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苏科版九年级数学下册专题6.1成比例线段【七大题型】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版九年级数学下册专题6.1成比例线段【七大题型】(原卷版+解析)，共23页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc674" 【题型1 成比例线段的概念】 PAGEREF _Tc674 \h 1
\l "_Tc7506" 【题型2 成比例线段的应用】 PAGEREF _Tc7506 \h 2
\l "_Tc2742" 【题型3 比例的证明】 PAGEREF _Tc2742 \h 3
\l "_Tc26402" 【题型4 利用比例的性质求比值】 PAGEREF _Tc26402 \h 4
\l "_Tc3397" 【题型5 利用比例的性质求参】 PAGEREF _Tc3397 \h 4
\l "_Tc11543" 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc11543 \h 5
\l "_Tc2459" 【题型7 黄金分割】 PAGEREF _Tc2459 \h 6
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念】
【例1】（2023秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（ ）
A．43B．3C．8D．12
【变式1-1】（2023秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 23 ．
【变式1-2】（2023秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ）
A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4
【变式1-3】（2023秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？
【题型2 成比例线段的应用】
【例2】（2023秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．
【变式2-1】（2023秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）
A．0.8cmB．8cmC．80cmD．800cm．
【变式2-2】（2023秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（ ）
A．3：2B．1：3C．4：5D．3：1
【变式2-3】（2023•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
A．舞蹈社不变，溜冰社减少
B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少
D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【知识点2 比例的性质】
【题型3 比例的证明】
【例3】（2023秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．
【变式3-1】（2023春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．
【变式3-2】（2023秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．
证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．
【变式3-3】（2023秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．
【题型4 利用比例的性质求比值】
【例4】（2023秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab= ．
【变式4-1】（2023春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（ ）
A．25B．14C．−25D．−14
【变式4-2】（2023春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（ ）
A．16B．13C．12D．56
【变式4-3】（2023春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ）
A．若a4=c5，则ac=45
B．若a−bb=16，则ab=76
C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23
D．若ab=34，则a＝3，b＝4
【题型5 利用比例的性质求参】
【例5】（2023秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+yz=k，则k＝ ．
【变式5-1】（2023秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（ ）
A．15B．9C．5D．3
【变式5-2】（2023秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．
【变式5-3】（2023•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．
（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？
（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．
【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】
【例6】（2023秋•渝中区期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd．
证明：∵ab=cd，
∴ab+1=cd+1．
∴a+bb=c+dd．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若ab=35，求a+bb的值；
（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．
【变式6-1】阅读材料：
已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．
解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
∴x+y−zx−y+z=3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）
（1）回答下列问题：
①第一步运用了 的基本性质，
②第二步的解题过程运用了 的方法，
由k5k得15利用了 的基本性质．
（2）模仿材料解题：
已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．
【变式6-2】（2023秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
【变式6-3】（2023春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，
依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．
【知识点3 黄金分割】
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型7 黄金分割】
【例7】（2023•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为 ．
【变式7-1】（2023秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．PBAP=5+12B．PBAB=5+12C．APAB=5−12D．APPB=5−12
【变式7-2】（2023秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．
（1）若AB＝10cm，则AD＝ ；
（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；
（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．
面同意，不得复制发布日期：2022/9/15 22:55:34；用户：小不1825600716号：20699374
【变式7-3】（2023春•兖州区期末）再读教材：
宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中AB＝ （保留根号）；
（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．舞蹈社
溜冰社
魔术社
上学期
3
4
5
下学期
4
3
2
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.
