2024年江苏省宿迁市宿城区钟吾初级中学中考二模考试数学试题（学生版+教师版）

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一、选择题:（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2. 提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案.
【详解】解：，
．
，
．
故选．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形外角的性质.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据根式的性质及同底数幂乘除法法则直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，故A不符合题意，
，故B不符合题意，
，故C不符合题意，
，故D不符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查根式的性质及同底数幂乘除法法则，解题的关键是熟练掌握，，．
5. 某校航模兴趣小组共有 30 位同学，他们的年龄分布如下表：
由于表格污损，15 岁和 16 岁的人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）
A. 平均数、中位数B. 众数、中位数C. 平均数、方差D. 中位数、方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据数据有30个，而14岁的占15个，可得众数；然后利用中位数的定义可确定这组数据的中位数，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵共有30位同学，14岁的占15位，
∴14为众数，
∴第15个数和第16个数都是14，
∴数据的中位数为14．
故选B．
【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数与方差．熟知它们的定义是解题的关键．
6. 七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形．
【详解】解：∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接，
∴，，
∴，
设该圆的半径长是，则，，
在中，由勾股定理得，解得，
∴该圆的半径长是，
故选：．
7. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组的值,得到了如图函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的的值满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系以及分式方程有意义的条件，由两支曲线的分界线在轴右侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负．
【详解】
的取值范围是
两支曲线的分界线位于轴的右侧
当时，函数图象位于轴的下方
当时，
又
故选：C．
8. 对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当时， 方程一定没有实数根
②当时，方程一定有实数根
③当时， 方程一定没有实数根
④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可．
【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
②∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴方程一定有实数根，原说法正确；
③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
④∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，原说法错误；
故选：B．
二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了多项式分解因式，先提取公因式2，再根据平方差公式分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】
故答案为．
10. 2024年初春，全国范围内迎来了大降雪，“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，这是唐代诗人岑参描写雪花最新奇的诗句．据悉单片雪花很轻，只有kg左右，用科学记数法可以表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
11. 圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为______．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，
根据题意得，
解得，
所以侧面展开图的圆心角为．
故答案为：．
12. 一组数据4、5、6、7、8方差为，另一组数据3、5、6、7、9的方差为，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了方差的意义，解题的关键是观察数据，找到波动较小的就方差小，也可以分别求得方差后再比较，难度不大．
【详解】解：，
∴
，
，
∴
，
∴，
故答案为：
13. 不等式组的解集是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组解集为，
故答案为：．
14. 如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则的半径等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理及垂径定理，解直角三角形，连接，交于点，由垂径定理推出，且，再由圆周角定理推出，从而根据直角三角形的性质进行求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，连接，交于点，
∵点是弧中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴ ，
即的半径等于，
故答案为：．
15. 将图1所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成图2、图3两种图案，其中图2得到的大正方形的面积为5，图3得到的图形的外轮廓的周长为，则图1中______．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，根据菱形的性质，勾股定理，结合勾股定理去解直角三角形即可，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．
【详解】由题意可知：图得到的大正方形的面积为，所以每一个直角三角形的斜边长为，在图中，
图形的外轮廓的周长为，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
解得：， （舍去），
∴在图中，过点作 于点，，，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积，
即：，
解得：，
在 中，，
故答案为：．
16. 如图，将抛物线绕原点顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点，则点的坐标为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，旋转的选择、勾股定理的应用，利用逆向思维，确定对应点、的关系，是本题的突破点．直线绕原点逆时针旋转得到，求得抛物线与轴的交点，绕原点顺时针旋转得到，由，即可求解．
【详解】解：直线绕原点逆时针旋转得到，
设抛物线与轴的交点为，
抛物线，
时，，
，
设点，
由题意得：，
，
，
点的坐标为
故答案为：
17. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点Q，先证明，从而得到Q是的中点，根据反比例性质得，由已知条件可证得，，结合，可得，然后解方程得．通过和的面积关系得到，设，根据勾股定理求出，再利用，从而求出，然后再通过条件证得，，在中利用等面积法求得，再次根据勾股定理求得，最后参考点所在象限确定坐标即可．
【详解】解：如图，连接，交于点Q，
∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为，
∴，，
∵，
∴，
在和中

∴，
∴，即点Q是的中点，
∴点Q是反比例函数上的点，
过点Q作于点H，则是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵点M是反比例函数上的点，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，
则
解得（负值已舍去），
则，，，
连接，作于G，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点第四象限，
∴的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例图像与性质、与矩形相关的对折、三角形全等的判断与性质、相似三角形的判断与性质、中位线、勾股定理、等面积法求线段的长等知识，关键在于适当添加辅助线和采用数形结合列方程，并能灵活运用相关知识解题．
18. 如图，中，，，，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，圆的有关计算，勾股定理和等腰直角三角形的性质，利用特殊角度度角的正切值为切入点，构造出一个特殊的度角将所需求的两个线段的最大值转化为一条线段，此时点与点重合，进而求出所需要的最大值，解题的关键熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线．
【详解】如图，作，过点作于点，延长交于点，过点作垂足为点，过点作于点，延长交于点，
当点与点重合，点在点处时，取得最大值，
理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴或 （舍去），
∴，
∵，
∴，
在上取不同于点的一点，过点作于点，过点作 所在的直线于点，并延长交于点，
∵，，
∴，
则或，
∵，，
∴，，
∴，，
由图可知：，
∴，
∴当点在点处时，取得最大值，最大值为的长，
∵，
∴取得最大值，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数运算，准确记忆特殊角的三角函数值、正确化简各数是解题关键．
20. 如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为O．
（1）求证：；
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，关键是能够利用平移的性质和三角形中位线定理推导出所需条件．
（1）利用三角形中位线定理得出，进而利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出的度数，进而利用三角形的内角和定理解答即可．
【小问1详解】
证明：由平移可知，，，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
即，
在与中，
，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
21. 先化简：，再从中选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，，
又且x为整数，
∴取，
∴当时，原式．
22. 某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了 名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
（4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？
【答案】（1）100 （2）见解析
（3）108° （4）600名
【解析】
【分析】（1）由的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据四个活动人数之和等于总人数可得人数，从而补全图形；
（3）乘以样本中人数所占百分比即可；
（4）用1500乘以类活动的百分比即可．
【小问1详解】
本次共调查的学生有（名；
故答案为：100；
【小问2详解】
对应人数为（名，
补全条形图如下：
【小问3详解】
，
类活动对应扇形的圆心角为108度；
【小问4详解】
（名，
答：估计该校最喜欢类活动的学生有600名．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
23. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”．“二十四节气”是中华上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史沉淀．小明购买了四张邮票，分别是“立春、立夏、秋分、大寒”，现将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面形状和大小完全相同）．
（1）若从中随机抽取一张，抽到的是“立夏”的概率是 ；
（2）小明的妹妹想要“立春”和“秋分”，小明让妹妹从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求妹妹抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率．（立春、立夏、秋分、大寒可以分别用A，B，C，D表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率，
（1）根据概率公式直接求概率即可;
（2）列出所有等可能的结果数以及妹妹抽到的两张邮票恰好是“立春”和“大寒”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意，一共有四张邮票，
∴抽到的是“立夏”的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
列表，得
共有12种等可能的结果，恰好是“立春”和“秋分”的结果有2种，
∴P（“立春”和“秋分”） ．
24. 图1和图2是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，要求仅利用已有的格点和无刻度直尺作图（注意：不能用圆规）．
（1）如图1，已知网格中有一个，顶点A、B、C、D都在格点上，找出格点1个即可），使平分．
（2）如图2，的顶点A，B，C均落在格点上，是的外接圆．在如图所示的网格中，上方的圆上画点，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，三线合一定理，全等三角形的性质与判定：
（1）如图所示，取格点E，连接，取中点P，作射线，则点P即为所求；
（2）如图所示，取格点G、H，连接并延长，交于点P，点P即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，取格点E，连接，取中点P，作射线，则点P即为所求；
易证明，则由三线合一定理可得平分；
【小问2详解】
解：如图所示，取格点G、H，连接并延长，交于点P，点P即为所求；
易证明，则，
易证明，则，
易证明，则．
25. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，）
【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6
（2）线段的长度为21.8
【解析】
【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案；
（2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可．
【小问1详解】
解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴（），
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6；
【小问2详解】
如图，过点作于点H，于点，过点作于点，
则（），（），
∵，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴（），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（），
答：线段的长度为21.8 ．
26. 某食品企业经调查发现，该企业生产的零食礼包的周销售量（单位：万包）和售价（单位：元包）成一次函数的关系，其售价与周销售量的对应值如表所示：
（1）求出与的函数关系式．
（2）若该零食礼包的生产成本是元包，则当每包的售价是多少元时，周销售利润最大？最大周销售利润是多少万元?此时周销售量是多少?
