△BPQS△OAQ= 14 ．
分析：先求出A，B坐标，在用待定系数法求出抛物线解析式，再判断当四边形PACB面积最大时点P的坐标（2，3），得到直线PB∥OA；，再求出点Q的坐标，然后用三角形的面积即可得出结论．
【解答】解：对于y=−34x+3，
令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4，
故点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），
∵抛物线y=−38x2+34x+c经过B点，
∴c＝3，
抛物线的表达式为y=−38x2+34x+3，
令y＝0，则−38x2+34x+3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴C（﹣2，0），
∵S四边形PACB＝S△PAB+S△ACB，S△ABC为定值，
∴当SPAB最大时，四边形PACB面积最大，
∴平移直线AB至和抛物线相切时，切点即为点P，此时SPAB最大，
∴设平行于直线AB且和抛物线相切的直线为y=−34x+b，
联立方程组得y=−38x2+34x+3y=−34x+b，
化简得：−38x2+32x+3﹣b＝0①，
∴Δ＝（32）2﹣4×（−38）×（3﹣b）＝0，
解得：b=92，
把b=92代入①得并化简得：x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∴y＝3，
∴P（2，3），
∵B（0，3），
∴PB∥OA，
设直线OP的表达式为：y＝kx，将点P坐标代入上式并解得：k=32，
则直线OP的表达式为：y=32x，
联立方程组y=32xy=−34x+3，
解得：x=43，y＝2，
即点Q（43，2），
故yQ＝2，则△BPQ的高为3﹣2＝1，
∴S△PBQS△OAQ=12BP×112OA×2=24×2=14．
故答案为：14．
【变式7-3】（2023•大庆三模）如图，已知抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝CD．
（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；
（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标及△GDF面积的最大值；
分析：（1）先根据点C的坐标，确定c的值，根据抛物线的对称轴为x＝2．得出b的值，即可得出抛物线的解析式；根据OC＝CD，得出点D的坐标，利用待定系数法即可得直线DE的函数解析式；
（2）过点G作GQ∥y轴，交DE于点Q，联立y=14x2−x+2y=−4x+4，求出点F的横坐标，设点G（t，14t2﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），GQ=−14t2+2，即可表示出S△GDF=−24t2+22．求出结果即可；
【解答】解：（1）∵抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），
∴c＝2，
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴−b2×14=2，
∴b＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y=14x2﹣x+2，
∵OC＝CD，
∴D（0，4），
又∵直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），
∴4m+n=0n=4，
∴m=−1n=4，
∴直线DE的函数表达式为y＝﹣x+4；
（2）过点G作GQ∥y轴，交DE于点Q，如图所示：
联立y=14x2−x+2y=−4x+4，
解得x1＝22，x2＝﹣22，
∴点F的横坐标为22，
设点G（t，14t2﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），
GQ＝﹣t+4﹣（14t2﹣t+2）=−14t2+2，
∴S△GDF＝S△GQF﹣S△GQD
=12×（−14t2+2）（22−t）−12×（−14t2+2）（﹣t），
==12×（−14t2+2）×22
=−24t2+22．
∴当x＝0时，即点G的坐标为（0，2）时，△GDF面积有最大值为22
【题型8 二次函数在新定义中求最值】
【例8】（2023•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−2，−2），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
分析：（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；
（2）将点（52，52）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．
【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，
∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵点（52，52）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，
∴52=254a+15+c，
∴c=−254a−252，
∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
∴a＝﹣1，c=−254；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
【变式8-1】（2023•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 18 ，面积为 18 ；
②若m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
（2）若点P在直线y＝﹣2x+5上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
分析：（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，
②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；
（2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，
②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+5，可得x分别为﹣1，5，点P的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；
（3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．
【解答】解：（1）①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3＝18，
面积为3×6＝18；
故答案为：18，18．
②∵M（4，1），N（﹣2，3），
∴|xM﹣xN|＝6，|yM﹣yN|＝2．
又∵m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．
∴此矩形的邻边长分别为6，4．
∴n＝﹣1或5．
（2）如图，
①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；
分别将y＝3，y＝1代入y＝﹣2x+5，可得x分别为1，2；
结合图象可知：1≤m≤2；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，
分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+5，可得x分别为﹣1，4；
∴点P的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；
（3）如图，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，经过点（﹣1，1），（1，1），（3，3），
∴a−b+c=1a+b+c=19a+3b+c=3，
a=14b=0c=34，
∴y=14x2+34，
同理抛物线经过点（﹣1，3），（1，3），（3，1），可求得抛物线的解析式为y=−14x2+134，
∴抛物线的解析式y=14x2+34或y=−14x2+134．
【变式8-2】（2023•碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
问题发现：
（1）如图1，筝形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，若AC+BD＝12，求筝形ABCD的面积的最大值；
问题解决：
（2）如图2是一块矩形铁片ABCD，其中AB＝60厘米，BC＝90厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH，要求点E是AB边的中点，点F、G、H分别在BC、CD、AD上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFGH的面积最大值，若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意可得，S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC=12•AC•DE+12•AC•BE=12•AC•BD，因为AC+BD＝12，所以BD＝12AC，代入面积，利用二次函数的性质可求出最大值；
（2）由（1）的分析可知，当点G与点C重合时，作EG的垂直平分线，分别与AD，BC交于点H，F，此时筝形EFGH的面积最大，利用勾股定理分别求出DH和FG的长，再利用面积的和差得出结论．
【解答】解：（1）∵AD＝CD，AB＝CB，
∴BD为线段AC的垂直平分线，
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC
=12•AC•DE+12•AC•BE
=12•AC•BD，
∵AC+BD＝12，
∴S四边形ABCD=12•AC•（12﹣AC）=−12（AC﹣6）2+18，
∴当AC＝6时，S四边形ABCD的最大值为18．
（2）存在，如图，由（1）的分析可知，当点G与点C重合时，作EG的垂直平分线，分别与AD，BC交于点H，F，此时筝形EFGH的面积最大，
设DH＝m，则AH＝60﹣m，
根据勾股定理可知，EH2＝AH2+AE2＝（60﹣m）2+302，EG2＝m2+602，
∵EH＝HG，
∴（60﹣m）2+302＝m2+602，
解得m＝30．
设FG＝n，则EF＝n，BF＝60﹣n，
由勾股定理可得，EF2＝BE2+BF2，即n2＝（60﹣n）2+302，
解得n＝50，
∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣S△BEF﹣S△AEH﹣S△DCH
＝60×30−12×30×40−12×30×60−12×30×60
＝3000，
综上，存在，当BF＝40，AH＝60时，筝形EFGH的面积最大值为3000平方厘米．
【变式8-3】（2023春•崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）．
（1）若A为（3，﹣2），O为坐标原点，则d（O，A）＝ 5 ；
（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（3）若M（1，1），点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”．
分析：（1）由A与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象即可；
（3）由条件可得到|x﹣2|+|x﹣1|，分情况去掉绝对值号，根据二次函数的性质进行讨论即可．
【解答】解：（1）d（O，A）＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5；
故答案为：5；
（2）∵O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，
∴|0﹣x|+|0﹣y|＝|x|+|y|＝2，
所有符合条件的点P组成的图形如图所示；
（3）∵点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，
设N（x，x2﹣1），
∵M（1，1），
则d（M，N）＝|x﹣1|+|x2﹣1﹣1|＝|x﹣1|+|x2﹣2|，
①当x≥2时，d（M，N）＝x﹣1+x2﹣2＝x2+x﹣3＝（x+12）2−134，