专题6.1 成比例线段【七大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc674" 【题型1 成比例线段的概念】 PAGEREF _Tc674 \h 1
\l "_Tc7506" 【题型2 成比例线段的应用】 PAGEREF _Tc7506 \h 3
\l "_Tc2742" 【题型3 比例的证明】 PAGEREF _Tc2742 \h 5
\l "_Tc26402" 【题型4 利用比例的性质求比值】 PAGEREF _Tc26402 \h 7
\l "_Tc3397" 【题型5 利用比例的性质求参】 PAGEREF _Tc3397 \h 8
\l "_Tc11543" 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc11543 \h 10
\l "_Tc2459" 【题型7 黄金分割】 PAGEREF _Tc2459 \h 13
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念】
【例1】（2023秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（ ）
A．43B．3C．8D．12
分析：利用表示两个比相等的式子，叫做比例式，然后分别求出A、B、C、D选项的比值，即可判断．
【解答】解：A、43：2＝4：6，故A不符合题意；
B、2：3＝4：6，故B不符合题意；
C、2：4≠6：8，故C符合题意；
D、2：4＝6：12，故D不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2023秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 23 ．
分析：由题意线段c是a、b的比例中项，可知c2＝ab，由此即可解决问题．
【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝2，b＝6，
∴c2＝12，
∵c＞0，
∴c＝23，
故答案为：23．
【变式1-2】（2023秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ）
A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4
分析：根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即可．
【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能组成比例，错误；
B、3：1.5＝2：1＝4：2，能组成比例，错误；
C、2：3≠1.5：4；不能组成比例，正确；
D、1.5：2＝3：4，能组成比例，错误；
故选：C．
【变式1-3】（2023秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？
分析：求出A'B'AB，B'C'BC的值判断即可．
【解答】解：∵AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm，
∴A'B'AB=48=12，B'C'BC=612=12，
∴A'B'AB=B'C'BC，
∴A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段．
【题型2 成比例线段的应用】
【例2】（2023秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．
分析：设a﹣c＝﹣2k，a+b＝7，c﹣b＝1，再利用k分别表示出a、b、c，然后利用勾股定理的逆定理进行判断．
【解答】解：∵（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，
∴设a−c=−2ka+b=7kc−b=k，解得a=3kb=4kc=5k，
∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°．
【变式2-1】（2023秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）
A．0.8cmB．8cmC．80cmD．800cm．
分析：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．
【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，
根据题意，得：x40000000=1500000，
解得：x＝80，
即地图上，甲乙两地的距离是80cm，
故选：C．
【变式2-2】（2023秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（ ）
A．3：2B．1：3C．4：5D．3：1
分析：根据人数必须是整数，所以男、女生人数占的总分数必须能被30整除，然后进行计算即可解答．
【解答】解：A、30÷（3+2）＝6，能得出整数的结果，故A符合题意；
B、30÷（1+3）＝7.5，不能得出整数的结果，故B不符合题意；
C、30÷（4+5）=103，不能得出整数的结果，故C不符合题意；
D、30÷（3+1）＝7.5，不能得出整数的结果，故D不符合题意；
故选：A．
【变式2-3】（2023•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
A．舞蹈社不变，溜冰社减少
B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少
D．舞蹈社增加，溜冰社不变
分析：若甲：乙：丙＝a：b：c，则甲占全部的aa+b+c，乙占全部的ba+b+c，丙占全部的ca+b+c．
【解答】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：
∴舞蹈社增加，溜冰社不变．
故选：D．
【知识点2 比例的性质】
【题型3 比例的证明】
【例3】（2023秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．
分析：根据比例线段的性质证明即可．
【解答】证明：由ab=cd=k，
可得：a＝bk，c＝dk，
把a＝bk，c＝dk代入a−cb−d=bk−dkb−d=k，
把a＝bk，c＝dk代入a+cb+d=bk+dkb+d=k，
可得：a−cb−d=a+cb+d．
【变式3-1】（2023春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．
分析：由已知条件得到BCAB=CDAD，即AC−ABAB=AD−ACAD，两边同除以AC，即可得到结论．
【解答】证明：∵ABBC=ADCD，
∴BCAB=CDAD，即AC−ABAB=AD−ACAD，
∴ACAB−1＝1−ACAD，
∴1AB+1AD=2AC．
【变式3-2】（2023秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．
证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．
分析：（1）由等高模型可知：S△ABOS△BOD=AOOD，S△ACOS△COD=AOOD，由此即可解决问题．
（2）利用等高模型以及比例的性质即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵S△ABOS△BOD=AOOD，S△ACOS△COD=AOOD，
∴S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD．
（2）∵S△ABDS△ADC=S△OBDS△ODC=BDCD，
∴S△ABD−S△OBDS△ADC−S△ODC=BDCD，
∴S△ABOS△ACO=BDCD．
【变式3-3】（2023秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．