【答案】（1）与函数关系式；
（2）当每包的售价是元时，周销售利润最大，最大周销售利润是万元，此时周销售量是万包．
【解析】
【分析】（）待定系数法求一次函数解析式
（）设周销售利润，利用每包利润销量列函数得即有，根据二次函数开口向下，函数有最大值，当时，最大万元，求出销量即可；
本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：设与的函数关系式为：，
根据表格可知，当时，；当时，；
∴，解得：，
∴与的函数关系式；
【小问2详解】
设周销售利润元，
由题意得，
整理得：，
∴当时，取最大值，此时，
∴（万包）．
答：当每包的售价是元时，周销售利润最大，最大周销售利润是万元，此时周销售量是万包．
27. 如图，在中，．
（1）如图1，D为边的中点，连接，过C点作于点，交于点，连接，若，求的面积：
（2）如图2，，D、E分别为边上的点，且，连接交于点G，若F为的中点，连接，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想：
（3）如图3，D为平面内一点，若，连接，以为边向上构造等边，连接并延长至点P使，当最短时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形“三线合一”的性质及得出，根据的三角函数得出，进而得出，即可得出的面积；
（2）在上截取，把绕点顺时针旋转得，延长交于连接，根据旋转点性质得出是等边三角形，是等边三角形，通过证明，，得出，根据中位线的性质得出，即可得出；
（3）把线段绕点逆时针旋转得线段，连接、，设中点为，连接，可证明是等边三角形，即可证明，得出，即可证明点在以为圆心，为半径的圆上，点在线段时，有最小值，根据中位线的性质得出，，根据直角三角形斜边中线的性质，利用勾股定理求出和的值即可得答案．
【小问1详解】
解：∵，为边的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图，在上截取，把绕点顺时针旋转得，延长交于连接，
∵，，
∴是等边三角形，，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵把绕点顺时针旋转得，
∴，，，，
∴等边三角形，
∴，，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接、，设中点为，连接，
∴是等边三角形，
∴，，
∵以为边向上构造等边，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∵是等边三角形，为中点，
∴，，
∴，
当点在线段时，有最小值，最小值为，
∵，为中点，
∴，，
∴，
∴的最小值为，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、直角三角形斜边中线的性质、旋转的性质、解直角三角形及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
28. 对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，为实数，且，我们称这个函数在上是“同步函数”．比如：函数在上是“同步函数”．理由：∵由，得，∵，∴，，解得，∴，∴是“同步函数”．
（1）反比例函数在上是“同步函数”吗?请判断并说明理由；
（2）若一次函数在上是“同步函数”，求此函数的解析式（可用含，的代数式表示）；
（3）若抛物线在上是“同步函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点，若的内心为，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数是上的“同步函数”，理由见解析；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据“同步函数”的定义进行判断即可；
（）根据“同步函数”的定义以及一次函数的增减性，分两种情况进行求解即可；
（） 由 ，得 ，则抛物线在上是随的增大而增大，可知时，1，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标；
小问1详解】
当时, 则，
∵反比例函数在第一象限内随的增大而减小，
∴当时，，
∴，
∴反比例函数是上的“同步函数”；
【小问2详解】
由题意得: 当时，，
∵，
当时，随着的增大而增大，
∴当时，，当时，，
则，
解得：，
即；
当时，随着的增大而减小，
∴当时，当时，，
则
解得：
即 ，
综上所述，或；
【小问3详解】
抛物线的顶点式为，顶点坐标为，
∵，，
∴，
∴抛物线 ，在上是随的增大而增大，
∴当时，取最小值，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为，
∵抛物线与直线相交于两点，设，，

假设点在点的左侧，即，
∴，
解得：，，
∴在中，，，，
∴，，
∵外心在线段的垂直平分线上，设，则，
∴，
∴，
∴，
在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为得
，
∴，
∵是等腰三角形，轴为的角平分线，
∴的内心在轴上，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质，等腰三角形的性质等知识，理解新定义及熟练掌握知识点的应用是解题的关键．年龄/岁
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