x=2时，d（M，N）的最小“转角距离”为2−1；
②当1≤x≤2时，d（M，N）＝x﹣1+2﹣x2＝﹣x2+x+1＝﹣（x−12）2+54，
x=2时，d（M，N）的最小“转角距离”为2−1；
③当−2≤x≤1时，d（M，N）＝1﹣x+2﹣x2＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+12）2+134，
x＝1时，d（M，N）的最小“转角距离”为1；
④当x≤−2时，d（M，N）＝1﹣x+x2﹣2＝x2﹣x﹣1＝（x−12）2−54，
x=−2时，d（M，N）的最小“转角距离”为2+1；
综上可知，d（M，N）的最小“转角距离”为2−1．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3821" 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 PAGEREF _Tc3821 \h 2
\l "_Tc21404" 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 PAGEREF _Tc21404 \h 4
\l "_Tc11598" 【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 PAGEREF _Tc11598 \h 6
\l "_Tc27180" 【题型4 二次函数中求线段最值】 PAGEREF _Tc27180 \h 10
\l "_Tc21027" 【题型5 二次函数中求线段和差最值】 PAGEREF _Tc21027 \h 18
\l "_Tc2359" 【题型6 二次函数中求周长最值】 PAGEREF _Tc2359 \h 32
\l "_Tc30470" 【题型7 二次函数中求面积最值】 PAGEREF _Tc30470 \h 42
\l "_Tc5290" 【题型8 二次函数在新定义中求最值】 PAGEREF _Tc5290 \h 52
【知识点1 二次函数的最值】
1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．
（2）若，如图②，当，；当，．
（3）若，如图③，当，；当，．
（4）若，，如图④，当，；当，．
2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．
【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】
【例1】（2023秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为 （用含m的式子表示）．
【变式1-1】（2023秋•河西区期末）当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（ ）
A．最大值﹣3B．最小值﹣3C．最大值﹣4D．最小值﹣4
【变式1-2】（2023秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4．
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【变式1-3】（2023•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．
（1）求b+c的值．
（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．
（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．
【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】
【例2】（2023•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（ ）
A．±16B．−16或12C．−16或23D．16或2
【变式2-1】（2023秋•龙口市期末）已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1时，y的最大值为10，则a的值为 ．
【变式2-2】（2023•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（ ）
A．3B．9C．293D．253
【变式2-3】（2023•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6B．2C．﹣2D．﹣3
【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】
【例3】（2023•宁阳县一模）当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤2B．0≤m＜4C．2≤m≤4D．m≥2
【变式3-1】（2023•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）．
【变式3-2】（2023•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，求t的值；
（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围．
【变式3-3】（2023•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点（2，c）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．
（2）当t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t的值．
【题型4 二次函数中求线段最值】
【例4】（2023•黔东南州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；
（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】（2023•太原一模）综合与实践
如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）求线段DE的最大值；
（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．
【变式4-2】（2023•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限，连接AM，BM．当线段PM最长时，求△ABM的面积；
（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2023春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式；
（1）过点P作PE⊥AC于点E，求22PE的最大值及此时点P的坐标；
（2）将抛物线y＝ax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【题型5 二次函数中求线段和差最值】
【例5】（2023春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=−34x2−94x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．
【变式5-1】（2023•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9．
（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；
（2）当m＝﹣3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N．
①若点P是x轴上的动点，求PN﹣PM的最大值及对应的点P的坐标；
②设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2023•建华区二模）综合与实践
如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t＞0）交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；
（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为： ；
（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；
（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-3】（2023•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．
①当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；
②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值．
【题型6 二次函数中求周长最值】
【例6】（2023•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2023•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2023•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
（3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．
【变式6-3】（2023•黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），直线l：y=−12x−4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．
【题型7 二次函数中求面积最值】
【例7】（2023•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D．
①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；
②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．
【变式7-1】（2023•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．
（1）求证OC=12OE；
（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=−12时，求△CMN的周长的最小值；
（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
【变式7-2】（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−38x2+34x+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，当四边形PACB面积最大时，S△BPQS△OAQ= ．
【变式7-3】（2023•大庆三模）如图，已知抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝CD．
（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；
（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标及△GDF面积的最大值；
【题型8 二次函数在新定义中求最值】
【例8】（2023•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−2，−2），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
【变式8-1】（2023•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 ，面积为 ；
②若m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
（2）若点P在直线y＝﹣2x+5上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
【变式8-2】（2023•碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
问题发现：
（1）如图1，筝形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，若AC+BD＝12，求筝形ABCD的面积的最大值；