分析：由于（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，根据比例的基本性质得到ad＝bc，可得（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），从而得证．
【解答】证明：∵ab=cd，
∴ad＝bc，
∵（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，
（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，
∵2abcd＝c2b2+a2d2
∴（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），
∴a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．
【题型4 利用比例的性质求比值】
【例4】（2023秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab= 119 ．
分析：根据2b3a−b=34，可得3a−b2b=43，再根据比例的性质即可求解．
【解答】解：∵2b3a−b=34，
∴3a−b2b=43，
∴3a2b−12=43，
∴ab=119．
故答案为：119．
【变式4-1】（2023春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（ ）
A．25B．14C．−25D．−14
分析：把a−ba=34化成1−ba=34，即可求出ba的值．
【解答】解：∵a−ba=34，
∴1−ba=34，
∴ba=14，
故选：B．
【变式4-2】（2023春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（ ）
A．16B．13C．12D．56
分析：先利用分式的基本性质得到ab=−2c−2d=3e3f=13，然后根据等比性质解决问题．
【解答】解：∵ab=cd=ef=13，
∴ab=−2c−2d=3e3f=13，
而b﹣2d+3f≠0
∴a−2c+3eb−2d+3f=13．
故选：B．
【变式4-3】（2023春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ）
A．若a4=c5，则ac=45
B．若a−bb=16，则ab=76
C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23
D．若ab=34，则a＝3，b＝4
分析：分别利用比例的基本性质分析得出答案．
【解答】解：A、若a4=c5，则ac=45，正确，不合题意；
B、若a−bb=16，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则ab=76，正确，不合题意；
C、若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23，正确，不合题意；
D、若ab=34，无法得出a，b的值，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【题型5 利用比例的性质求参】
【例5】（2023秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+yz=k，则k＝ 2或﹣1 ．
分析：能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．
【解答】解：此题要分情况考虑：
当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k=2x+2y+2zx+y+z=2；
当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，故填2或﹣1．
【变式5-1】（2023秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（ ）
A．15B．9C．5D．3
分析：设x3=y5=k，根据比例的性质求出x＝3k，y＝5k，根据x+y＝24得出3k+5k＝24，求出k，再求出x即可．
【解答】解：设x3=y5=k，则x＝3k，y＝5k，
∵x+y＝24．
∴3k+5k＝24，
解得：k＝3，
∴x＝3×3＝9，
故选：B．
【变式5-2】（2023秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．
分析：由若x3=y5=z6，可设x3=y5=z6=k，这样用k分别表示x、y、z，即x＝3k，y＝5k，z＝6k，再利用3y＝2z+6，可得到关于k的方程，解方程得到k的值，从而可确定x的值．
【解答】解：设x3=y5=z6=k，
则x＝3k，y＝5k，z＝6k，
∵3y＝2z+6，
∴3×5k＝2×6k+6，
解得：k＝2，
∴x＝3k＝6，y＝5k＝10．
【变式5-3】（2023•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．
（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？
（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．
分析：（1）根据比例的性质即可得到结果；
（2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵ab=cd，b+d＝0，
∴a+c＝0；
（2）①当a+b+c≠0时，b+ca=a+cb=a+bc=t=2(a+b+c)a+b+c=2，
∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，
②当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴b+ca=a+cb=a+bc=t=−1，
∴t2﹣t﹣2＝0．
【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】
【例6】（2023秋•渝中区期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd．
证明：∵ab=cd，
∴ab+1=cd+1．
∴a+bb=c+dd．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若ab=35，求a+bb的值；
（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．
分析：（1）把要求的式子化成a+bb=ab+1，再进行计算即可得出答案；
（2）根据比例的性质得出a−bb=c−dd，a+bb=c+dd，再分别相除即可得出答案．
【解答】解：（1）∵ab=35，
∴a+bb=ab+1=35+1=85．
（2）∵ab=cd，
∴ab−1=cd−1，
∴a−bb=c−dd，
∵a+bb=c+dd，
∴a−bb÷a+bb=c−dd÷c+dd，
∴a−ba+b=c−dc+d．
【变式6-1】阅读材料：
已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．
解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
∴x+y−zx−y+z=3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）
（1）回答下列问题：
①第一步运用了 等式 的基本性质，
②第二步的解题过程运用了 代入消元 的方法，
由k5k得15利用了 分式 的基本性质．
（2）模仿材料解题：
已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．
分析：（1）利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答；
