广东省广雅中学2024届高三下学期高考考前适应性考试数学试题（学生版+教师版）

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1. 若集合，，则B中元素的最小值为（ ）
A. B. C. D. 32
2. 已知，则=（ ）
A. B. C. D.
3. 已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
4. 已知数列的各项均为正数，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. 是等差数列B. 是等比数列
C. 是等差数列D. 是等比数列
5. 过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6. 在正三棱台中，已知，，侧棱长为2，则此正三棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. 2D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 已知随机事件A，B满足，，则
B. 已知随机变量，若，则
C. 若样本数据，，…，的平均数为10，则数据的平均数为3
D. 随机变量X服从二项分布，若方差，则
10. 已知复数，则下列命题正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若是非零复数，且，则D. 若是非零复数，则
11. 已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（ ）
A. 当时，
B. 当时，数列是递增数列
C. 当时，若数列是递增数列，则
D 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，含项的系数为________．（用数字作答）
13. 设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交于点，交准线于点（，在轴的两侧），若，则抛物线的方程为________________.
14. 如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为_________百米.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在锐角中，角所对边的边长分别为，且.
（1）求角；
（2）求的取值范围.
16. 如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，，求平面和平面夹角的余弦值.
17. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
18. 某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
19. 设函数，.曲线在点处的切线方程为.
（1）求a的值；
（2）求证：方程仅有一个实根；
（3）对任意，有，求正数k的取值范围.