问题解决：
（2）如图2是一块矩形铁片ABCD，其中AB＝60厘米，BC＝90厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH，要求点E是AB边的中点，点F、G、H分别在BC、CD、AD上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFGH的面积最大值，若不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2023春•崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）．
（1）若A为（3，﹣2），O为坐标原点，则d（O，A）＝ ；
（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（3）若M（1，1），点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”．
专题5.9 二次函数中的最值问题【八大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3821" 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 PAGEREF _Tc3821 \h 2
\l "_Tc21404" 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 PAGEREF _Tc21404 \h 4
\l "_Tc11598" 【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 PAGEREF _Tc11598 \h 6
\l "_Tc27180" 【题型4 二次函数中求线段最值】 PAGEREF _Tc27180 \h 10
\l "_Tc21027" 【题型5 二次函数中求线段和差最值】 PAGEREF _Tc21027 \h 18
\l "_Tc2359" 【题型6 二次函数中求周长最值】 PAGEREF _Tc2359 \h 32
\l "_Tc30470" 【题型7 二次函数中求面积最值】 PAGEREF _Tc30470 \h 42
\l "_Tc5290" 【题型8 二次函数在新定义中求最值】 PAGEREF _Tc5290 \h 52
【知识点1 二次函数的最值】
1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．
（2）若，如图②，当，；当，．
（3）若，如图③，当，；当，．
（4）若，，如图④，当，；当，．
2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．
【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】
【例1】（2023秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为 15+m （用含m的式子表示）．
分析：根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当﹣3≤x≤3时，y的最大值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，该函数图象开口向上，当x＝1时，有最小值，
∴当﹣3≤x≤3时，y取得最大值时对应的x的值是﹣3，
∵当x＝﹣3时，y＝（﹣3﹣1）2﹣1+m＝15+m，
∴当﹣3≤x≤3时，y的最大值为15+m，
故答案为：15+m．
【变式1-1】（2023秋•河西区期末）当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（ ）
A．最大值﹣3B．最小值﹣3C．最大值﹣4D．最小值﹣4
分析：用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当x≥2时，函数有最小值y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
故选：B．
【变式1-2】（2023秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4．
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
分析：根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：小王的做法是错误的，
正确的做法如下：
∵二次函数y＝x2，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，
∵﹣1≤x≤2，
∴当x＝0时取得最小值，最小值是0，
当x＝2时取得最大值，此时y＝4，
由上可得，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4．
【变式1-3】（2023•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．
（1）求b+c的值．
（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．
（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．
分析：（1）由对称轴−b2=1，求出b的值，再将点（3，0）代入y＝x²+bx﹣c，即可求解析式；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝1，结合函数图像可知当x＝﹣4时，y有最大值21；
（3）设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），可求平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h−16）2−1312，即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x²+bx﹣c的对称轴为直线x＝1，
∴−b2=1，
∴b＝﹣2，
∵二次函数y＝x²+bx﹣c的图象经过点（3，0），
∴9﹣6﹣c＝0，
∴c＝3，
∴b+c＝1；
（2）由（1）可得y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵﹣4≤x≤3，
∴当x＝﹣4时，y有最大值21；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，
∴．设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，
∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1，
设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，
则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h−16）2−1312，
∴当h=16时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为−1312．
【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】
【例2】（2023•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（ ）
A．±16B．−16或12C．−16或23D．16或2
分析：由二次函数y＝mx2﹣4mx可得对称轴为x＝2，分为m＞0和m＜0两种情况，当m＞0时，二次函数开口向上，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m=12，当m＜0时，二次函数开口向下，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m=−16，即可求解．
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，
∴对称轴为x=−b2a=4m2m=2，
①当m＞0时，
∵二次函数开口向上，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，
将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m=12，
②当m＜0时，
∵二次函数开口向下，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，
将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m=−16，
综上，m的值为12或−16，
故选：B．
【变式2-1】（2023秋•龙口市期末）已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1时，y的最大值为10，则a的值为 2 ．
分析：根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x＝﹣1，所以可得0≤x≤1在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵y＝x2+2x+2a+3
＝x2+2x+1+2a+2
＝（x+1）2+2a+2，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤1时，y的最大值为10，
∴当x＝1时，y＝10，
把x＝1时，y＝10代入y＝x2+2x+2a+3中可得：
1+2+2a+3＝10，
∴a＝2，
故答案为：2．
【变式2-2】（2023•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（ ）
A．3B．9C．293D．253
分析：先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，即可得出﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，从而求得a+c＝9．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x=−−2a2a=1，
∵当x＝1时，y＝a﹣2a+c＝﹣a+c；当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c；
∴当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，
∵当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，
∴﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，
∴a+c＝9，
故选：B．
【变式2-3】（2023•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6B．2C．﹣2D．﹣3
分析：根据二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×c−b24×1=−3，−b2＞0，再根据当x≤0时，函数的最小值为﹣2，即可得到c的值，然后将c的值代入入4×1×c−b24×1=−3，即可得到b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，
∴该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×c−b24×1=−3，−b2＞0，
∴b＜0，
∵当x≤0时，函数的最小值为﹣2，
∴当x＝0时，y＝c＝﹣2，
将c＝﹣2代入4×1×c−b24×1=−3，可得b1＝2（舍去），b2＝﹣2，
故选：C．
【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】
【例3】（2023•宁阳县一模）当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤2B．0≤m＜4C．2≤m≤4D．m≥2
分析：根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，
∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，当x＝0时，y＝﹣3，
∴2≤m≤4，
故选：C．