（2）仿照例题的思路，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质，
②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，
由k5k得15利用了分式的基本性质，
故答案为：等式，代入消元，分式；
（2）∵x：y：z＝2：3：4，
∴设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴x+y+zx−2y+3z=2k+3k+4k2k−6k+12k
=9k8k
=98．
【变式6-2】（2023秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
分析：设a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，利用比例的性质得到a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+b+c＝ka，将三式相加可以求得k＝1，所以利用等量代换和约分可以求得所求代数式的值．
【解答】解：设a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，
所以a+b﹣c＝kc①，
a﹣b+c＝kb②，
﹣a+b+c＝ka③，
由①+②+③，得
a+b+c＝k（a+b+c）．
∵a+b+c≠0，
∴k＝1．
∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b．
∴(a+b)(b+c)(c+a)abc=2c×2a×2babc=8．
【变式6-3】（2023春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，
依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．
分析：设y+zx=z+xy=x+yz=k，根据比例的性质得到x＝y＝z，计算即可．
【解答】解：设y+zx=z+xy=x+yz=k，
则y+z＝xk，z+x＝yk，x+y＝zk，
∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），
解得，k＝2，
∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，
解得，x＝y＝z，
则x−y−zx+y+z=−13．
【知识点3 黄金分割】
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型7 黄金分割】
【例7】（2023•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为 1 ．
分析：设AB＝a，根据黄金比值用a表示出AR、BR，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设AB＝a，
∵点R是边AB边上的黄金分割点，AR＞RB，
∴AR=5−12AB=5−12a，
则BR＝AB﹣AR＝a−5−12a=3−52a，
∴S1：S2＝（5−12a）2：a×3−52a＝1，
故答案为：1．
【变式7-1】（2023秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．PBAP=5+12B．PBAB=5+12C．APAB=5−12D．APPB=5−12
分析：根据黄金分割的定义判断即可．
【解答】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，
∴AP2＝PB•AB，
∴点P是AB的黄金分割点，
∴APAB=5−12，
故选：C．
【变式7-2】（2023秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．
（1）若AB＝10cm，则AD＝ （55−5）cm ；
（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；
（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．
分析：（1）根据黄金分割的概念计算即可；
（2）根据黄金三角形的概念和尺规作图的一般步骤作图；
（3）根据黄金分割的概念和黄金三角形的概念证明即可．
【解答】解：（1）∵点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD，
∴AD=5−12AB＝（55−5）cm，
故答案为：（55−5）cm；
（2）以A圆心，以AB的长为半径作弧，再以点B为圆心，AD的长为半径作弧，两弧交于点C，
连接BC，则△ABC即为所求；
（3）证明：由（1）得，点D是线段AB的黄金分割点，
∴底边AD=5−12乘腰AB，
∴三角形ABC是黄金三角形．
邮箱：18256007168；学号：20699374
【变式7-3】（2023春•兖州区期末）再读教材：
宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中AB＝ 5 （保留根号）；
（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
分析：（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度．
（2）由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，结合平行线的性质可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四边形BADQ为菱形；
（3）首先求出CD，ND，再由黄金矩形的定义即可作出判断．
【解答】解：（1）∵四边形MNCB是正方形，
∴NC＝MN＝2，
由折叠的性质得：AC=12NC＝1，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=12+22=5；
故答案为5；
（2）四边形BADQ是菱形．
证明：由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，
∵BQ∥AD，
∴∠AQB＝∠DAQ，
∴∠AQB＝∠BAQ，
∴AB＝BQ，
即AD＝AB＝BQ＝BD，
∴四边形BADQ为菱形；
（3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；
理由：∵AD＝AB=5，AN＝AC＝1，
∴CD=5−1，ND=5+1，
∴CDBC=5−12，
故矩形BCDE是黄金矩形；
∴MNND=25+1=5−12，
故矩形MNDE是黄金矩形．舞蹈社
溜冰社
魔术社
上学期
3
4
5
下学期
4
3
2
舞蹈社
溜冰社
魔术社
上学期
312=936
412=1236
512=1536
下学期
49=1636
39=1236
29=836
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc674" 【题型1 成比例线段的概念】 PAGEREF _Tc674 \h 1
\l "_Tc7506" 【题型2 成比例线段的应用】 PAGEREF _Tc7506 \h 2
\l "_Tc2742" 【题型3 比例的证明】 PAGEREF _Tc2742 \h 3
\l "_Tc26402" 【题型4 利用比例的性质求比值】 PAGEREF _Tc26402 \h 4
\l "_Tc3397" 【题型5 利用比例的性质求参】 PAGEREF _Tc3397 \h 4
\l "_Tc11543" 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc11543 \h 5
\l "_Tc2459" 【题型7 黄金分割】 PAGEREF _Tc2459 \h 6
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念】
