四川省雅安市神州天立学校2024届高三高考适应性考试（三）数学（文）试题

这是一份四川省雅安市神州天立学校2024届高三高考适应性考试（三）数学（文）试题，共5页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知函数若，则m的值为， 函数在的图象大致为， 已知数列满足且，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 已知复数是虚数单位，若，则复数的虚部为（）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量，，若，则（）
A. B. 1C. 2D. 4
4. 已知函数若，则m的值为（）
A. B. 2C. 9D. 2或9
5. 在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）
A. B. C. D.
6. 函数在的图象大致为
A. B. C. D.
7. 已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（）
A. 2B. C. 4D.
8. 设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，则下列命题为真的是（）
A. B. C. D.
9. 已知数列满足且，则（ ）
A. 3B. C. -2D.
10. 设函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A.B. C. D.
11. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
12. 设，是双曲线：左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，，双曲线的离心率为（）
A. B. C. D. 2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上。
13. _______．
14. 直线与圆交于两点，则_____________.
15. 若函数存在极值点，则实数a的取值范围为________．
16. 已知球的表面积为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则该正四棱锥体积的最大值为______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题每题12分，第22题10分.
17．为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，运动达标与运动欠佳的人数比为，运动达标的女生与男生的人数比为，运动欠佳的男生有5人.
（1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“运动达标情况”与“性别”是否有关?
（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式：，.
18．如图，在平面四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，．
（1）求的值；
（2）设，求.
19. 已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20. 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
21. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C交于A，B两点，定点，若，求直线l的倾斜角．
雅安天立高2021级2023-2024学年度下期 高考适应性考试（三）
数 学（文 科）（答案）
1A 2A 3B4C 5C 6C 7D 8A 9B 10D
11C，当时，．因为在上有且仅有3个极值点，所以，解得，所以的取值范围为：．
12A【解析】由题意可得即有为等腰三角形，设，则，所以即为，
所以，故选：A
13【答案】 14【答案】
15【答案】【解析】因为，可得，
因为函数存在极值点，所以有两不等实根，则，解得或，
所以的取值范围是.故答案为：.
16【答案】【解析】由，故该球半径，设正四棱锥底面边长为，高为，则，，则有，化简得，
，令，则，故当时，，当时，，
即有极大值，即该正四棱锥体积的最大值为.
解析】（1）2×2列联表为：
假设：运动达标情况与性别无关.
.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为“运动达标情况”与“性别”无关.
（2）已知“运动达标”的男生、女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生、女生分别抽到2人和4人，则选中2人中恰有一人是女生的概率为
18解析】（1）因为C点关于直线BD的对称点在直线AD上，
所以DB平分，所以，因为，所以，BC=CD，
所以‖，所以，因为，，所以，
所以．
（2）因为在中，由正弦定理得,所以，，所以，所以，在中，由余弦定理得，
．
19【小问1详解】依题意底面为正方形，、相交于，所以为的中点，又为中点，
所以，又平面，平面，所以平面.
【2】设球的半径为，由球的表面积公式，解得（负值舍去），
设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，连接，则，，，则在，则，即解得（负值舍去），则，所以，又为中点，平面且，所以到平面的距离为，所以.
20.（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.
(2)［方法一］：通性通法设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，因为，所以，即，根据,代入整理可得：
，
所以，
整理化简得，因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，
得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点.令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得定值.
21【小问1详解】由题意知的定义域为，
当时，，在上单调递减；当时，令，
，故方程有两个不同的实数根，分别为，，且，，当时，，单调递减，当时，，单调递增.
综上可知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】由可得，即，
设，，则，
设，，因为，则在上单调递减，且，
所以当时，，即，所以在上单调递增，
当时，，即，所以在上单调递减，
所以的最大值为，所以，即的取值范围为.
22【小问1详解】将代入曲线的极坐标方程中，得曲线的直角坐标方程为，即；
【小问2详解】因为点在直线上，将直线的参数方程(为参数)代入曲线的直角坐标方程，
整理得，满足，
设点对应的参数分别为，则，
由参数的几何意义，不妨令，
所以，
当时，，，
所以，则，所以直线的倾斜角为.
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828