【变式3-1】（2023•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）．
分析：分四种情况讨论：①当m+3≤﹣2时，即m≤﹣5，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；②当m+32＜−2＜m+3时，即﹣4＜m＜﹣3，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；③当m＜﹣2≤m+32时，即﹣3≤m＜﹣2，y的最小值为﹣m2﹣8m﹣7；④当m≥﹣2时，y的最小值为﹣m2﹣8m﹣7，
【解答】解：y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴对称轴为直线x＝﹣2，
当m≥﹣2时，则当x＝m+3时，y有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，
当m＜﹣2＜m+3时，即﹣5＜m＜﹣2，
当对称轴位于范围内时，谁离对称轴远，谁就小，
若m+3+2≥﹣2﹣m，即−72≤m＜﹣2时，
当x＝m+3时，y有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，
当m+3+2＜﹣2﹣m，即﹣5＜m＜−72时，
当x＝m时，y有最小值为﹣m2﹣4m+5，
当m+3+2≤﹣2时，即m≤﹣5，
y的最小值为﹣m2﹣4m+5；
综上所述：m≥−72时y的最小值为﹣m2﹣10m﹣16；当m＜−72时，y的最小值为﹣m2﹣4m+5．
【变式3-2】（2023•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，求t的值；
（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围．
分析：（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得a、b的数量关系，把抛物线解析式中的b换成a的代数式，再将抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；
（2）分x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；
（3）抛物线经过（﹣1，0）和（3，0），与线段AB有两个公共点时，结合图象即可判断出a的取值范围．
【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a得，9a+3b﹣3a＝0，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a）；
（2）∵a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴对称轴为直线：x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∵当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，
∴①当x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧时，有−2(t−2−1)2+8=6t−2＞1，
解得t＝4，
②当x＝t和x＝t﹣2在对称轴左侧时，有−2(t−1)2+8=6t＜1，
解得t＝0，
③当x＝t和x＝t﹣2在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无解，
综上，t的值为0或4；
（3））∵点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B，
∴B（3，4），
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1），
∴抛物线经过点（3，0）和（﹣1，0），
若此二次函数的图象与线段AB有两个交点，
则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间，
当抛物线经过点A时，为一种临界情况，
将A（0，4）代入，
4＝0﹣0﹣3a，
解得a＝−43，
当抛物线的顶点在线段AB上时，为一种临界情况，
此时顶点的纵坐标为4，
∴﹣4a＝4，
解得a＝﹣1，
∴−43≤a＜﹣1．
【变式3-3】（2023•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点（2，c）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．
（2）当t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t的值．
分析：（1）由抛物线经过（2，c）和（0，c），可得到抛物线的对称轴为直线x＝1，即可根据点（﹣1，0），确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；
（2）根据t≤2﹣t，确定t≤1，2﹣t≥1，求出当＝1时取得最大值4，解得N＝1，令y＝1求出值．
【解答】解：（1）∵抛物线经过（2，c）和（0，c），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴（﹣1，0）的对称点为（3，0）．
即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3.0）；
（2）∵与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴0=−1−b+c−b2×(−1)=1，
解得：b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3．
∵t≤x≤2﹣t，
∴t≤1，2﹣t≥1．
∴当t≤x≤2﹣t时，当x＝1时取得最大值4，即M＝4，当x＝t或x＝2﹣t时取得最小值N，
∵M﹣N＝3，
∴N＝1．
令y＝l得，1＝﹣t2+2t+3，解得t1=3+1（舍），t2=−3+1，
∴t=−3+1．
令y＝l得，1＝﹣（2﹣t）2+2（2﹣t）+3，解得t1=3+1（舍），t2=−3+1．
∴t=−3+1．
综上：t=−3+1．
【题型4 二次函数中求线段最值】
【例4】（2023•黔东南州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；
（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，求出AC的长即为所求；
（3）过点P作PE∥y轴交AC于E，当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大，先求直线AC的解析式，设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），则PE＝﹣（t+1）2+1，当t＝﹣1时，PE有最大值，此时P（﹣1，﹣2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
∴a+b−2=04a−2b−2=0，
解得a=1b=1，
∴y＝x2+x﹣2；
（2）∵A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴AM＝BM，
∴MB+MC≥AM+MC，
当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴AC＝22，
∴MB+MC的最小值为22；
（3）线段PQ存在最大值，理由如下：
过点P作PE∥y轴交AC于E，
当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴−2k+b=0b=−2，
解得k=−1b=−2，
∴y＝﹣x﹣2，
设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），
∴PE＝﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
∴当t＝﹣1时，PE有最大值，
此时P（﹣1，﹣2）．
【变式4-1】（2023•太原一模）综合与实践
如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）求线段DE的最大值；
（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．
分析：（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；
（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则−4k+b=0b=−8，
解得：k=−2b=−8，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；
（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），
∵点D在点E的下方，
∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；
（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），
∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，
①当∠AFC＝90°时，
∵AF2+CF2＝AC2，
∴n2+9+n2+16n+65＝80，
解得：n1＝﹣4−19，n2＝﹣4+19，
∴F（﹣1，﹣4−19）或（﹣1，﹣4+19）；
②当∠CAF＝90°时，
∵AF2+AC2＝CF2，
∴n2+9+80＝n2+16n+65，
解得：n=32，
∴F（﹣1，32）；
③当∠ACF＝90°时，
∵CF2+AC2＝AF2，
∴n2+16n+65+80＝n2+9，
解得：n=−172，
∴F（﹣1，−172）；
综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4−19）或（﹣1，﹣4+19）或（﹣1，32）或（﹣1，−172）．
【变式4-2】（2023•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限，连接AM，BM．当线段PM最长时，求△ABM的面积；
（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函数的解析式；
（2）用待定系数法求直线AB的解析式，可求出PM＝﹣（t−32）2+94，当t=32时，PM最长为94，再求△ABM的面积即可；
（3）根据题意，分两种情况讨论；①当PB为平行四边形的对角线时，此时t无解；②当PO为平行四边形的对角线时，此时P（3+212，3−212）或（3−212，3+212）．
【解答】解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设线AB的解析式为y＝kx+b，
∴b=33k+b=0，
解得k=−1b=3，
∴y＝﹣x+3，
∵P（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t−32）2+94，
当t=32时，PM最长为94，
此时S△ABM=12×3×94=278；
（3）存在点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
由（2）知，P（t，﹣t+3），M（t，﹣t2+2t+3），
①当PB为平行四边形的对角线时，
﹣t+3+3＝﹣t2+2t+3，
此时t无解；
②当PO为平行四边形的对角线时，
﹣t+3＝﹣t2+2t+3+3，
解得t=3+212或t=3−212，
∴P（3+212，3−212）或（3−212，3+212）；
综上所述：P点坐标为（3+212，3−212）或（3−212，3+212）．
【变式4-3】（2023春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式；
（1）过点P作PE⊥AC于点E，求22PE的最大值及此时点P的坐标；
（2）将抛物线y＝ax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
分析：（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，可得直线AC的解析式，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），应用二次函数最值可得线段PD的最大值，证明△PDE是等腰直角三角形，可得出2PE＝PD，即可求得答案；