【例1】（2023秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（ ）
A．43B．3C．8D．12
【变式1-1】（2023秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 23 ．
【变式1-2】（2023秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ）
A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4
【变式1-3】（2023秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？
【题型2 成比例线段的应用】
【例2】（2023秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．
【变式2-1】（2023秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）
A．0.8cmB．8cmC．80cmD．800cm．
【变式2-2】（2023秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（ ）
A．3：2B．1：3C．4：5D．3：1
【变式2-3】（2023•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
A．舞蹈社不变，溜冰社减少
B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少
D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【知识点2 比例的性质】
【题型3 比例的证明】
【例3】（2023秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．
【变式3-1】（2023春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．
【变式3-2】（2023秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．
证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．
【变式3-3】（2023秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．
【题型4 利用比例的性质求比值】
【例4】（2023秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab= ．
【变式4-1】（2023春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（ ）
A．25B．14C．−25D．−14
【变式4-2】（2023春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（ ）
A．16B．13C．12D．56
【变式4-3】（2023春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ）
A．若a4=c5，则ac=45
B．若a−bb=16，则ab=76
C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23
D．若ab=34，则a＝3，b＝4
【题型5 利用比例的性质求参】
【例5】（2023秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+yz=k，则k＝ ．
【变式5-1】（2023秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（ ）
A．15B．9C．5D．3
【变式5-2】（2023秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．
【变式5-3】（2023•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．
（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？
（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．
【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】
【例6】（2023秋•渝中区期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd．
证明：∵ab=cd，
∴ab+1=cd+1．
∴a+bb=c+dd．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若ab=35，求a+bb的值；
（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．
【变式6-1】阅读材料：
已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．
解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
∴x+y−zx−y+z=3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）
（1）回答下列问题：
①第一步运用了 的基本性质，
②第二步的解题过程运用了 的方法，
由k5k得15利用了 的基本性质．
（2）模仿材料解题：
已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．
【变式6-2】（2023秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
【变式6-3】（2023春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，
依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．
【知识点3 黄金分割】
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型7 黄金分割】
【例7】（2023•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为 ．
【变式7-1】（2023秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．PBAP=5+12B．PBAB=5+12C．APAB=5−12D．APPB=5−12
【变式7-2】（2023秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．
（1）若AB＝10cm，则AD＝ ；
（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；
（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．
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【变式7-3】（2023春•兖州区期末）再读教材：
宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中AB＝ （保留根号）；
（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．舞蹈社
溜冰社
魔术社
上学期
3
4
5
下学期
4
3
2
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.