（2）分两种情况：①若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，此时N1A＝N2A＝CM；②若CM不平行于x轴，如图所示，根据平行四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，
∴16a+4b+4=0a+b+4=0，
解得：a=−1b=−3，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4，
∵二次函数y＝﹣x2﹣3x+4与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+4，
∵直线AC经过点A（﹣4，0），
∴0＝﹣4k+4，
解得：k＝1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，
设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），
∴PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x＝＝﹣（x+2）2+4，
∴当x＝﹣2时，PD最大，最大值是4．
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠ADF＝∠PDE＝45°，
∵PE⊥AC，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴2PE＝PD，
∴22PE=12PD，
∴22PE的最大值为12PD=12×4＝2，此时点P的坐标为（﹣2，6）；
（2）由平移可求得平移后函数解析式为y'＝﹣（x+4﹣4）（x﹣1﹣4）＝﹣x2+5x，对称轴为x=52，
分两种情况：
①若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，
此时N1A＝N2A＝CM=52，
∵A（﹣4，0），
∴点N的坐标为（−32，0）或（−132，0）；
②若CM不平行于x轴，如图，
设M（52，m），N（n，0），
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴﹣4+n＝0+52，
∴n=132，
∴点N的坐标为（132，0）；
综上，点N的坐标为（−32，0）或（−132，0）或（132，0）．
【题型5 二次函数中求线段和差最值】
【例5】（2023春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=−34x2−94x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．
分析：（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与x轴交点，令x＝0代入可以得到与y轴的交点，把解析式配方后可得对称轴；
（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的坐标；
（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标．
【解答】解：（1）∵y=−34x2−94x+3=−34（x+4）（x﹣1）=−34（x+32）2+7516，
∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），
对称轴为直线x=−32；
（2）如图所示：
过N作NQ⊥x轴于点Q，
由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，
∵∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠QBN，
又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，
∴OQ＝1+3＝4，
∴N（4，1）；
（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
∴k+b=04k+b=1，
解得：k=13b=−13，
∴直线NB的解析式为：y=13x−13，
当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB=32+12=10，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛物线的交点．
解方程组：y=13x−13y=−34x2−94x+3，
解得：x1=1y1=0或x2=−409y2=−4927，
∴当P的坐标为（1，0）或（−409，−4927）时，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为10．
【变式5-1】（2023•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9．
（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；
（2）当m＝﹣3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N．
①若点P是x轴上的动点，求PN﹣PM的最大值及对应的点P的坐标；
②设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据二次函数解析式化为y＝x2+x+m（x+4）+9，当x＝﹣4时，y与m无关，将x＝﹣4代入取出y的值即可．
（2）①当m＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；当点P，M，N三点在一条直线上时，|PM﹣PN|取得最大值，求得直线MN的解析式，再求得点P的坐标，利用勾股定理即可求解；
②分两种情况，利用全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的特征，即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+（m+1）x+4m+9＝x2+x+m（x+4）+9，
∴当x＝﹣4时，m（x+4）＝0，
∴y＝（﹣4）2+（﹣4）+0+9＝21，
∴对于任意m，二次函数都会经过一个定点（﹣4，21）．
（2）①当m＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），
∴|PN﹣PM|≤MN，
∴当点P，M，N三点在一条直线上时，|PN﹣PM|取得最大值；
如图，连接MN并延长，交x轴于点P，
∵M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），
∴直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴P（﹣3，0），MN=2，
∴|PN﹣PM|的最大值为2，且此时P（﹣3，0）．
②设点H为（t，﹣t﹣3），
∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，
当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且Q在x轴上方时，过点Q作QF⊥y轴于点F，过点H作HE∥y轴交直线QF于点E，如图：
设QF＝m，OF＝n，
∴Q（﹣m，n），
∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，即∠OQH＝90°，OQ＝QH，
∴∠EQH+∠FQO＝90°，∠FOQ+∠FQO＝90°，
∴∠EQH＝∠FOQ，
∴△EQH≌△FOQ（AAS），
∴EQ＝OF＝n，EH＝QF＝m，
∴点H的坐标为（﹣m﹣n，n﹣m），
∵点H在直线MN上，
∴n﹣m＝m+n﹣3，
解得m=32．
当x=−32时，y＝（−32）2﹣2×（−32）﹣3=94，
∴Q（−32，94）．
当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且点Q在x轴下方时，过点Q作QD⊥x轴点D，过点H作HC∥x轴交直线QD于点C，如图：
设QF＝p，OF＝q，
∴Q（p，﹣q），
同理可得，△CQH≌△DOQ（AAS），
∴CQ＝OD＝p，CH＝QD＝q，
∴点H的坐标为（p﹣q，﹣p﹣q），
∵点H在直线MN上，
∴﹣p﹣q＝﹣p+q﹣3，
解得q=32．
∴Q（2−102，−32）或（2+102，−32）；
综上，点Q的坐标为（−32，94）或（2−102，−32）或（2+102，−32）．
【变式5-2】（2023•建华区二模）综合与实践
如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t＞0）交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；
（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为： （12，−34） ；
（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；
（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据正方形的性质可求得：C（0，﹣1），D（1，﹣1），再运用待定系数法即可求得答案；
（2）连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，则此时AG+CG最小，运用待定系数法求得直线AD的解析式为y=−12x−12，即可求得点G的坐标；
（3）分两种情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC≌△FPB，分别建立方程求解即可；
（4）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），分三种情况：①当OM、AN为对角线时，如图1，②当AM、ON为对角线时，如图2，③当OA、MN为对角线时，如图3，分别画出图形，根据菱形性质建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵E（1，0），
∴OE＝1，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OC＝CD＝CE＝OE＝1，∠CDE＝∠DEO＝∠OCD＝90°，
∴C（0，﹣1），D（1，﹣1），
∵抛物线y=12x2+bx+c经过点C（0，﹣1），点D（1，﹣1），
∴c=−112+b+c=−1，
解得：c=−1b=−12，
∴抛物线解析式为：y=12x2−12x﹣1，
∵抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），
∴令y＝0，即有12x2−12x﹣1＝0，
整理得：（x+1）（x﹣2）＝0，．
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（2，0）；
（2）G点坐标为：（12，−34），理由如下：
∵抛物线y=12x2−12x﹣1经过C（0，﹣1），D（1，﹣1），
∴C、D关于抛物线的对称轴：直线x=12对称，
连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，
则此时AG+CG最小，
∵C、D关于抛物线的对称轴：直线x=12对称，
∴CG＝DG，
∴AG+CG＝AG+DG＝AD（两点之间，线段最短）
∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），
∴直线AD的解析式为y=−12x−12，
∵连接AD交抛物线的对称轴：直线x=12于点G，
∴当x=12时，y=−12×12−12=−34，
∴G（12，−34）；
故答案为：（12，−34）；
（3）符合条件的点P的坐标为（4，1）或（3，2），理由如下：
∵由（1）知C（0，﹣1），B（2，0），x轴⊥y轴（即OC⊥AB），
∴OC＝1，OB＝2，∠BOC＝90°，
∴BC=5，
∵在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，
∴OF＝t，PF⊥x轴
∴BF＝OF﹣OB＝t﹣2，
分两种情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC≌△FPB，
∴BP＝BC=5，FP＝OC＝1，BF＝OB＝2或BP＝BC=5，FP＝OB＝2，BF＝OC＝1，
∴t﹣2＝2或t﹣2＝1，
∴t＝4或t＝3，
∴P（4，1）或（3，2）；
（4）存在符合条件的点M和N，点N坐标为（﹣1，﹣1）或（−12，12）或（12，−123），理由如下：
设直线AC的解析式为y＝kx+d，把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入，
得：−k+d=0d=−1，
解得：k=−1d=−1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，
∵点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，
∴设M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），
①当OM、AN为对角线时，如图1，
∵四边形OAMN是菱形，
∴AM＝MN＝OA＝1，MN∥OA，
∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝1，
解得：m＝﹣1+22或m＝﹣1−22（不符合题意，舍去），
∴M（﹣1+22，−22），
∴N（22，−22）；
②当AM、ON为对角线时，如图2，
∵四边形OAMN是菱形，
∴AN＝MN＝OA＝OM＝1，MN∥OA，AN∥OM，
∴m2+（﹣m﹣1）2＝1，
解得：m＝0或m＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴M（0，﹣1），
∴N（﹣1，﹣1）；
③当OA、MN为对角线时，如图3，
∵四边形OAMN是菱形，
∴MN⊥OA，AM＝OM，MN与OA互相垂直平分，即M与N关于x轴对称，
∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝m2+（﹣m﹣1）2，
解得：m=−12，
∴M（−12，−12），
∴N（−12，12）；
综上所述，点N的坐标为（22，−22）或（﹣1，﹣1）或（−12，12）．
【变式5-3】（2023•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．
①当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；
②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值．
分析：（1）由题意可得y＝a（x﹣3）2﹣6，再将（0，0）代入求出a的值即可求函数的解析式；
（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，则OE＝|m|，AF＝|6+m|，由题意可知直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，求出OM=22|m|，AN=22|6+m|，再由|m|：|6+m|＝1：3，求出m的值即可；
②设P（t，23t2﹣4t），过P作PE∥y轴交AB于点E，过P作PF⊥BQ交于F，求出直线AB的解析式后可求E（t，﹣t+6），则PE=−23t2+3t+6，由直线AB与直线PQ的解析式，能确定两直线互相垂直，可求CQ=22BQ，CP=22PE，则PC+CQ=−223（t﹣3）2+92，即可求PC+CQ的最大值．
【解答】解：（1）∵OA＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，
∵顶点与x轴的距离是6，
∴顶点为（3，﹣6），
∴y＝a（x﹣3）2﹣6，
∵抛物线经过原点，
∴9a﹣6＝0，
∴a=23，
∴y=23（x﹣3）2﹣6；
（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，
∴E（0，m），F（﹣m，0），
∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，
∵直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，
∴OM=22|m|，AN=22|6+m|，
∵S△POQ：S△PAQ＝1：3，
∴OM：AN＝1：3，
∴|m|：|6+m|＝1：3，
解得m=−32或m＝3；
②设P（t，23t2﹣4t），
过P作PE∥y轴交AB于点E，过P作PF⊥BQ交于F，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴6k+b=03k+b=3，
解得k=−1b=6，
∴y＝﹣x+6，
∴E（t，﹣t+6），
∴PE＝﹣t+6﹣（23t2﹣4t）=−23t2+3t+6，
设直线AB与y轴交点为G，
令x＝0，则y＝6，
∴G（0，6），
∴OG＝OA＝6，
∴∠OGA＝45°，
设直线PQ与x轴交点为K，与y轴交点为L，
直线PQ的解析式为y＝x+m，令x＝0，则y＝m
∴L（0，m），
令y＝0，则x＝﹣m，
∴K（﹣m，0），
∴OL＝OK，
∴∠OLK＝45°，
∴∠GCL＝90°，
∴PF＝FQ＝3﹣t，
设BF与x轴交点为H，
∴FH=−23t2+4t，
∴HQ=−23t2+4t﹣3+t=−23t2+5t﹣3，
∴BQ＝3−23t2+5t﹣3=−23t2+5t，
∴CQ=22BQ=22（−23t2+5t），
∵CP=22PE=22（−23t2+3t+6），
∴PC+CQ=22（−23t2+3t+6）+22（−23t2+5t）=22（−43t2+8t+6）=−223（t﹣3）2+92，
当t＝3时，PC+CQ的最大值为92．
【题型6 二次函数中求周长最值】
【例6】（2023•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点B、C坐标；
（2）利用待定系数法可求出一次函数解析式，由A、B关于对称轴对称，则BE与抛物线对称轴交点，即为△AEP的周长最小时，点P的坐标；
（3）由MN∥CD可知MN为平行四边形的边，设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，−12m2−m+4），利用MN＝CD，可得到关于m的方程，从而求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝ax2+2ax+4上，
∴0＝16a﹣8a+4，
∴a=−12，
∴y=−12x2−x+4．
令y＝0，得−12x2−x+4=0
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；
（2）如图，
由y=−12x2−x+4，
可得对称轴为：x=−−12×(−12)=−1，
∵△AEP的边AE是定长，
∴当PE+PA的值最小时，△AEP的周长最小．
点A关于x＝﹣1的对称点为点B，
∴当点P是BE与直线x＝﹣1的交点时，PE+PA的值最小．
∵直线BE经过点B（2，0），D（0，2），
∴0=2k+b2=b，解得k=−1b=2，
∴直线BE：y＝﹣x+2，
令x＝﹣1，得y＝3，
∴当△AEP的周长最小时，点P的坐标为（﹣1，3）；
（3）存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
∵MN∥CD，
∴要使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD即可，
∵CD＝4﹣2＝2，
∴MN＝CD＝2，
∵点M在直线y＝﹣x+2上，
∴可设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，−12m2−m+4），
∴|−m+2+12m2+m−4|=2，
即|12m2−2|=2，
当12m2−2=2时，
解得m=±22，
此时点M的坐标为：（22，2−22）或（−22，2+22），
当12m2−2=−2时，
解得m＝0（舍去），
综上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：（22，2−22）或（−22，2+22）．
【变式6-1】（2023•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）把A（﹣1.0），B（3.0）两点代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为x＝1，结合A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，再求AC的解析式即可得到答案；
（3）分三种情况讨论，再利用中点坐标公式列方程，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴a−b−3=09a+3b−3=0，
解得：a=1b=−2，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，
此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，
此时△BPC的周长最短，
∵点C的横坐标是2，
yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∴2m+n=−3−m+n=0，
解得：m=−1n=−1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），
①当AB为对角线时，
则−1+3=2+x0+0=−3+y，
解得：x=0y=3，
∴E（0，3）；
②当AC为对角线时，
则−1+2=3+x0−3=0+y，
解得：x=−2y=−3，
∴E（﹣2，﹣3）；
③当BC为对角线时，
则3+2=−1+x0−3=0+y，
解得：x=9y=−3，
∴E（6，﹣3）．
综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．
【变式6-2】（2023•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
（3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．
分析：（1）利用特定系数解答，即可求解；
（2）先求出直线AB的表达式为y＝x﹣1，可得△PCD是等直角三角形，从而得到△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（2+1）PC，设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），利用二次函数的性质，即可求解；
（3）分三种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：c=−152+5b+c=4，
解得：b=−4c=−1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+a（k≠0），
∵A（0，﹣1），B（5，4），
∴a=−15k+a=4，
解得：a=−1k=1，
∴直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
设直线AB交x轴于点M，
当y＝0时，x＝1，
∵OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∵CP∥y轴，
∴∠DCP＝∠OAB＝45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，
∴PC=CD2+DP2=2CD，即CD＝PD=22PC，
∴△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（2+1）PC，
设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），
∴（2+1）PC＝（2+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（2+1）[（x−52）2−254]，
∵﹣（2+1）＜0，
∴当x=52时，△PCD周长取得最大值，最大值为254（2+1），
此时点P的坐标为（52，−194）；
（3）如图，过点A作P1A⊥y轴，交抛物线于点P1，
∵CP1∥y轴，
∴∠ACP1＝45°，
∴△ACP1是等腰直角三角形，
∴点A （0，﹣1），
∴点P1的纵坐标为﹣1，
当y＝﹣1时，﹣1＝x2﹣4x﹣1，
解得：x1＝4，x2＝0（舍去），
此时点P1（4，﹣1）；
如图，当P2A⊥AB时，
∵CP2∥y轴，
∴∠ACP2＝45°，
∴△ACP2是等腰直角三角形，点C，P2关于直线AP1对称，
设点P2（m，m2﹣4m﹣1），则点C（m，m﹣1），
∴12[（m2﹣4m﹣1）+（m﹣）]＝﹣1，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
此时点P2（3，﹣4）；
如图，若AC＝CP3，作CE⊥y轴于点E．
∵∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，即AE＝CE，
∴P3C＝AC=AE2+CE2=2CE，
设点P3（m，m2﹣4m﹣1），
则点C（m，m﹣1），
∴（m﹣1）﹣（m2﹣4m﹣1）=2m，
解得：m1＝5−2，m2＝0（舍去），
∴此时点p3（5−2，6﹣62）；