专题6.1 成比例线段【七大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc674" 【题型1 成比例线段的概念】 PAGEREF _Tc674 \h 1
\l "_Tc7506" 【题型2 成比例线段的应用】 PAGEREF _Tc7506 \h 3
\l "_Tc2742" 【题型3 比例的证明】 PAGEREF _Tc2742 \h 5
\l "_Tc26402" 【题型4 利用比例的性质求比值】 PAGEREF _Tc26402 \h 7
\l "_Tc3397" 【题型5 利用比例的性质求参】 PAGEREF _Tc3397 \h 8
\l "_Tc11543" 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc11543 \h 10
\l "_Tc2459" 【题型7 黄金分割】 PAGEREF _Tc2459 \h 13
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念】
【例1】（2023秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（ ）
A．43B．3C．8D．12
分析：利用表示两个比相等的式子，叫做比例式，然后分别求出A、B、C、D选项的比值，即可判断．
【解答】解：A、43：2＝4：6，故A不符合题意；
B、2：3＝4：6，故B不符合题意；
C、2：4≠6：8，故C符合题意；
D、2：4＝6：12，故D不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2023秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 23 ．
分析：由题意线段c是a、b的比例中项，可知c2＝ab，由此即可解决问题．
【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝2，b＝6，
∴c2＝12，
∵c＞0，
∴c＝23，
故答案为：23．
【变式1-2】（2023秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ）
A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4
分析：根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即可．
【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能组成比例，错误；
B、3：1.5＝2：1＝4：2，能组成比例，错误；
C、2：3≠1.5：4；不能组成比例，正确；
D、1.5：2＝3：4，能组成比例，错误；
故选：C．
【变式1-3】（2023秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？
分析：求出A'B'AB，B'C'BC的值判断即可．
【解答】解：∵AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm，
∴A'B'AB=48=12，B'C'BC=612=12，
∴A'B'AB=B'C'BC，
∴A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段．
【题型2 成比例线段的应用】
【例2】（2023秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．
分析：设a﹣c＝﹣2k，a+b＝7，c﹣b＝1，再利用k分别表示出a、b、c，然后利用勾股定理的逆定理进行判断．
【解答】解：∵（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，
∴设a−c=−2ka+b=7kc−b=k，解得a=3kb=4kc=5k，
∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°．
【变式2-1】（2023秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）
A．0.8cmB．8cmC．80cmD．800cm．
分析：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．
【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，
根据题意，得：x40000000=1500000，
解得：x＝80，
即地图上，甲乙两地的距离是80cm，
故选：C．
【变式2-2】（2023秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（ ）
A．3：2B．1：3C．4：5D．3：1
分析：根据人数必须是整数，所以男、女生人数占的总分数必须能被30整除，然后进行计算即可解答．
【解答】解：A、30÷（3+2）＝6，能得出整数的结果，故A符合题意；
B、30÷（1+3）＝7.5，不能得出整数的结果，故B不符合题意；
C、30÷（4+5）=103，不能得出整数的结果，故C不符合题意；
D、30÷（3+1）＝7.5，不能得出整数的结果，故D不符合题意；
故选：A．
【变式2-3】（2023•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
A．舞蹈社不变，溜冰社减少
B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少
D．舞蹈社增加，溜冰社不变
分析：若甲：乙：丙＝a：b：c，则甲占全部的aa+b+c，乙占全部的ba+b+c，丙占全部的ca+b+c．
【解答】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：
∴舞蹈社增加，溜冰社不变．
故选：D．
【知识点2 比例的性质】
【题型3 比例的证明】
【例3】（2023秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．
分析：根据比例线段的性质证明即可．
【解答】证明：由ab=cd=k，
可得：a＝bk，c＝dk，
把a＝bk，c＝dk代入a−cb−d=bk−dkb−d=k，
把a＝bk，c＝dk代入a+cb+d=bk+dkb+d=k，
可得：a−cb−d=a+cb+d．
【变式3-1】（2023春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．
分析：由已知条件得到BCAB=CDAD，即AC−ABAB=AD−ACAD，两边同除以AC，即可得到结论．
【解答】证明：∵ABBC=ADCD，
∴BCAB=CDAD，即AC−ABAB=AD−ACAD，
∴ACAB−1＝1−ACAD，
∴1AB+1AD=2AC．
【变式3-2】（2023秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．
证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．
分析：（1）由等高模型可知：S△ABOS△BOD=AOOD，S△ACOS△COD=AOOD，由此即可解决问题．
（2）利用等高模型以及比例的性质即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵S△ABOS△BOD=AOOD，S△ACOS△COD=AOOD，
∴S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD．
（2）∵S△ABDS△ADC=S△OBDS△ODC=BDCD，
∴S△ABD−S△OBDS△ADC−S△ODC=BDCD，
∴S△ABOS△ACO=BDCD．
【变式3-3】（2023秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．
分析：由于（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，根据比例的基本性质得到ad＝bc，可得（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），从而得证．
【解答】证明：∵ab=cd，
∴ad＝bc，
∵（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，
（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，
∵2abcd＝c2b2+a2d2
∴（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），
∴a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．
【题型4 利用比例的性质求比值】
【例4】（2023秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab= 119 ．
分析：根据2b3a−b=34，可得3a−b2b=43，再根据比例的性质即可求解．
【解答】解：∵2b3a−b=34，
∴3a−b2b=43，
∴3a2b−12=43，
∴ab=119．
故答案为：119．
【变式4-1】（2023春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（ ）
A．25B．14C．−25D．−14
分析：把a−ba=34化成1−ba=34，即可求出ba的值．
【解答】解：∵a−ba=34，
∴1−ba=34，
∴ba=14，
故选：B．
【变式4-2】（2023春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（ ）
A．16B．13C．12D．56
分析：先利用分式的基本性质得到ab=−2c−2d=3e3f=13，然后根据等比性质解决问题．
【解答】解：∵ab=cd=ef=13，
∴ab=−2c−2d=3e3f=13，
而b﹣2d+3f≠0
∴a−2c+3eb−2d+3f=13．
故选：B．
【变式4-3】（2023春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ）
A．若a4=c5，则ac=45
B．若a−bb=16，则ab=76
C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23
D．若ab=34，则a＝3，b＝4
分析：分别利用比例的基本性质分析得出答案．
【解答】解：A、若a4=c5，则ac=45，正确，不合题意；
B、若a−bb=16，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则ab=76，正确，不合题意；
C、若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23，正确，不合题意；
D、若ab=34，无法得出a，b的值，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【题型5 利用比例的性质求参】
【例5】（2023秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+yz=k，则k＝ 2或﹣1 ．
分析：能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．
【解答】解：此题要分情况考虑：
当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k=2x+2y+2zx+y+z=2；
当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，故填2或﹣1．
【变式5-1】（2023秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（ ）
A．15B．9C．5D．3
分析：设x3=y5=k，根据比例的性质求出x＝3k，y＝5k，根据x+y＝24得出3k+5k＝24，求出k，再求出x即可．
【解答】解：设x3=y5=k，则x＝3k，y＝5k，
∵x+y＝24．
∴3k+5k＝24，
解得：k＝3，
∴x＝3×3＝9，
故选：B．
【变式5-2】（2023秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．
分析：由若x3=y5=z6，可设x3=y5=z6=k，这样用k分别表示x、y、z，即x＝3k，y＝5k，z＝6k，再利用3y＝2z+6，可得到关于k的方程，解方程得到k的值，从而可确定x的值．
【解答】解：设x3=y5=z6=k，
则x＝3k，y＝5k，z＝6k，
∵3y＝2z+6，
∴3×5k＝2×6k+6，
解得：k＝2，
∴x＝3k＝6，y＝5k＝10．
【变式5-3】（2023•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．
（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？
（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．
分析：（1）根据比例的性质即可得到结果；
（2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵ab=cd，b+d＝0，
∴a+c＝0；
（2）①当a+b+c≠0时，b+ca=a+cb=a+bc=t=2(a+b+c)a+b+c=2，
∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，
②当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴b+ca=a+cb=a+bc=t=−1，
∴t2﹣t﹣2＝0．
【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】
【例6】（2023秋•渝中区期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd．
证明：∵ab=cd，
∴ab+1=cd+1．
∴a+bb=c+dd．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若ab=35，求a+bb的值；
（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．
分析：（1）把要求的式子化成a+bb=ab+1，再进行计算即可得出答案；
（2）根据比例的性质得出a−bb=c−dd，a+bb=c+dd，再分别相除即可得出答案．
【解答】解：（1）∵ab=35，
∴a+bb=ab+1=35+1=85．
（2）∵ab=cd，
∴ab−1=cd−1，
∴a−bb=c−dd，
∵a+bb=c+dd，
∴a−bb÷a+bb=c−dd÷c+dd，
∴a−ba+b=c−dc+d．
【变式6-1】阅读材料：
已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．
解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