综上所述，点P的坐标为（4，﹣1）或（3，﹣4）或（5−2，6﹣62）．
【变式6-3】（2023•黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），直线l：y=−12x−4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．
分析：（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）①如图1，连接BP，先求得B（﹣10，0），设P（m，15m2+85m﹣4），可得S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m+5）2+45，利用二次函数性质即可求得答案；
②由①可得：P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），可得OE＝BE＝5，故点B与点O关于直线PE对称，连接BC交PE于点Q，则QO＝QB，可得QO+QC＝QB+QC＝BC，此时QO+QC最小，即△QOC的周长最小，运用勾股定理可得BC＝229，即可得出△QOC的周长的最小值为：BC+OC＝229+4；运用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−25x﹣4，进而可得Q（﹣5，﹣2），F（﹣5，−32），即可求得FQ的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+85x+c经过A（2，0）、C（0，﹣4），
∴4a+165+c=0c=−4，
解得：a=15c=−4，
∴该抛物线的表达式为y=15x2+85x﹣4；
（2）①如图1，连接BP，
∵抛物线y=15x2+85x﹣4，令y＝0，得15x2+85x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣10，x2＝2，
∴B（﹣10，0），
设P（m，15m2+85m﹣4），
∵PE⊥x轴，
∴E（m，0），
∴OE＝﹣m，BE＝m+10，PE＝﹣（15m2+85m﹣4）=−15m2−85m+4，
∴S＝S△PBE+S梯形OCPE=12×（m+10）×（−15m2−85m+4）+12×（−15m2−85m+4+4）×（﹣m）＝﹣m2﹣10m+20，
∵S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m+5）2+45，
∴当m＝﹣5时，S的最大值为45；
②由①得：当m＝﹣5时，S的最大值为45，
∴P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），
∴OE＝BE＝5，
∵PE⊥x轴，
∴直线PE是线段OB的垂直平分线，
∴点B与点O关于直线PE对称，
连接BC交PE于点Q，则QO＝QB，
∴QO+QC＝QB+QC＝BC，此时QO+QC最小，即△QOC的周长最小，
在Rt△BCO中，BC=OB2+OC2=102+42=229，
∴△QOC的周长的最小值为：BC+OC＝229+4，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣10，0），C（0，﹣4）代入，得−10k+b=0b=−4，
解得：k=−25b=−4，
∴直线BC的解析式为y=−25x﹣4，
当x＝﹣5时，y=−25×（﹣5）﹣4＝﹣2，
∴Q（﹣5，﹣2）；
∵直线l的解析式为y=−12x﹣4，
∴当x＝﹣5时，y=−12×（﹣5）﹣4=−32，
∴F（﹣5，−32），
∴FQ=−32−（﹣2）=12，
故△QOC周长的最小值为229+4，FQ的长为12．
【题型7 二次函数中求面积最值】
【例7】（2023•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D．
①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；
②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．
分析：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，可求A点坐标；
（2）①联立方程组y=−x2+2x+3y=kx+k，求出D点坐标，求出直线BC的解析式，联立方程组y=kx+ky=−x+3，求出E点坐标，过D点作DG∥y轴交BC于点G，则可知G（3﹣k，k），求出DG＝3k﹣k2，可求S△EBD﹣S△CEF＝﹣2（k−158）2+8132，由此可求S△EBD﹣S△CEF的最大值；
②设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），联立方程组y=ax2−2ax−3ay=ax+a，求出点D（4，5a），分三种情况讨论：①当AP为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ2，（1，−2677）；②当AD为矩形对角线时，DA2＝DQ2+AQ2，P（1，﹣4）；③当AQ为矩形对角线时，AQ2＝AD2+DQ2，此时a无解．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）①∵a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
联立方程组y=−x2+2x+3y=kx+k，
整理得，x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0，
解得k＝﹣1或k＝3﹣k，
∴D（3﹣k，4k﹣k2），
设直线BC的解析式为y＝k'x+b，
∴3k'+b=0b=3，
解得b=3k'=−1，
∴y＝﹣x+3，
过D点作DG∥y轴交BC于点G，
∴G（3﹣k，k），
∴DG＝3k﹣k2，
联立方程组y=kx+ky=−x+3，
解得x=3−k1+ky=4k1+k，
∴E（3−k1+k，4k1+k），
在y＝kx+k中，x＝0时，y＝k，
∴F（0，k），
∴S△BDE=12×（3−3−k1+k）×（3k﹣k2），S△CEF=12×（3﹣k）×3−k1+k，
∴S△EBD﹣S△CEF=12×（3−3−k1+k）×（3k﹣k2）−12×（3﹣k）×3−k1+k=12（3﹣k）（4k﹣3）＝﹣2（k−158）2+8132，
∴当k=158时，S△EBD﹣S△CEF的最大值为8132；
②以A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），
∵k＝a，
∴y＝ax﹣a，
联立方程组y=ax2−2ax−3ay=ax+a，
解得x=4y=5a或x=−1y=0（舍），
∴D（4，5a），
①当AP为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ2，
∴4+m＝0，t＝am2﹣2am+2a，
∴m＝﹣4，
∴Q（﹣4，21a），
∴64+（16a）2＝25+25a2+9+（21a）2，
解得a=±77，
∵a＜0，
∴a=−77，
∴t=−2677，
∴P（1，−2677）；
②当AD为矩形对角线时，DA2＝DQ2+AQ2，
∴1+m＝3，5a＝t+am2﹣2am﹣3a，
∴m＝2，
∴Q（2，﹣3a），
∴25+25a2＝9+9a2+4+64a2，
解得a=±12，
∵a＜0，
∴a=−12，
∴t＝﹣4，
∴P（1，﹣4）；
③当AQ为矩形对角线时，AQ2＝AD2+DQ2，
∴m﹣1＝5，t+5a＝am2﹣2am﹣3a，
∴m＝6，
∴Q（6，21a），
∴49+（21a）2＝25+25a2+4+（16a）2，
此时a无解；
综上所述：P点坐标为（1，−2677）或（1，﹣4）．
【变式7-1】（2023•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．
（1）求证OC=12OE；
（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=−12时，求△CMN的周长的最小值；
（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
分析：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点代入抛物线关系式，用a表示出b，c，用a表示出点C，点D的坐标，求出直线BD的关系式，即可表示出E点坐标，用a表示出OC．OE，即可得出结论；
（2）当a=−12时，抛物线为y=−12x2+x+32，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点C″，连接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，求出点C′的坐标，根据△CMN周长的最小值为CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″，算出最小值即可；
（3）过Q作QK⊥x轴，交BC于点K，设点Q的横坐标为x，用x表示出QK，再将四边形分成两个三角形，用x表示出两个三角形的面积，可求出当x取32时，S四边形ABQC有最大值，对比D点的横坐标，说明小林猜想错误．
【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴a−b+c=09a+3b+c=0，
解得b=−2ac=−3a，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴C（0，﹣3a），D（1，﹣4a），
设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，把B、D两点的坐标分别代入得：
3k1+b1=0k1+b1=−4a，解得k1=2ab1=−6a，
直线BD为y＝2ax﹣6a，
∴E（0，﹣6a），
∴OC＝3a，OE＝6a，
∴OC=12OE；
（2）解：当a=−12时，抛物线为y=−12x2+x+32，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点C″，连接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，如图所示：
此时C（0，32），直线BE为y＝﹣x+3，点E（0，3），
∵OB＝3，
∴OB＝OE＝3，
∵∠BOE＝90°，
∴∠OEB＝∠OBE＝45°，
∵CC′⊥BE，
∴∠CEB＝∠ECC′＝45°，
∵BE垂直平分CC′，
∴CE＝C′E＝3−32=32．CN＝C′N，
∴∠CEB＝∠C′EB＝45°，
∴∠CEC′＝90°，
∴CE⊥y轴，
∴点C′（32，3），
∵C关于x轴的对称点C″为（0，−32），
∴CM＝C″M，
∴△CMN周长的最小值为：
CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″=(32)2+(3+32)2=3102；
（3）解：小林猜想不正确，理由如下：
过Q作QK⊥x轴，交BC于点K，
∵B（3，0），C（0，﹣3a），
∴直线BC为y＝ax﹣3a，
设点Q的横坐标为x，则Q（x，ax2﹣2ax﹣3a），K（x，ax﹣3a），
∴QK＝ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax﹣3a）＝ax2﹣3ax，
∴S四边形ABQC＝S△ABC+S△BQC=12×4×（﹣3a）+12（ax2﹣3ax）×3=32a（x−32）2−27a8−6a，
∵a＜0，
∴当点Q的横坐标为x=32时，S四边形ABQC有最大值，
∵点D的横坐标是1，
∴四边形ABQC的面积取得最大值时，点Q与点D不重合，小林猜想不正确．
【变式7-2】（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−38x2+34x+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，当四边形PACB面积最大时，S△BPQS△OAQ= 14 ．
分析：先求出A，B坐标，在用待定系数法求出抛物线解析式，再判断当四边形PACB面积最大时点P的坐标（2，3），得到直线PB∥OA；，再求出点Q的坐标，然后用三角形的面积即可得出结论．
【解答】解：对于y=−34x+3，
令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4，
故点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），
∵抛物线y=−38x2+34x+c经过B点，
∴c＝3，
抛物线的表达式为y=−38x2+34x+3，
令y＝0，则−38x2+34x+3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴C（﹣2，0），