∴x+y−zx−y+z=3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）
（1）回答下列问题：
①第一步运用了 等式 的基本性质，
②第二步的解题过程运用了 代入消元 的方法，
由k5k得15利用了 分式 的基本性质．
（2）模仿材料解题：
已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．
分析：（1）利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答；
（2）仿照例题的思路，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质，
②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，
由k5k得15利用了分式的基本性质，
故答案为：等式，代入消元，分式；
（2）∵x：y：z＝2：3：4，
∴设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴x+y+zx−2y+3z=2k+3k+4k2k−6k+12k
=9k8k
=98．
【变式6-2】（2023秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
分析：设a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，利用比例的性质得到a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+b+c＝ka，将三式相加可以求得k＝1，所以利用等量代换和约分可以求得所求代数式的值．
【解答】解：设a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，
所以a+b﹣c＝kc①，
a﹣b+c＝kb②，
﹣a+b+c＝ka③，
由①+②+③，得
a+b+c＝k（a+b+c）．
∵a+b+c≠0，
∴k＝1．
∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b．
∴(a+b)(b+c)(c+a)abc=2c×2a×2babc=8．
【变式6-3】（2023春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，
依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．
分析：设y+zx=z+xy=x+yz=k，根据比例的性质得到x＝y＝z，计算即可．
【解答】解：设y+zx=z+xy=x+yz=k，
则y+z＝xk，z+x＝yk，x+y＝zk，
∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），
解得，k＝2，
∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，
解得，x＝y＝z，
则x−y−zx+y+z=−13．
【知识点3 黄金分割】
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型7 黄金分割】
【例7】（2023•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为 1 ．
分析：设AB＝a，根据黄金比值用a表示出AR、BR，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设AB＝a，
∵点R是边AB边上的黄金分割点，AR＞RB，
∴AR=5−12AB=5−12a，
则BR＝AB﹣AR＝a−5−12a=3−52a，
∴S1：S2＝（5−12a）2：a×3−52a＝1，
故答案为：1．
【变式7-1】（2023秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．PBAP=5+12B．PBAB=5+12C．APAB=5−12D．APPB=5−12
分析：根据黄金分割的定义判断即可．
【解答】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，
∴AP2＝PB•AB，
∴点P是AB的黄金分割点，
∴APAB=5−12，
故选：C．
【变式7-2】（2023秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．
（1）若AB＝10cm，则AD＝ （55−5）cm ；
（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；
（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．
分析：（1）根据黄金分割的概念计算即可；
（2）根据黄金三角形的概念和尺规作图的一般步骤作图；
（3）根据黄金分割的概念和黄金三角形的概念证明即可．
【解答】解：（1）∵点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD，
∴AD=5−12AB＝（55−5）cm，
故答案为：（55−5）cm；
（2）以A圆心，以AB的长为半径作弧，再以点B为圆心，AD的长为半径作弧，两弧交于点C，
连接BC，则△ABC即为所求；
（3）证明：由（1）得，点D是线段AB的黄金分割点，
∴底边AD=5−12乘腰AB，
∴三角形ABC是黄金三角形．
邮箱：18256007168；学号：20699374
【变式7-3】（2023春•兖州区期末）再读教材：
宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中AB＝ 5 （保留根号）；
（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
分析：（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度．
（2）由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，结合平行线的性质可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四边形BADQ为菱形；
（3）首先求出CD，ND，再由黄金矩形的定义即可作出判断．
【解答】解：（1）∵四边形MNCB是正方形，
∴NC＝MN＝2，
由折叠的性质得：AC=12NC＝1，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=12+22=5；
故答案为5；
（2）四边形BADQ是菱形．
证明：由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，
∵BQ∥AD，
∴∠AQB＝∠DAQ，
∴∠AQB＝∠BAQ，
∴AB＝BQ，
即AD＝AB＝BQ＝BD，
∴四边形BADQ为菱形；
（3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；
理由：∵AD＝AB=5，AN＝AC＝1，
∴CD=5−1，ND=5+1，
∴CDBC=5−12，
故矩形BCDE是黄金矩形；
∴MNND=25+1=5−12，
故矩形MNDE是黄金矩形．舞蹈社
溜冰社
魔术社
上学期
3
4
5
下学期
4
3
2
舞蹈社
溜冰社
魔术社
上学期
312=936
412=1236
512=1536
下学期
49=1636
39=1236
29=836
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.
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