∵S四边形PACB＝S△PAB+S△ACB，S△ABC为定值，
∴当SPAB最大时，四边形PACB面积最大，
∴平移直线AB至和抛物线相切时，切点即为点P，此时SPAB最大，
∴设平行于直线AB且和抛物线相切的直线为y=−34x+b，
联立方程组得y=−38x2+34x+3y=−34x+b，
化简得：−38x2+32x+3﹣b＝0①，
∴Δ＝（32）2﹣4×（−38）×（3﹣b）＝0，
解得：b=92，
把b=92代入①得并化简得：x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∴y＝3，
∴P（2，3），
∵B（0，3），
∴PB∥OA，
设直线OP的表达式为：y＝kx，将点P坐标代入上式并解得：k=32，
则直线OP的表达式为：y=32x，
联立方程组y=32xy=−34x+3，
解得：x=43，y＝2，
即点Q（43，2），
故yQ＝2，则△BPQ的高为3﹣2＝1，
∴S△PBQS△OAQ=12BP×112OA×2=24×2=14．
故答案为：14．
【变式7-3】（2023•大庆三模）如图，已知抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝CD．
（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；
（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标及△GDF面积的最大值；
分析：（1）先根据点C的坐标，确定c的值，根据抛物线的对称轴为x＝2．得出b的值，即可得出抛物线的解析式；根据OC＝CD，得出点D的坐标，利用待定系数法即可得直线DE的函数解析式；
（2）过点G作GQ∥y轴，交DE于点Q，联立y=14x2−x+2y=−4x+4，求出点F的横坐标，设点G（t，14t2﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），GQ=−14t2+2，即可表示出S△GDF=−24t2+22．求出结果即可；
【解答】解：（1）∵抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），
∴c＝2，
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴−b2×14=2，
∴b＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y=14x2﹣x+2，
∵OC＝CD，
∴D（0，4），
又∵直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），
∴4m+n=0n=4，
∴m=−1n=4，
∴直线DE的函数表达式为y＝﹣x+4；
（2）过点G作GQ∥y轴，交DE于点Q，如图所示：
联立y=14x2−x+2y=−4x+4，
解得x1＝22，x2＝﹣22，
∴点F的横坐标为22，
设点G（t，14t2﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），
GQ＝﹣t+4﹣（14t2﹣t+2）=−14t2+2，
∴S△GDF＝S△GQF﹣S△GQD
=12×（−14t2+2）（22−t）−12×（−14t2+2）（﹣t），
==12×（−14t2+2）×22
=−24t2+22．
∴当x＝0时，即点G的坐标为（0，2）时，△GDF面积有最大值为22
【题型8 二次函数在新定义中求最值】
【例8】（2023•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−2，−2），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
分析：（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；
（2）将点（52，52）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．
【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，
∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵点（52，52）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，
∴52=254a+15+c，
∴c=−254a−252，
∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
∴a＝﹣1，c=−254；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
【变式8-1】（2023•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 18 ，面积为 18 ；
②若m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
（2）若点P在直线y＝﹣2x+5上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
分析：（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，
②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；
（2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，
②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+5，可得x分别为﹣1，5，点P的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；
（3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．
【解答】解：（1）①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3＝18，
面积为3×6＝18；
故答案为：18，18．
②∵M（4，1），N（﹣2，3），
∴|xM﹣xN|＝6，|yM﹣yN|＝2．
又∵m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．
∴此矩形的邻边长分别为6，4．
∴n＝﹣1或5．
（2）如图，
①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；
分别将y＝3，y＝1代入y＝﹣2x+5，可得x分别为1，2；
结合图象可知：1≤m≤2；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，
分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+5，可得x分别为﹣1，4；
∴点P的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；
（3）如图，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，经过点（﹣1，1），（1，1），（3，3），
∴a−b+c=1a+b+c=19a+3b+c=3，
a=14b=0c=34，
∴y=14x2+34，
同理抛物线经过点（﹣1，3），（1，3），（3，1），可求得抛物线的解析式为y=−14x2+134，
∴抛物线的解析式y=14x2+34或y=−14x2+134．
【变式8-2】（2023•碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
问题发现：
（1）如图1，筝形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，若AC+BD＝12，求筝形ABCD的面积的最大值；
问题解决：
（2）如图2是一块矩形铁片ABCD，其中AB＝60厘米，BC＝90厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH，要求点E是AB边的中点，点F、G、H分别在BC、CD、AD上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFGH的面积最大值，若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意可得，S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC=12•AC•DE+12•AC•BE=12•AC•BD，因为AC+BD＝12，所以BD＝12AC，代入面积，利用二次函数的性质可求出最大值；
（2）由（1）的分析可知，当点G与点C重合时，作EG的垂直平分线，分别与AD，BC交于点H，F，此时筝形EFGH的面积最大，利用勾股定理分别求出DH和FG的长，再利用面积的和差得出结论．
【解答】解：（1）∵AD＝CD，AB＝CB，
∴BD为线段AC的垂直平分线，
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC
=12•AC•DE+12•AC•BE
=12•AC•BD，
∵AC+BD＝12，
∴S四边形ABCD=12•AC•（12﹣AC）=−12（AC﹣6）2+18，
∴当AC＝6时，S四边形ABCD的最大值为18．
（2）存在，如图，由（1）的分析可知，当点G与点C重合时，作EG的垂直平分线，分别与AD，BC交于点H，F，此时筝形EFGH的面积最大，
设DH＝m，则AH＝60﹣m，
根据勾股定理可知，EH2＝AH2+AE2＝（60﹣m）2+302，EG2＝m2+602，
∵EH＝HG，
∴（60﹣m）2+302＝m2+602，
解得m＝30．
设FG＝n，则EF＝n，BF＝60﹣n，
由勾股定理可得，EF2＝BE2+BF2，即n2＝（60﹣n）2+302，
解得n＝50，
∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣S△BEF﹣S△AEH﹣S△DCH
＝60×30−12×30×40−12×30×60−12×30×60
＝3000，
综上，存在，当BF＝40，AH＝60时，筝形EFGH的面积最大值为3000平方厘米．
【变式8-3】（2023春•崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）．
（1）若A为（3，﹣2），O为坐标原点，则d（O，A）＝ 5 ；
（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（3）若M（1，1），点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”．
分析：（1）由A与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象即可；
（3）由条件可得到|x﹣2|+|x﹣1|，分情况去掉绝对值号，根据二次函数的性质进行讨论即可．
【解答】解：（1）d（O，A）＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5；
故答案为：5；
（2）∵O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，
∴|0﹣x|+|0﹣y|＝|x|+|y|＝2，
所有符合条件的点P组成的图形如图所示；
（3）∵点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，
设N（x，x2﹣1），
∵M（1，1），
则d（M，N）＝|x﹣1|+|x2﹣1﹣1|＝|x﹣1|+|x2﹣2|，
①当x≥2时，d（M，N）＝x﹣1+x2﹣2＝x2+x﹣3＝（x+12）2−134，
x=2时，d（M，N）的最小“转角距离”为2−1；
②当1≤x≤2时，d（M，N）＝x﹣1+2﹣x2＝﹣x2+x+1＝﹣（x−12）2+54，
x=2时，d（M，N）的最小“转角距离”为2−1；
③当−2≤x≤1时，d（M，N）＝1﹣x+2﹣x2＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+12）2+134，
x＝1时，d（M，N）的最小“转角距离”为1；
④当x≤−2时，d（M，N）＝1﹣x+x2﹣2＝x2﹣x﹣1＝（x−12）2−54，
x=−2时，d（M，N）的最小“转角距离”为2+1；
综上可知，d（M，N）的最小“转角距离”为2−1．
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